高考数学大一轮复习 高考专题突破四 高考中的立体几何问题教师用书 理 苏教版-苏教版高三数学试题

高考专题突破四高考中的立体几何问题教师用书理苏教版

Q考点自测快速解答自查自纠

1.正三棱柱力仇」484中，〃为旗中点，£为4G中点，则加'与平面45阴的位置关系为

答案平行

解析如图取4G的中点为尸，连结外DF,DE,

则牙〃/I山，DF〃BB

二平面99〃平面4444,

・•・〃£〃平面AMA.

2.设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：

①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z是直线，x、p是平面：④x、y、n均为

平面.

其中使“x_Lz且八为真命题的是.

答案②③

解析由正方体模型可知①④为假命题；由线面垂直的性质定埋可知②③为真命题.

3.(2016•无锡模拟)如图，在棱长为6的正方体ABCD-AMCJ为中,E,〃分别在G〃与CB

上，且CE=4,G尸=3,连结防FB,DE,BD,则几何体的一欧的体积为.

答案66

解析如图，连结外；如，那么几何体牙'。一〃眼被分割成三棱锥〃一牙'G及四棱锥D-CBFG,

那么几何体所匕一败的体积为K=1x|x3X4X64-1x1x(3+6)X6X6=12+54=66.

J乙J/

故所求几何体跖G一如C的体积为66.

4.（2016•镇江模拟）设%B,y是三个平面，a,6是两条不同直线，有下列三个条件：

①与〃y,kB,.②a"y,b//6：③力〃6.auy.如果命题“aC8=搐〃uy,日•

则a//bff为真命题，则可以在横线处填入的条件是.（把所有正确的序号填上）

答案①或③

解析由线面平行的性质定理可知，①正确；当。〃£,au/时，a和。在同一平面内，且

没有公共点，所以平行，③正确.故应填入的条件为①或③.

5.如图，在三棱锥产一月比中，D,E,厂分别为棱AC,AC,18的中点.若川J_4C,必=6,BC

=8,ZF=5.则直线以与平面板的位置关系是；平面〃%'与平面力比的位置关系

是.（填“平行”或“垂直”）

答案平行垂直

解析①因为〃，后分别为梭AG力C的中点，

所以DE//PA.

又因为平面DEF,DEu平面DEF,

所以直线为〃平面DEF.

②因为〃，E,产分别为棱PC,AC,/道的中点，诩=6,EC=8,

所以从〃为，庞=:阳=3,E7BC=A.

乙乙

又因为〃尸=5,故"=虚+欧，

所以/叱=90。，即如_L。：

又2LL/IGDE"PA、所以。反1_然

因为ion牙'=£平面力磨）七平面/历C,

所以分平面力8。，又DEu平面BDE,

所以平面/切心L平面ABC.

题型分类深度剖析

题型一求空间几何体的表面积与体积

例1(2016•全国甲卷)妇图，菱形被力的对•角线〃'与劭交于点0,点、E,尸分别在力〃,

CI)K,AE=CF,杼'交/切干点〃,将△〃济'沿〃'尸折到△〃/卞的位置.

(1)证明：ACA.//D'；

(2)若力8=5,AC=6,AE=~,Off=2:，求五棱锥〃’T867万的体积.

AFCF

⑴证明由己知得力CJ_9AD=CD,又由/£=〃得方而，故AC"EF,由此得既1/切，

ADCu

折后〃与仞保持垂直关系，即瓯LM',所以力CL用T.

(2)解由EF//AC得端岑R

1)()AD4

由AB=5,AC=6得DO=BO=^A^~A(f=4,

所以0〃=1,D'H=DH=3,

于是如'2+就=(2p)2+/=9=〃，〃，

故。“10//.

由(1)知HC_L力9',又ACLBD,BDCHD'=H,

所以4cL平面〃仞'，于是，

又由勿'_LMACCOH=O,所以如上平面力抬

「-EFDHg9

又由元'=而得EF='i

11969

五边形/以7石的面积5=-X6X8--X-X3=-r.

乙乙乙勺

所以五楂锥〃-板注的体积乎X2镜=今佟

思维升华(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行

求解.其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积.

⑵若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何

体，再利用公式求解.

内切琮=4兀(^6-2)2=(40-16^6)兀.

/内切母(A/6—2)3=1(9X/6—22)n.

JJ

题型二空间点、线、面的位置关系

例2(2016•扬州模拟)如图，在三棱柱/伊。一力国G中，侧棱垂直于底面，力反18GA/,=AC

=2,BC=\,E,尸分别是4G,砥的中点.

