高考数学备考复习统计（一）

第1讲统计抽样

一、知识回顾：

1.随机抽样方法：

①笥单随机抽样：

从个体个数为N的总体中不放回地抽取容量为n的样本，每次每个个体被抽到的机会均等

②分层抽样：

将总体按其属性特征分成若干不重会的部分，然后在各部分中按其在总休中所占比例进行抽样

③系统抽样：

将总体个体进行编号，按简单随机抽样抽取第一个样本，然后按相同的间隔抽取其他样本，也称等距抽样

所取编号成等差数列：抽取第一个样本的编号为首项，每组个数为公差

2、总体估计:

1.计算：①平均数嚏='（%+%,+刍+…+Z）加权平均值嚏

nr=l

标准差s=上（七一4

②方差$2分组频数累计频数频率

2.识图与绘图：①频率分布表:列表通常会有以下几列:

②频率分布直方图：横坐标分组，纵坐标为乙（频率/组距），每个小矩形的面积是相应的频率

Ax,

③频率折线图：将频率分布直方图个相邻矩形上底的中点顺次连接起来,得到一条折线

④茎叶图:

二、典型例题

例1.下图是在广州举行的全国少数民族运动会上，七位评委为

9

某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最7

844647

低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）93

A.84,4.84B.84,1.6C.85,1.6D.85,4

变式1.若数据内，/，玉，，%的平均数x=5,方差S?=2,则数据3玉+1,3占+1,3占+1,…,3%+1

的平均数为，方差为.

变式2（上海文、理）已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,仇12,13.7,18.3,20,且总体

的中位数为10.5,若要使该总体的方差最小，则K〃的取值分别是.

例2.（天津卷）某学院的A,B,C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采

用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本。已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学

生，则在该学院的C专业应抽取名学生。

变式1.（湖南卷文）一个总体分为力，〃两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本。已

知9层中每个个体被抽到的概率都为上，则总体中的个体数为

12-----------

例3.某单位200名职工的年龄分布情况如图2,现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体

职工随机按1—200编号，并按编号顺序平均分为40组（1—5号，6—10号…，196—200号）.若第5组

抽出的号码为22,则第8组抽出的号码应是。若用分层抽样方法，则4（）岁以下年龄段应抽取人.

图2

变式1.用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1-160编号，按编

号顺序平均分成20组（1〜（号,9〜16号，…，153〜160号），若第16组抽出的号码为126,则第1

组中用抽签的方法确定的号玛是.

例4.（湛江二模）甲、乙两名学生在5次数学考试中的成绩统汁如下面的茎叶图所示，若

%、石分别表示甲、乙两人的平均成绩，则下列结论正确的是（）

甲......乙・

A.小＞无，乙比甲稳定B.T甲〉正，甲比乙稳定

C./乙，乙比甲稳定I）.功＜&,甲比乙稳定

变式（广州一模）某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了场比赛，

1.11甲乙

他们所有比赛得分的情况用如图2所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员

6980785

得分的中位数分别为（A）

5791113

A.19、13B.13、19C.20、18D.18、20

346220

2310

例5.（山东卷）某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的140

产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品

0.150

净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98）,[98,100）,

0.125

[100,102）,[102,104）,[104,106],已知样本中产品净重小于0.100

0.075

100克的个数是36,则样本中净重大于或等于98克并且

O.OSO

第8题图

小于104克的产品的个数是（).

A.90B.75C.60D.45

变式1.（湖北卷文）下图是样本容量为200的频率分布直方图。

根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在【6,10］内的频数

为,数据落在（2,10）内的概率约为o

例6.为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次

“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛.为了解本次

竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分

为100分）进行统计.请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问

题:

分组频数频率

50.5-60.540.08

60.5-70.50.16

70.5-80.510

80.5-90.5160.32

90.5〜100.5

合计50

（1）填充频率分布表的空格］将答案直接填在表格内）;

（2）补全频数条形图；

（3）若成绩在75.5-85.5分的学生为二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人

例7.（安徽卷文）某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A,将其与原有的一个优良品种B进行对

照试验，两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据（单位：千克）如下：

品种A:357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,

415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454

品种B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397

397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430

（I）完成所附的茎叶图（II）用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？

（山）通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论。

45

第1讲统计抽样课后作业

姓名：学号:

1.（辽宁卷）某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：1,用分层

抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共取100件作使用寿命的测试,

由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h,1020h,

】032h,则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为g

2.（重庆卷文）从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）125124121123127则

该样本标准差5=:克）（用数字作答）.

