高考数学复习第十一章　第四节　事件的独立性、条件概率与全概率公式（导学案）

第四节事件的独立性.条件概率与全概率公式

谭程标淮

1.了解两个事件相互独立的含义.

2.了解条件概率与独立性的关系,会利用乘法公式计算概率.

3.会利用全概率公式计算概率.

知识梳理・思维激活

必备知识精归纳

1.相互独立事件

⑴概念:对任意两个事件A与我如果P(AB)=P(4)P(B)成立，则称事件A与事

件B相互独立,简称为独立.

⑵性质若事件A与B相互独立，那么A与万7与5,1与否也都相互独立.

2.条件概率

⑴定义与性质

条件概率的定义条件概率的性质

在事件B发生的条件下，事件A发生的(l)gP(6HMP(0|A)=l

概率，称为B发生时A发生的条件概率,(2汝口果B和C是两个互斥事件，则P(B

记为尸(4|B).UQ4)二

当P(B)>()时,我们有P(川3)二曙).(其尸(5|A)+尸(CIA)

中,AM也可以记成A3)⑶设豆和B互为对立事件，则

类似地，当P(A)>()时发生时B发生的P(B|A)=1-P(B|A)

条件概率为P(B|A)三黑

⑵概率的乘法公式

由条件概率的定义，对任意两个事件A与及若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B\A).

，点睛P(3|A)与P(川3)易混淆为等同

前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率.

3.全概率公式

一般地，设A142,-A是一组两两互斥的事件4UA2U…U4=0,且

P(A)>0,i=l,2,…"则对任意的事件照。，有P(B尸/P(Ai)・P(3A).我们称此公

1=1

式为全概率公式.

，点睛全概率公式的意义在于，当直接计算事件B发生的概率P(3)较为困难时，可

以先找到样本空间Q的一个划分无4四2—・04442,・・・4两两互斥将

4/2,…/〃看成是导致8发生的一组原因，这样事件B就被分解成了几个部分，分

别计算P(B|A)P例3,…,P(5|4),再利用全概率公式求解.

【基础小题固根基】

教材改编易错易混

1,2,34

1.(教材变式)一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为().85,乙熔断的概

率为0.74,甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为

()

A.lB.0.629

C.OD.0.74或0.85

解析：选B由题意知甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，所以甲、乙两根保险

丝都熔断的概率为0.85x0.74=0.629.

2.(教材变式)若尸⑷⑸卓尸⑹弓则PQ45)的值是()

A.-B.-C.-D.-

27394

解析：选A.由尸(■)“(川8)尸⑹，可得尸048)=器=。

3.(教材提升)已知杲公路上经过的货车与客车的数量之比为2：1,货车和客车中

途停车修理的概率分别为0.02,0.01,则一辆汽车中途停车修理的概率为()

A.—B.-C.-D.-

100605030

解析：选B.设8表示汽车中途停车修理A表示公路上经过的汽车是货车A表

示公路上经过的汽车是客车，则P(4)W，P(4)="(3HI)=0.()21(64)=0.01,

JJ

则由全概率公式，可知一辆汽车中途停车修理的概率为

211

P(B)=P(A1)P(B\Ai)+P(/12)P(B|A2)=£x0.024-ix0.01=—.

3360

4.(条件概率公式使用错误)已知3件次品和2件正品混在一起，现需要通过检测将

其区分每次随机检测一件产品,检测后不放回，则在第一次取出次品的条件下第

二次取出的也是次品的概率是()

A.-B.-C.-D.-

10524

解析：选C.设事件A表示第一次取出次品，事件B表示第二次取出次

品］(4后］(48)=沔二则在第一次取出次品的条件下第二次取出的也是次品

OO■JuV

的概率是23IA尸喏二堂=；.

P⑷52

核心题型•分类突破

题型一事件的相互独立性

角度1事件独立性的判断

［典例1］(2021.新高考/卷)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回

地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事

件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁

表示事件“两次取出的球的数字之和是71则()

A,甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

解析：选B.设甲、乙、丙、丁事件的发生概率分别为P(4),PCB),P(O,P(。).

则P(A)=P⑻目尸(6名二白

OOXoDO

P(D)=—

76X66

对于A选项,P(AC)=0;

对于B选项，尸(A0)=今三；

OXo30

对于c选项,P(BC)=2二£；

oXo5b

对于D选项,P(CD)=O.

若两事件X,y相互独立厕尸(xr)=p(x)p(y),因此B选项正确.

【方法提炼】——自主完善，老师指导

两个事件相互独立的判断方法

⑴定义法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.

⑵充要条件法:事件48相互独立的充要条件是一0(A3)=P(A)P(B).

角度2相互独立事件的概率

[典例2](2020.全国/卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下:累计

负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者

与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,

剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、

乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为a

⑴求甲连胜四场的概率；

⑵求需要进行第五场比赛的概率；

⑶求丙最终获胜的概率.