(1)求证：平面力期_1_平面8比。；

⑵求证：。勿平面力应；

(3)求三棱锥£一力应'的体积.

(1)证明在三棱柱力比一中，仍」底面力求.

因为/步u平面ABC,

所以做

又因为4818。，BCCBB尸B,

所以力员L平面反BCG.

又/IBu平面八BE,

所以平面力施二平面BMC.

⑵证明方法一如图1,取/道中点G,连结属，FG.

因为£,少分别是4G,比的中点，

所以/且&;

因为4C〃4G,且力C=4G,

所以竹〃夕G,且此』必，

所以四边形网力笫为平行四边形，

所以GF〃EG.

乂因为拉%平面力院,,G内平面力跖，

所以G"平面ABE.

方法二如图2,

因为〃，尸分别是/IG比的中点,所以俯〃力反

又因为分别是4G,4。的中点,

所以届触月〃,

所以四边形分能为平行四边形,

所以GH"AE,

又G〃n/才^=//,AEV\AB=A,

所以平面力的〃平面GHF,

又GFu平面GHF,

所以G%平面ABE.

(3)解因为14=40=2,BC=3ABLBC,

所以所=。13一4=可.

所以三棱锥£一力旗的体积

「=可8放•AA\—1X2=^~.

oJ/J

思维升华（1）①证明面面垂直，将“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题，再将“线面

垂直”问题转化为“线线垂直”问题.②证明平面ABE：（i）利用判定定理，关键是在

平面力所中找（作）出直线跖，且满足。历〃笈;.（ii）利用面面平行的性质定理证明线面平行,

则先要确定一个平面G伊满足面面平行，实施线面平行与面面平行的转化.

⑵计算几何体的体积时，能直接用公式时，关键是确定几何体的高，不能直接用公式时，注

意进行体积的转化.

跟踪训练2（2016•南京模拟）如图，在二棱锥S一力以’中，平面必从L平面5成；ABEBC；

力S=49.过力作"JLS4,垂足为人，点£,G分别是棱外，SC的中点.

求证：（1）平面牙O/平面川%'；

⑵//_L$t

证明⑴由死LSB知F为SB中点,

则EF〃AB,FG//BC,又EFCFG=F,ABCGB,

因此平面〃平面ABC.

⑵由平面加红平面SBC,平面平面掰C=S〃，/"七平面以区AFA.SB,

所以力力_平面飒；则"_1_呢

又BC1AB,AFQAB=A,则8CJ_平面S48,

又Siu平面SAB,因此HCLSA.

题型三平面图形的翻折问题

例3(2015•陕西)如图1,在直角梯形力腼中，AD"BC,NBAD=%AB=BC=\,AD=2,

乙

£是49的中点，。是“与烈的交点.将△力应'沿比'折起到△外储的位置，如图2.

(1)证明：a?J_平面4M

(2)若平面48反1平面BCDE,求平面4a与平面4切夹角的余弦值.

(1)证明在题图1中，连结比；

因为AB=BC=1,AD=2,

/BAg?

乙

AD//BC,E为AO中点、,

所以比做微比锹力区

所以四边形及期为平行四边形，故有CD〃BE,

所以四边形力以若为正方形，所以比工〃：

即在题图2中，BE工0小,BE工OC,且4〃0戊?=。,

从而应J_平面4%,又CD"BE、

所以切_1_平面AxOC.

(2)解由已知，平面4硝_平面BCDE,

又由⑴知，BEL()A\,BEYOC,

所以N4m为二面角4-跳F7的平面角，

所以/4"”一".

乙

如图，以。为原点，以龙，OC,总所在的直线为X轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系,

因为从4AiE=BC=ED=LBC//EI）.

所以彳乎，°，。）＜—乎，0,0），

4（0,0,W。,察0）,

得狂卜乎‘乎'°）岸［'挈邛）'

~CD=~BE={-^2t0,0）,

设平面4%、的法向量〃I=（M,yi,加，平面4面的法向量生=（也%然），平面4位、与平

面469夹角为0,

n\•瓦=0,—汨+y=0,

则得|八取n=(1,1,1)；

y-为=0,

n\,4C=0,

n•CD=O,x2=0,

得"k。,取z?-=(0,1,1),

n：•Ji67=0,

2_^6

从而cos0=|cosn\，n>

一小X木―3

\l6

即平面48。与平面4⑦夹角的余弦值为千.

思维升华平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变

化情况.一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生

变化.