3.已知数据再,修，…，x〃的平均数7=5,方差S?=4则数据3再+7,3%+7,…,3%+7

平均数是标准差为;

4.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为必y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10,

方差为2,则I*一川的值为（）

A.1B.2C.3D.4

5.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:4,现用分层抽样的方法抽出一

个容量为〃的样本，样本中A型号的产品有16件，那么此样本容量〃=.

6.某中学高一年级有学生600人，高二年级有学生450人，高三年级有学生750人,现用分层抽样的方法

从中抽取一个容量为360的样本进行某项调查，则应抽取的庙二年级的学生数为（）

A.90B.120C.240D.360

7.（陕西卷文）某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数

的2倍。为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则

该样本中的老年职工人数为（）

（A）9（B）18（C）27（D）36

8.（江门一模）某高中在校学生人，高一级与高二级人数相同并都比搞三级多1人.为了响应“阳光体育

运动”号召，学校举行了“元旦”跑步和登山比赛活动.每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年

级参与比赛人数情况如下表:

高一级高二级高三级

跑步abC

登山XyZ

2

其中。：b:c=2：3：5,全校参与登山的人数占总人数的彳.为了了解学生对本次活动的满意程度,

从中抽取一个200人的样本进行调查，则高二级参与跑步的学生中应抽取（）

A.36人B.60人C.24人D.30人

9.（茂名一模）一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组频数和频率分别是36和0.25,则n=（）

A、9B、36C、72D、144

10.（福建卷文）一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表

组别(0,10](20,20](20,30)(30,40)(40,501(50,60](60,70]

频数1213241516137

则样本数据落在（10,40）上的频率为（）

A.0.13B.0.39

C.0.52D.0.64

11.（浙江卷文）某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区

间［4.5）上的数据的须算为

12.（揭阳•模理）某中学号召学生在暑假期间至少参加•次社会

公益活动（以下简称活动）.该校文学社共有100名学生，他们

参加活动的次数统计如右图所示.则该文学社学生参加活动的

人均次数为；从文学社中任意选两名学生，他们参加

活动次数不同的概率是

13.（深圳二模理）某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重（

分成六组，并绘制频率分布直方图（如图所示）。已知图中从左到右第一、第六小组的频率分别为0.16、0.（）7,

笫一、第二、第三小组的频率成等比数列，第三、第四、第五、第六小组的频率成等差数列，且笫三小组

的频数为100,则该校高三年级的男生总数为（）

A.480

B.440

C.420

D.400

14.为了解广州地区新高三年级男生的身高情况，从其中的一个学校选取容量为60的

样木（60名男生的身高，单位：cm）,分组情况如下：

分组151.5-158.5158.5〜165.5165.5〜172.5172.5〜179.5

频数621m

频率a0.1

则表中的根=,a=o

15.为了了解高三学生的数学成绩，抽取了某班60名学生，将所得

数据整理后，画出其频率分布直方图（如图3）,已知从左到右各长

方形面的比为2：3：5：6：3：1,则该班学生数学成绩在（80,100）

之间的学生人数是（）

A.32人B.27AC.24人D.33A

16.（湛江一模）如图，样本数为9的四组数据，它们的平均数都是5,频率条形图如下，则标准差最大的

一组是（）

A.B.C.D.

