高考数学 7.6 空间直角坐标系、空间向量及其运算练习试题

课时提升作业（四十五）

空间直角坐标系、空间向量及其运算

四组•基础达标练%分钟6。分）

一、选择题（每小题5分，共25分）

1.向量a=（2・3,1）,b=（2Q,4）,c=G4,62）,下列结论TF确的是（）

A.a〃b,a〃cB.a//b,a±,c

C.a〃c,a_LbD.以上都不对

【解析】选C.因为c=（-4,-6,2）=2（-2,-3,l）,

所以a〃c.

Xa•b=（-2）X2+（-3）X0+1义4=0,所以a±b.

2.（2015•中山模拟），已知a=（2,-l,3）,b=（-l,4「2）,c=（7,5,入），若a,b,c三向量共面，则实数人等于（）

62636465

D.V

A.7B.7c.7

【解析】选D.因为a=(2rl,3),b=(-l,4,-2),

所以a与b不平行，

又囚为a,b,c三向星共面，

则存在实数x,y使c=xa+yb,

2x・y=7,65

■x+4y=5,_

3x・2y=入，解得入=7.

故选D.

3T[T]T

-OA—OB—OC

【加固训练】（2014•洛阳模拟）0为空间任意一点，若°P=4+8+8，则A,B,C,P四点（）

A.一定不共面B.—*定共面

C.不一定共面D.无法判断

—>—►—►-►

【解题提示】根据OPMxOM+yOA+zOBix+y+z4kRM.A.B四点共面判断.

3—1—1―311

——OA—OB—OC-------

【解析】选B.因为OP=4+8+8，且4+8+8”所以A,B,C,P四点共面.

3.在正方体ABCD-A1B1CIDI中，给出以下向量表达式：

①，1D1A]A)向②(MBB[)DC；

③G品”DD1；④(BR+AIAJDI

—>

其中与向量BDi相等的是()

A.(D©B.②③C.®@D.®®

-►―►4―►—►

【解析】选A.①(ARIAA)AB二AD1AB=BD]

②蔽+品产心氏1一录1=61;

—►—►-►

③AD.AB^DDbBDjDiwBDi；

―►—>—>—►—>—>—>

“B]D[A.ADD[B]DDD|BRBD,

④！11+1)+1=1+1=11,

综上，①②符合题意.

—►

4.(2015・长沙模拟)若A(x,5-x,2x-l),B(l,x+2,2-x),当|AB|取最小值时,X的值为()

8819

A.I9B.-7c7D.14

【解析】选C」»(1・X)2+(2X・3)2+[3(1・X)?

J/8\258J35

14|x—IH——―

=7\7)7,所以当x二7时,|AB|min二7

―►—►—>—>—>—►

5.设A.BCD是空间不共面的四个点,且满足二则的形状是()

ABACo.ADJ\C=o,AD・AB=(),4BCD

A.钝角三角形B.直角三角形

C.锐角三角形D.无法确定

【解题提示】通过BC・BDDB・DCCB.CD的符号判断ABCD各内角的大小，进而确定出三角形

的形状.

【解析】选c.BC.BD=（AC_AB）・（AD_AB）

=AC.AD.AC.AB.AB.AD+AB2=AB2>o.

同理。,故为锐角三角形.

DB.DC>0CB.CD,4BCD

【加固训练】（2014・太原模拟）如图所示,PD垂直卜止方形ABCD所在半

面.AB=2,E为PB的中点,COS〈DP,AE>=3，若以DAJDC.DP所在直线分别为

x,y,z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为（）

Ajl,l,l）B.卜\臼乙）

C.卜\臼乙）D.（l,l,2）

【解析】选A.由已知得D（0,0,0）,A（2,0,0）3（2,2,0）,

设P(0,0,a)(a>0),则E

所以DP=(o,o,a),AE=12)

yi3

答案:2

8.(2015•天津模拟)已知ABCD-A1B1C1D1为正方体,

—>—>—>—►

,-AiAARA]B].

①vi1+11+11)2=3112;

―>—>—>

AiB.AlA,

②1・(1L1)=0;

->—>

③句量AD1与向量A】B的夹角是60。；

—>—>

④正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|AB..AD].

其中正确的序号是

->—►—>—>—►-►―>

…一〜A.AAiD,A11A.AA[D]AiB,A.B,

【解析】①中,(1+11+11)2=12+112+112=3112,故①正确；

—>—>—►

ARAAAR

②札八1q1_-13八口1,因为AB1_LA1C,故②正确;③中，两异面直线A1B与AD1所成的角为60°,但

-►—>—►—>—►

ADyA]B的夹角为]20。，故③不正确，④中,|AB.AA]・人口二。,故④也不正确.