解析：⑴甲连胜四场的概率为心

1O

⑵根据赛制、至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛

比赛四场结束，共有三种情况：

甲连胜四场的概率为2；

16

乙连胜四场的概率为白；

16

丙上场后连胜三场的概率为今所以需要进行第五场比赛的概率为

8161084

⑶丙最终获胜，有两种情况：

比赛四场结束且丙最终衰胜的概率为今

O

比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空

结果有三种情况:胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为土焉.

16oo

因此丙最终获胜的概率为2+M+9A.

olooolb

【方法提炼】——自主完善，老师指导

求相互独立事件同时发生的概率的方法

(1)相互独立事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率积

⑵当正面计算较复杂或难以入手时，可从其，^事件入手计算.

【对点训练】

1.(2023.枣庄模拟)一个袋子中有标号分别为123,4的4个球，除标号外没有其他

差异.采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球.记事件A表示“第一次

摸出球的标号小于3”,事件B表示“第二次摸出球的标号小于3”,事件C表示“摸

出的两个球的标号之和为6”,事件。表示“摸出的两个球的标号之和不超过4”,

则()

A.A与B相互独立B.A与D相互独立

C.B与C相互独立D.3与。相互独立

解析：选C.采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球，全部的样本点有

(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(41),(4,2),(4,3),共12个，事件A发生

包含的样本点有(1,2),(1,3),(1,4),(2/),(2,3),(2,4),共6个，事件B发生包含的样本点

有(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4』),(4,2),共6个，所以P(A)=P⑻4卓,事件C发生包含的

样本点有(2,4),(4,2),共2个『(0=2=2事件D发生包含的样本点有

126

(1,2),(1,3),(2,1),(31),共4个,P(Q)WW，事件AB发生包含的样本点有(1,2),(2,1),

JL乙O

共2个,P(48)=W因为P(A)P(3)44=白尸(48),所以A与8不相互独立，故A错

1ZoZZ4

误；

事件发生包含的样本点有(1,2),(1,3),(2,1),共3个,P(4O)=W，因为P(A)P(D尸

124

衿WHP(AD),所以A与D不相互独立，故B错误；

Z36

事件发生包含的样本点有(4,2),共1个，所以P(gC)W，因为P⑻80=衿=?

1ZZb1Z

尸(BC),所以B与C相互独立，故C正确；

事件BD发生包含的样本点有(1,2),(2,1),(3』),共3个，所以P(3O)4W，因为

124

P(b)P(O)Wx99P(3Z)),所以B与D不相互独立，故D错误.

Zoo

2.某社区举办“环保我参与“有奖问答比赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭

同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是*甲、丙

两个家庭都回答错误的概率是已乙、丙两个家庭都回答正确的概率是点若各家庭

回答是否正确互不影响.

(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；

⑵求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.

解析：（1）记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确

这道题”分别为事件48,C,

——1

P(A)P(C)=-

则P（A）三，且有

4P(5)P(C)=%1

4

(1-P(/))(1-P(C))=*

即

P⑻p(c)=T，

所以「（8）q,P（O=|.

OD

⑵有（）个家庭回答正确的概率为Po=P（砒）"（mP（万）P©）三X2公有1个家

40396

庭回答正确的概率为P=P（A丽+3反名诉o=：x9*x汨所以不少于

43348348324

2个家庭回答正确这道题的概率为P=l-P-Pi=l--

0962432

教师

专用【加练备选】

（2022.福州模拟）投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏.晋代

在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳,因此在

投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳（投入壶耳厂每一局投壶，每一位参赛者各

有四支箭，投入壶口一次得1分，投入壶耳一次得2分.现有甲、乙两人进行投壶比

赛（两人投中壶口、壶耳是相互独立的），甲四支箭已投完，共得3分，乙投完两支箭,

目前只得1分，乙投中壶口的概率为玄投中壶耳的概率为去四支箭投完以得分多

者赢.则乙赢得这局比赛的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

75751575

解析：选A.由题意，若乙要赢得这局比赛，按照乙第三支箭的情况可分为两类：

⑴第三支箭投中壶口，第四支箭必须投入壶耳，

其概率为尸产法二三

JOJLO

⑵第三支箭投入壶耳，第四支箭投入壶口、壶耳沟可，

其概率为长》(*)4，所以乙赢得这局比赛的概率为P=丹+片2+白考.