17.（江苏卷）某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投次,

投中的次数如下表:

学生1号2号3号4号5号

甲班67787

乙班67679

则以上两组数据的方差中较小的一个为$2=,

18.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(是不小于40不大于100的整数)

分成六段［40,50),［50,60》790,100］后画出如下部分

(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图.

(2)观察频率分布直方图图形的信息，估计这次考试的及格率

(60分及以上为及格)和平均分.

第1讲统计抽样

一、知识回顾：

1.随机抽样方法：

①笥单随机抽样：

从个体个数为N的总体中不放回地抽取容量为n的样本，每次每个个体被抽到的机会均等

②分层抽样：

将总体按其属性特征分成若干不重叠的部分，然后在各部分中按其在总体中所占比例进行抽样

③系统抽样：

将总体个体进行编号，按简单随机抽样抽取第一个样本，然后按相同的间隔抽取其他样本，也称等距抽样

所取编号成等差数列：抽取第一个样本的编号为首项，每组个数为公差

2、总体估计:

L计算：①平均数X=L（X]+W+刍+…+X”）加权平均值•工

②方差s2=-y（x-x）标准差s=J，£（七一6

z分组频数累计频数频率

〃i=iVn,=|

2.识图与绘图：①频率分布表:列表通常会有以下几列:

②频率分布直方图：横坐标分组，纵坐标为工（频率/组距），每个小矩形的面积是相应的频率

AA；-

③频率折线图：将频率分布直方图个相邻矩形上底的中点顺次连接起来,得到一条折线

④茎叶图:

二、典型例题

例1.下图是在广州举行的全国少数民族运动会上，七位评委为

79

844647

93

某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最

低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（C）

A.84,4.84B.84,1.6C.85,1.6D.85,4

变式1.若数据x,,x2,玉，,，%的平均数35,方差5?=2,则数据3x,+1,3叫+1,3x3+l,,3x„+l

的平均数为,方差为.16,2

变式2.（上海文、理）已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,仇次，13.7,18.3,20,且总体

的中位数为10.5,若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是—10.5,〃=10.5」

例2.（天津卷）某学院的A,B,C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勒工俭学的情况,拟采

用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本。已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学

生，则在该学院的C专业应抽取名学生。40

变式1.（湖南卷文）一个总体分为九8两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本。已

知8层中每个个体被抽到的概率都为,则总体中的个体数为120.

12

解：设总体中的个体数为％,则3=1；=x=120.

x12

例3.某单位200名职工的年龄分布情况如图2,现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体

职工随机按1—20（）编号，并按编号顺序平均分为4（）组（1—5号，6—10号…，196—20（）号）.若第5组

抽出的号码为22,则第8组抽出的号码应是。若用分层抽样方法,则40岁以下年龄段应抽取人.

图2

【答案】37,20【解析】由分组可知,抽号的间隔为5,乂因为第5组抽出的号码为22,所以第6组抽出

的号码为27,第7组抽出的号码为32,第8组抽出的号码为37.

40

40岁以下年龄段的职工数为200x0.5=100,则应抽取的人数为砺x100=20人.

变式1.用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1-160编号，按编

号顺序平均分成20组（1-8号,976号，…，153-160号）,若第16组抽出的号码为126,则第1

组中用抽签的方法确定的号玛是.答案：6.

提示:不妨设在第1组中随机抽到的号码为x,则在第16组中应抽出的号码为120+x设第1组抽出的号

码为％则第16组应抽出的号码是8X15+^=126,・••尸6.

例4.（湛江二模）甲、乙两名学生在5次数学考试中的成绩统计如下面的茎叶图所示，若

务、石分别表示甲、乙两人的平均成绩，则下列结论正确的是（）

甲......乙・

A.x＞,乙比甲稳定B.亏，甲比乙稳定

t]l4…7…,8P

C.务＜无，乙比甲稳定D.岳＜1■乙，甲比乙稳定

变式1.(广州一模文、理)某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们所有比赛得分的情

况用如图2所示的茎叶图表示，

乙

则甲、乙两名运动员得分的中位数分别为(A)

785

A.19、13B.13、19C.20、18D.18、20

113

20

10

0

例5.(山东卷)某工厂对一批产品进行J'抽样检测.右图是根据抽样检测后的

产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品

0.150

净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98),[98,100),

0.125

[100,102),[102,104),[104,106],已知样本中产品净重小于0.100

0.075

100克的个数是36,则样本中净重大于或等于98克并且

0.050

小于104克的产品的个数是().