跟踪训练3（2016•苏州模拟）如图⑴，四边形力灰刀为矩形，力_1_平面4%刀，A8=l,BC

=PC=2,作如图（2）折叠，折痕彷〃/%：其中点夕，尸分别在线段内〃，尸。上，沿彷折叠后，

点〃叠在线段49上的点记为机并且好工成

P

⑴⑵

⑴证明：疣L平面眇A

（2）求三棱锥W一C宏的体枳.

⑴证明因为外J"平面版力，，被=平面力时，

所以PD1.AD.

又因为/1加9是矩形，CDLAD,如与⑦交于点〃，

所以力〃_1_平面PCD.

又。匚平面PCD,

所以BPMDVCF.

又MFICF,MDCMF=M,所以6F_L平面也见

⑵解因为PD1DC,PC=2,CD=1,/PCD=60°,

所以联/，由（1）知"_L6E

在直角三角形笛中，CF=gcD=）

乙乙

如图，过点、F作FG工CD交CD于点、G,得&7=心in60°=）乂乎=申,

乙乙Si

所以DE=/%=孚，故处=&'=5一半=邛，

4Y44

所以初=4就_刎=\^乎2—乎?=坐

S亚X._亚

故—肥="9・5八侬=[X*X*=£\

DOZO10

题型四立体几何中的存在性问题

例4（2016•邯郸第一中学研究性考试）在直棱柱力8。一力由G中，/M=/IQ4?=1,E,6分

别是CG,欧的中点，力£14蜃〃为棱力归上的点.

(1)证明：DFVAE.

A/14

⑵是否存在一点〃，使得平面〃即与平面力比•所成的锐二面角的余弦值为多-?若存在，说

明点〃的位置；若不存在，说明理由.

(1)证明,:心AM,AM/AB,

：.AELAR

又・・34L48,AAlDAE=A,

••・力戈1_平面MCG.

又•・•ACcz平面4/CG,：,ABVAC.

以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,

则有力(0,0,0)，£'(0,1，5，F焉,0),4(0,0,1),4(1,0,1).

设〃(必y,z),建人入诵,且ae(0,1),

即(*,y,z-\)=A(l,0.0),则〃(4，0,1),

:俞=(1—4，-1).

乙乙

,衣=(0,1,1),

乙

ff11

：J)F*J^=---=0,C.DFLAE.

乙乙

yl~\4

(2)解结论：存在一点〃使得平面外厂与平面力比’所成的锐二面角的余弦值为匕.

理由如下：

由题意知平面/仍。的法向量为m=(0,0,1).

n•FE=O,

设平面际的法向量为〃=（x，y，z）,则，

n-DF=Q.

V7F=（-J,右；），~DF=（1-A,-1）,

令z=2(l一4)，则〃=(3,1+24,2(1-A)).

\I~\A

♦・•平面戚与平面力应■所成的锐二面角的余弦值为七,

.IZ\||卬・HVH

•/cos5〃〉『句14，

即—l21一八二/

'<9+1+2儿2+41-A'14

17

解得4,或】=彳(舍去)，

乙1

・••存在满足条件的点〃，此时〃为力出的中点.

思维升华(1)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在这假设条件下，利用线

面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出

矛盾的结论则否定假设.

(2)对于探索性问题用向量法比较容易入手.一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代

数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.

跟踪训练4(2016•苏州模拟)如图，四棱柱力腐1486〃中，侧棱4力_1_底面ABCI),AB//DC,

ABLAD,Al)=Cf)=\,AAx=AB=2,〃为棱力4的中点.

(1)证明：B\C\LCE：

(2)求二面角笈一CZ'-G的正弦值；

(3)设点加在线段上，且直线4V与平面力〃〃4所成角的正弦值为平，求线段4W的长.

O

(1)证明如图，以点力为原点，分别以力〃，力4,48所在直线为x轴，9轴，z轴建立空间

直角坐标系,依题意得力(0,依0),以0,0,2),C(l,0,1),笈(0,2,2),G(l,2,1),直0,1,0).

易得就=(1,0,-1),CE=(~\t1,-1),于是部•今=0,所以笈GJ_四

(2)解氤=0,-2,-1).

设平面台四的法向量必=(x,y,z),

m,B\C=Q,x—2y—z=0,

则.即)

-x+y—z=0.

m,CE=3

消去x,得y+2z=0,不妨令z=l,可得一个法向量为0=(—3,—2,1).