题型二条件概率

[典例3]⑴某公司为方便员工停车，租了6个停车位,编号如图所示.公司规定:每个

车位只能停一辆车，每个员工只允许占用一个停车位.记事件A为“员工小王的车

停在编号为奇数的车位上”，事件B为“员工小李的车停在编号为偶数的车位上”,

则P(A|8)等于()

A3D1

解析：选D.根据条件概率的计算公式可得,

33

P(AB)的t3

P(A\B)=

p⑻~~T5

o

⑵(多选题)(2022.滨州模拟)为讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体

党员干部职工对党史知识的了解,某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为

单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依

次随机抽取2道题作答,设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到

选择题”，则下列结论中正确的是()

33

A.P(A)=|B.P(AB)襦

C.P(B\A)=lD.P(3⑷三

解析：选ABC.P(A)=*|,故A正确；

C1C13

故

确

32B正

C11O

P(AB)=5

3

P(3H尸鬻母弓故C正确；

产(A)g乙

PG-4)=1-P⑷=1.3公2，

P丽嚼希

P(8|1)=鬻=甲=*故D错误.

(3)(2022.新高考/卷改编)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民

的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中

随机调查了10()人(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人

(称为对照组)彳导到如下数据：

项目不够良好良好

病例组4060

对照组1090

从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”乃表示事件

“选到的人患有该疾病、'.篝£与磊的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险

P{B\A)P(B\A)

程度的一项度量指标，记该指标为R

①证明:R二组列逊；

P(A\B)P(A\B)

②利用该调查数据，给出P(A|3),P(4|万)的估计值并利用①的结果给出R的估计

值.

解析：①因为R二理.晅二逊.殁.逊.晅,

P(B\A)P(B\A)P(A)P(AB)P(A)P(AB)

所以R二"画.丝L还逆

P(B)P(AB)P(B)P(AB)

RCIM/「PG⑻P丽

所入P(A\B)P(A\B)

②由已知P(A|B)~4

io_1

P(A\B)=100-10

又尸（神尸黑=/（丽尸孤系

______29

所以代端磊飞

所以指标R的估计值为6.

【方法提炼】——自主完善，老师指导

求条件概率的常用方法

⑴定义法:P（8|A尸瑞

⑵样本点法:P（BH尸产黑.

n（A）—

⑶缩样法去掉第一次抽到的情况只研究剩下的情况，用&求解.

【对点训练】

1.对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测不放回地依次摸出2

件在第一次摸出次品的条件下，第二次摸到正品的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

5593

解析：选D.记A="第一次摸出的是次品"方="第二次摸到的是正品”，由题意

4

知『⑷三二|『（从砂三令,厕尸（始）咛符噂V

2.已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个

红球,甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到

红球的概率为（）

A.—B.iC.-D.-

10389

解析：选B.设A="甲第一次拿到白球北="甲第二次拿到红球“，则

P（A8）//,P（A）喑W，所以尸（那尸谯与

Mio10Jo>J

教师

专用【加练备选】

(2023.石家庄模拟)某地病毒暴发，全省支援，需要从市某医院某科室的5名男

医生(含一名主任医师)、4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2

名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率

为()

33

A.-B—C—

81011

解析：选A.设事件A表示“有一名主任医师被选派工事件B表示“两名主任医师

都被选派”，则“在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派”的概

十率/为尸V(始17)二n(出A)也C|3Ccj对-CjC12二4竺8三8

题型三全概率公式的应用

[典例4](1)某保险公司将其公司的被保险人分为三类:“谨慎的”“一般的”“冒失的”.

统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15,0.30.若该保险

公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%,“一般的”被保险人占50%「冒失的”

被保险人占30%,则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是

()

A.0.155B.0.175

C.0.016D.0.096

解析：选B.设事件8表示“被保险人是，谨慎的「事件以表示“被保险人是，一般

的，，，，事件&表示“被保险人是眉失的'”，则P(8)=20%,P(&)=50%,尸(83)=30%.设

事件A表示“被保险人在一年内发生事故”，则

P(A|3)=0.05,P(4|32)=0.15,P(A|B3)=0.30.由全概率公式，得

3

P(A)=ZP(B)P(A|B/)=0.05x20%+0.15x50%+0.30x30%=0.175.

i=l/

⑵某商店收进甲厂生产的产品30箱,乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100

个，废品率为0.06,乙厂每箱装120个，废品率为().05,求:

①任取一箱，从中任取一个为废品的概率；

②若将所有产品开箱混放,求任取一个为废品的概率.

解析：记事件A为取到的是甲厂的产品，事件B为取到的是乙厂的产品，事件C

为取到的是废品，则

①P⑷尸⑻琮乏，

P(C|A)=0.06,P(qB)=0.05,

由全概率公式相P(0=P(A)P(a4)+P(3)P(C3)=£

JL4D

30X100_5

②尸(A)=

30x100I20x12。-9

20X1204

P(B尸

30X100+20X1209

P(C|A)=0.06,P(C|B)=0.05,由全概率公式,

得P(O=P(A)P(C1A)+P(3)P(C]B)二.

lo

【方法提炼】

“化整为零”求多事件的全概率问题

3

(1)如图,P(3)=ZP(4)尸(卸4。

i=i

⑵已知事件B的发生有各种可能的情形A,(i=1,2,…⑼，事件B