A.90B.75C.60D.45

第8题图

【解析】:产品净重小于100克的概率为(0.050+0.100)X2=0,300,

己知样本中产品净重小于100克的个数是36,设样本容量为〃，则m=0.3()(),所以〃=120,净重大于或

等于98克并且小于104克的产品的概率为(0.100+0.150+0.125)X

2=0.75,所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的

个数是120X0.75=90.故选A.

变式1.(湖北卷文)下图是样本容量为200的频率分布直方图。

根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在【6,10]内的频数

为，数据落在(2,10)内的概率约为。

【解析】观察直方图易得频数为200x0.08x4=64,频率为

0.1x4=0.4

例6.为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参

加了这次竞赛.为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100

分)进行统U.请你根据尚未完成并有局部污损的颇率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：

分组频数频率

50.5〜60.540.08

60.5-70.50.16

70.5-80.510

80.5-90.5160.32

90.5-100.5

合计50

（1）填充频率分布表的空格］将答案直接填在表格内）：

（2）补全频数条形图：

（3）若成绩在75.5-85.5分的学生为二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人

解：（1）如下表.（2）频数直方图如右上所示.

分组频数频率

50.5-60.540.08

60.5-70.580.16

70.5-80.5100.20

80.5-90.5160.32

90.5-100.5120.24

合计501.00

（3）成绩在75.5-80.5分的学生占70.5-80.5分的学生的工，因为成绩在70.5-80.5分的学生

10

频率为0.2,所以成绩在76.5~80.5分的学生频率为C.1,

成缴在80.5〜85.5分的学生占80.5~90.5分的学生的工，因为成绩在80.5〜90.5分的学生频率为

10

0.32,所以成绩在80.5~85.5分的学生频率为0.16所以成绩在76.5-85.5分的学生频率为

0.26,由于有900名学生参加了这次竞赛，所以该校获得二等奖的学生约为0.26x900=234（人）

变式1.（宁夏海南卷理）某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另

外750名工人参加过长期培训（称为B类工人），现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该工厂的工

人中共抽杳100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）。

（I）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A类工人，乙为B类工人；

（II）从A类工人中的抽查结果却从B类工人中的抽插结果分别如下表1和表2.

表1:

生产能力分[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150)

组

人数48X53

表2：

生产能力分组[110,120)[120,130)[130,140)[140,150)

人数6y3618

（i）先确定x,y,再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A类工人中个体间的差

异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）

0(6.JPC

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OOrTT-----:----------

0020

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0100HO120130UO150E产"力

ffil/贵工人生产―乃IE«26英I：人生产■力的•率分布女用茁

（ii）分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数，同一

组中的数据用该组区间的中点值作代表）

解：（I）甲、乙被抽到的概率均为奈，且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互独立,

故甲、乙两工人都被抽到的概率为p==.

1010100

（II）（i）由题意知A类工人中应抽查25名，B类工人中应抽查75名.

故4+8+x+5=25,得x=5,6+y+36+18=75,得y=15.

频率分布直方图如下

从

直方图可以判断：B类工人中个体间的关异程度更小.

48553

(ii)5=—xl()5一x115+—xl25+—xl35+—xl45=123

2525252525

r=Axi15+—X125+—xl35+—x145=133.8,

"75757575

2575

x=—xl23+—xl33.8=131.1

100100

A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均数的会计值

分别为123,133.8和131.1.