由(1)知，BC工CE,又CGCCE=C,可得〃。_1_平面西，

故百方=(1,0,-1)为平面。珀的一个法向量.

m・BG

于是cos〈卬,府〉

\m\I^Til

-4_2^/7从而sin(m,氤］==^^~

一/义位―7

所以二面角占一四一。的正弦值为拳.

⑶解能=(0,1,0),元=(1,1,1),设同U/1的=(4】，A),0W4W1,有前仁泰十

直f=(人,A+l,A).

可取葩=(0,0,2)为平面4的-一个法向量.

设"为直线和，与平面/3M所成的角，则

sin0=|cos(M砺|=—2^—

|施|砺I

___________2J__________________.

7卜+>+1-+X273了+2-+1

于是/-J、一理解得八=:(负值舍去)，

〈31-+24+163

所以4仁啦.

课时作业

1.（2016•连云港模拟）如图所示，已知平面on平面£=/,〃是直线/上的两

点，C,〃是平面3内的两点，且49_L/,CB11,%=4,/出=6,⑦=8.P是平面。上的一

动点，且有NAPD=NBPC,则四棱锥一一月四体积的最大值是.

答案21^3

解析由题意知，丛PAD,△物?是直角三角形，

又4APD=/BPC,所以△HIM△阳U

因为以=4,CB=8,所以加=2*.

作灯/_1/笈于点M由题意如，灯/_!,尸.

令4仁武0<K6）,则PJt--=4阳2—（6-，）2,

所以诩=12—4么

所以P：lf=yl12-4t-ff即为四棱锥/一ABCD的高，

又底面/1加9为直角梯形，5=1x（4+8）X6=36.

所以J/=：X36XM12_4LF=12vz―1+22+16^12X^12=24^3.

O

2.（2016•南京模拟）已知a,£是两个不同的平面，1,勿是两条不同的直线，_/_1_%归

£.给出下列命题：

①。〃£n7±z»；②。J_.6=1//m\③/〃〃a=>11.B；④/J_£=/〃〃a.

其中正确的命题是.（填写所有正确命题的序号）

答案①④

解析若/_!_%。〃£,则U尸，又加=月，则AL/〃，故①正确；若AL。，o_L£,则

1〃B或luB,又则/与勿可能平行、相交或异面，故②错误；若/_!_*m〃*

则ILm,又归B,则，与B可能平行、相交或luB,故③错误；若/_L%1工6,则

。〃?，又〃x=£,则必〃。，故④正确.综上，正确的命题是①@.

3.已知三棱锥〃一的。的三个侧面与底面全等，且川片心=小,BC=2,则二面角八必一力

的大小为________.

答案900

解析如图，取ZT的中点区连结4T,DE,

,：AB=AC,：,AEVBC.

又三棱锥P-力比'的三个供!面与底面全等，

：.BD=CDf：.DELBC,

则N/1/刃是二面角〃一比‘一月的平面角.

在△力成中，AE=DE=J/1#-；比2

=yl语~2—i2=y[2,]。=2,

由A必+。炉=川九知N/1砌=90°.

故二面角D-BC-A的大小为90°.

4.（2016•泰州二模）如图，在梯形月以力中，AD//BC,乙奶。=90。，AD：BC：AB=2：3：4,

E、少分别是力&切的中点，将四边形月"必'沿直线如进行翻折，给出四个结论：

①加上8a

②BDLFG

③平面施£L平面BFC：

④平面/JCFL平面用匕

在翻折过程中，可能成立的结论是_______.（填写结论序号）

答案②③

解析因为比〃加,力〃与以'相交不垂直，所以a'与如不垂直，则①错误；设点〃在平面

叱上的射影为点P,当8D时就有BDIF3而AD：BC\AB=2：3：4,可使条件满足，

所以②正确；当点尸落在跖上时，DPc.平面BDF,从而平面平面BCF,所以③正确；

因为点〃的射影不可能在和上，所以平面〃例1平面WC不成立，即④错误.故答案为②③.

D

5.如图，在正方体18⑦一力中，点E是棱比的中点,点尸是楂⑦上的动点，当俞=

rU

时，〃氏L平面力夕£

答案1

解析如图，连结44,贝L48是〃夕在平面4即4内的射影.

二加工小丛:•仄E1AR,

乂・・・〃£'_L平面AB\F=KE工AF.

连结庞，则〃E是〃£在底面仍⑦内的射影,

：.D,ELAF^DELAF.