答案:①②

三、解答题(每小题io分，共20分)

9.(2015•银川模拟)已知a=(3,5,-4),b=(2/,8),c=(O0』).

⑴计算3a-2b及a・b.

(2)求实数人的值，使入a+2b与c垂直.

【解析】(1)因为a=.(3,5,-4),b=(2,l,8X

所以3a-2b=(9,15,-12)-(4,2,16)

=(5,13,-28).

a•b=3X2+5Xl-4X8=-21.

(2)因为a=(3,5「4),b=(2,1.8),

所以入a+2b=(3X+4,5入+2,-4X+16),

因为(xa+2b)_Lc,所以(.xa+2b)-c=0.

因为c=(O,O,l),

所以0+0尸4X+16=0,解得X=4.

10.(2015•唐山模拟)已知空间三点A(20,2),BGl』,2),C(-3,0,4),设a=AB,b=AC

(1)求a和b夹角的余弦值.

—►

⑵设|c|=3,c〃BC,求c的坐标.

—►—►

【解析】⑴因为AB=(1/°),AC=(.1@2),

所以a•b=-l+0+0=-l,|a|

a・bT~\历

所以cosva,b>=।分IIb|_^2X^5_10

⑵BC=(_2,-1,2).设c=(x,y,z),

因为|C|=3,C〃BC,

x=-2X,,

2.2.2y=

所以个x+y+z=3,存在实数人使得c=入BC,即|z=2L

X=-2,x=2,

y=Ly1

联立解得【人一i或”一i,

所以c=±(-2,・l,2).

组•能力提升练小小

BI(”20分钟40分)

1.(5分)(2015・宜宾模拟)已知向导a=(l,l,0),b=(-l,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直，则k的值是()

457

A.-lB3C.3D.5

7

【解析】选D.由题意得,ka+b=(k-l.k,2),2a-b=(3,2,-2).所以(ka+b)・(2a-b)=3(k-l)+2k-2X2=5k-7=。,解得k=5.

2.(5分)二面角a-1-B为60°,A,B是1上的两点,AC,BD分别在半平面a,B

内.AC_L1,BDJL1,.且AB=AC=a,BD=2a,则CD的长为()

B.疯

A.2a

D.J3a

C.a

【解题提示】选CA,AB,BD为基向量，进行基向量运算求解.

【解析】选因为就以且

A.AC_LI,BD_LI<AC,BD>=60°,AC・BA=oAB.BD=0

所以CD=CA4.AB4.BD

所以I读=/cA+AB+BD)2

22

+a+(2a)+2a-2acosl20°=2a

3.(5分)(能力挑战题)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1内(含正方体表面)

—►>

任取一点M,则AAi,AM21的概率p=

【解析】由题知正方体的体积为V=8,以A为原点建立空间直角坐标系,AB为x轴,AD

为y轴,AA1为z轴.

那么A(0,0,0),AI(0,0,2),

设M(x,y,z),那么x,y,ze[0,2],

所以AM%,"),A1=((),0,2),

T1

AAi.AMEI,即2z2i,z22.

133一

——―—>

即点M与平面ABCD的距离大丁等于2,点M的轨迹是正方体的4,其体积为VI=4x8,则・AM》］

3

的概率P为4.

3

答案：4

4.(12分)(2014・长春模拟)已知空间三点A(0,2,3),B(-2,l,6),C(l,・l,5).

(1)求以AB,AC为边的平行四边形的面积.

—>—►

⑵若|a|二S，且a分别与.AB,AC垂直,求向最a的坐标.

—>—►

ABAC

—>—>—►-►—>—>

【解析】⑴由题意可得:ABa-z-iaAJiQZ,所以COS〈AB,AC>』AB||AC|

-2+3+671

=A114x"4=14=2

一一电

所以sin〈AB,AC>=2,

—►—►

所以以ABAC为边的平行四边形的面积为

1

——►—>—*—*

S=2X2|AB|.|AC|.sjn<ABAC>

g

=14X2=7"

(2)设a=(x,y,z),

,2,2,2

(X+y+Z=3Q,

1-2x-y+3z=0,

由题意得［x-3y+2z=0.

(x=l,/X=-1,

y=l,y=-1,

解得［z=L或(z=・L

所以向量a的坐标为(1,1,1)或

5.(13分)(2015•太原模拟)如图，直三棱柱ABC-A1B1CL,底面

△ABC中,CA=CB=l,NBCA=90°