例7.（安徽卷文）某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A,将其与原有的一个优良品种B进行对

照试验，两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据（单位：千克）如下：

品种A:357,359,367,368,375,388,392,399,400,405.414,

415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,451,454

品种B；363,371,374,383,385,386,391,392,394,395,397

397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430

（I）完成所附的茎叶图（H）用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？

（田）通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论。

【解析】（1）茎叶图如图所示

（2）用茎叶图处理现有的数据不仅可以看出数据的分布状况,而且可以看出每组中的具体数据.

（3）通过观察茎叶图，可以发现品种A的平均每亩产量为411.1千克，品种B的平均亩产量为397.8千

克由此可知，品种A的平均亩产量比品种B的平均亩产量高.但品种A的亩产量不够稳定，而品种B的亩

产量比较集中D平均产量附近.

第1讲统计抽样课后作业

姓名:学号:

1.（辽宁卷）某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：1,用分层

抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共取100件作使用寿命的测试,

山所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h,1020b,

1032h,则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为________________此

980x14-1020x2+1032x1

【解析】?==1013【答案】1013

4

2.（重庆卷文）从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）125124121123127则

该样本标准差S=:克）（用数字作答）.

【答案】2解析因为样木平均数.r=-（125+124+121+123+127）=124,则样木方差

$2=！（『+。2+32+12+32）=4,所以s=2

3.已知数据阳，々,…，土的平均数7=5,方差S2=4则数据3玉+7,3±+7,…,3%+7的标准差

为;答案：22,4

4.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x、y.10,11,9.已知这组数据的平均数为10,

方差为2,贝I」Ix-yI的值为（D）

A.1B.2C.3D.4

【解析】由题意可得：x+y=20,（x-10）2+（y-10）2=8,解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出X、

y,只要求出,一）「设x=10+t,y=10-t,|x-y|=2|r|=4,

5.某工厂生产A、B>C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:4,现用分层抽样的方法抽出一

个容量为〃的样本，样本中A型号的产品有16件，那么此样本容量〃=.答案：72

6.杲中学高一年级有学生600人，高二年级有学生450人，岛三年级有学生750人,现用分层抽样的方法

从中抽取一个容量为360的样本进行某项调查，则应抽取的高二年级的学生数为（A）

A.90B.120C.24CD.360

7.（陕西卷文）某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数

为2倍。为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则

该样本中的老年职工人数为（B）

（A）9（B）18（C）27（D）36

解析：由比例可得该单位老年职工共有90人,用分层抽样的比例应抽取18人.

8.（江门一模）某高中在校学生人，高一级与高二级人数相同并都比搞三级多1人.为了响应“阳光体育

运动”号召，学校举行了“元旦”跑步和登山比赛活动.每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年

级参与比赛人数情况如下表：

高一级高二级高三级

跑步abC

登山Xy7.

2

其中a：b：c=2：3：5,全校参与登山的人数占总人数的不.为了了解学生对本次活动的满意程度,

从中抽取一个200人的样本进行调查，则高二级参与跑步的学生中应抽取（B）

A.36人B.60人C.24人D.30人

9.（茂名一模）一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组频数和频率分别是36和0.25,则n=（D）

A、9B、36C、72I）、144

10.（福建卷文）一个容量100的样本，共数据的分组与各组的频数如下表

组别(0,101(20,20](20,30)(30,40)(40,50](50,60](60,70]

频数1213241516137

则样本数据落在（10,40）上的频率为

A.0.13B.0.39C.0.52D.0.64

解析由题意可知频数在。0,40］的有：13+24+15=52,由频率=频数+

总数可得0.52.故选C.

11.（浙江卷文）某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在

区间［45）上的数据的频数为【解析】对于在区间［4,5］的频率/

组距的数值为。3,而总数为100,因此频数为30

12.（揭阳一模理）某中学号召学生在暑假期间至少参加一次社会A参加旗

公益活动（以下简称活动）.该校文学社共有100名学生，他们60

参加活动的次数统计如右图所示.则该文学社学生参加活动的50-

人均次数为；从文学社中任意选两名学生，他们参加40-

630--

活动次数不同的概率是.2.2—9n

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