•・3/。是正方形，〃是应的中点，

・••当且仅当尸是切的中点时，DEVAF,

即当点尸是⑦的中点时，〃反L平面月5凡

CF

・・・2=1时，〃氏L平面/山£

6.如图，在直三棱柱小—44G中，力。=比，机N分别是棱①，居中点.

(1)求证：GV_L平面力跖M；

(2)求证：0V〃平面力硼.

证明⑴因为直三棱柱/1比―/1出。中，加」底面ABC,

且G匕平面力阮所以加J_C，M

因为力U=比；N是4?的中点，

所以CNLAB.

又因为AAC\AB=A,

所以0VJ_平面AlHUx.

⑵取仍的中点G,分别连结，除，后，

因为A；G分别是49,的中点，

所以AG〃跖，陆=权氏

又因为以/〃/加，

乙

所以以/〃AGCM=NG,

所以四边形窃匕"是平行四边形，

所以CN//MG.

因为CW平面小暇,Mk平面/〃阳，

所以G〃平面相暇.

7.(2016•南通、扬州、泰州联考)如图，在四棱锥"4%》中，/TL平面外〃，AH//CD,CD

=2/厉=2磨M,N分别是棱为，切的中点.

(1)求证：〃平面8MV；

(2)求证：平面8MkL平面PAC.

证明(1)设HCA/连结留，AN,

因为4?=?〃，AB〃CD,N为Q）的中点、,

所以旦AB〃CN,

所以四边形/历CM为平行四边形，

所以。为〃'的中点，

又」/为处的中点，所以•的〃比

又因为J依z平面创M户口平面用价；

所以产。〃平面BMN.

⑵方法一因为/T_L平面如，/切c平面物，所以红_L力〃

由⑴问理可得，四边形月外〃为平行四边形，所以月〃〃浏,，

所以BNIPC，

因为戊:=力8,所以平行四边形月比）为菱形，

所以BN1.AC.

因为尸CG/仁。，

所以8V_L平面PAC.

因为〃忙平面BMN,所以平面AMV，平面PAC.

方法二连结AM因为打。平面尸的，为u平面加4,

所以尸CL/%.

因为/Y77JM,所以知_LMZ

又PC1PD.

因为内为⑺的中点，所以PN=：CD,

乙

由⑴得AN=BC=gcD,所以AN=PN,

乙

又因为M为为的中点，所以为_1_」的；

因为j/vnM0=M所以月，平面BMN.

因为为u平面PAC,所以平面*C'J_平面BVN.

8.如图，在四棱锥〃一/仍Q中，必，底面直角梯形/的，/历必为直角，AD=CD=2,四=1,

E,F分别为PC,⑦的中点.

(1)求讦：5I平而用汨

⑵设为=h且二面角E一切一。的平面角大于30°,求〃的取值范围.

(1)证明如图，以力为原点，月8所在直线为x轴，力。所在直线为y轴，4夕所在直线为z轴

建立空间直角坐标系,则.4(0,0,0),Ml,0,0),C(2,2,0),0(0,2,0),户(1,2,0),

从而虎=(2,0,0),~BF=(0,2,0),

所以应'•麻'=0,故虎_1诙即〃C_L秋

设处=力，则P(0,0,⑸.

因为£为和的中点，所以£(1,1,1),

从而比'=(0,1,$,所以DOBE=3

故况±肺,即〃CJ_%：

又BEC\BF=B,所以必_1_平面BEF.

⑵解设£在xOy平面上的射影为G,过点G作GHLBI),垂足为点//,连结EM由

EGYBD

，。/_LBD=>平面EGH,

、EGCG4G

又EM平面EGH,：.EHA_BD,

从而/胸即为二面角£一8〃一。的平面角.

k

由以=h得P(0,0,A),£(1,1,7),6^(1,1,0).

设〃(筋必0),则游=(才-1,7-1,0),9(一1,2,0).

由方，•丽=0,得一(x-l)+2(y-l)=0,

即x-2y=-1.①

又瓦三J-1,必0),且就与瓦的方向相同，

故匕即2x+y=2.②

—12

由①②解得xY，y=4»从而^右(一£，—7»0),

0□0D

所以I为苕.

从而Ian/EHG="

I明2

由Q0知/田%是锐角，由/酸＞30°,

得tanN酸＞tan30°,

即监吊.

故A的取值范围为冷室.

9.如图所示，平面/I龙町L平面力回，%是等腰直角三角形，AC=BC=4,四边形/I做E是

直角梯形，BD//AE,BDLBA.BD=：AE=2,。，时分别为阳力少的中点.

乙

(1)求证：勿〃平面力仇?；

⑵求直