高中北师大版数学选修2-1学案1.1命题

'••丁厂常用逻辑用系

孟子说过一句“废话”：人人亲其亲长其长而天下平.这句话的意思是“只要人人孝顺

自己的双亲服从自己的尊长，天下就太平”.从逻辑的角度看，这句话虽然有条件关联词，

却不是条件关系，而是同i个意思的重复，它的前后两句是可以颠倒的，“只要天下平，人

人而亲其亲长其长”.真正的条件关系，前后句是不能颠倒的，就如“只要你给我钱，我就

高兴”不能颠倒成“只要我高兴，你就给我钱”.

逻辑无时无刻不存在于我们的思维和语言中，逻辑常指人们思考问题时从某些已知条件

推出合理结论的规律.人们说某人逻辑性强，就是说他善于推理，能得出正确结论.你想成

为有逻辑思维的人吗？

学习目标

i.r解命题的概念，会判断命题的真假.

2.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义.

3.通过数学实例，了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.

4.能够正确地对■含有一个量词的命题进行否定.

5.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.

6.了解命题的逆命题、否命题与逆否命题.会分析四种命题的相互关系.

叵预习学案q

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情景引入各

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中国古代伟大的逻辑学家公孙龙提出过一个命题：白马非马.对于一般人来说，“白马

是马”就如同说“苹果是水果”一样清楚明白，怎么可能“白马非马”呢？孔子的六世孙孔

穿，为了驳倒公孙龙的主张，找上门去辩论，结果公孙龙说：“如果白马是马，那么黑马也

是马，因此就有白马是黑马，也就是说白等于黑.像你这样黑白不分，我不值得和你辩论.”

孔穿几句话就败下阵来.公孙龙在这里正是运用了逻辑推理才将这个错误的命题“证明”了，

它的破绽在哪里呢？

新知导学之

Ainzhidaoxue、

1.命题

可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作一命题.其中判断为真的语句叫作一真命

题，判断为假的语句叫作假命题.

通常把命题表示为“若P，则。”的形式，其中〃是条件，q是结论.

2.逆命题

一般地，对于两个命攫，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，

那么我们把这样的两个命题叫作一互逆命题，其中一个命题叫作J京命题，另一个叫作

原命题的一逆命题.

3.否命题

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和

结论的否定，我们把这样的两个命题叫作互否命题，其中一个命题叫作原命题，另

一个叫作原命题的一否命题.

4.逆否命题

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和

条件的否定，我们把这样的两个命题叫作互为逆否命题，其中一个命题叫作原命题，

另一个叫作原命题的逆否命题.

5.四种命题之间的关系

(1)四种命题之间的关系如下：

(2)四种命题真假性之间的关系：

①若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性;

②若两个命题为互逆命题或互否命题，则它们的真假性没有关系.

预习自测

ruxizicc**

1.下列语句中，不能成为命题的是（B）

A.5>12

B.x>0

C.若。_1_力，则。力=（）

D.三角形的三条中线交于一点

［解析］分析各语句是否能判断出真假，A假，C真，D真，在未给x赋值之前，不能判

断戈>0的真假，所以x>0不是命题.

2.下列说法中：

①原命题为真，它的否命题为假；

②原命题为真，它的逆命题不一定为真；

③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真；

④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真.

其中正确的是（B）

A.①②B.②③

C.③④D.②③④

［解析］互为逆否命题的两个命题同真假.

3.命题“若〃=去见tana=l”的逆否命题是（C）

A.若a若,则tana¥l

B.若a=£,则tanaHl

C.若tanaHl,则

D.若iana#l,则a=£

［解析］本题主要考查命题的四种形式.

由题意知：写逆否命题将原命题的题设结论否定再交换.关键点是原命题与逆否命题关

系.

4.命题“等腰三角形的两个底角相等”的条件为_等腰三角形_,结论为一两个底角相

5.（山西太原2018—2019学年高二期末）命题“如果x+）>3,那么Q1且）>2”的逆否命

题是_如果。三1或\W2,则x+\W3_.

［解析］命题“如果工十>>3,那么x>l且y>2”的逆否命题是“如果xWl或y£2,则x

(3)是真命题.代入验证即可.

(4)是真命题.由空集的定义和性质不难得出.

(5)不是命题.因为是疑问句无法判断真假.

2.(山西太原2018-2019学年高二期末)下列命题是真命题的是(C)

A.4£{2,3}且2£{2,3}

B.I是奇数且1是素数

C.2是偶函数或3不是素数

D.周长和面积相等的两个三角形全等

［解析］A中，46{2,3},故A错；B中1不是素数，次B错；C中“2是偶数”是真，“3

不是素数”为假，所以“2是偶数或3不是素数”为真；D中周长或面积相等的两个三角形都

不一定全等，所以D错.故选C.

命题方向2o命题的结构

■典例2(1)“在同一个平面内，平行于同一务直线的两条直线平行”改为“若p,

则夕”的形式是在同一个平面内，若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行一.

(2)把下列命题改写成“若p,则q”的形式，并判断命题的真假.

①已知X、)，为正整数，当)，=x+l时，y=3,x=2.

②当机*时，〃1=0无实根.

③当abc=0时，。=0或6=0或c=0.

④当『一3=0时，x=3或x=-1.

［思路分析］将命撅改写为“若〃，则的形式的方法及原则.

明确命题的条件和结论一)

成若条件®，则结论⑷的布药

厂(简洁性:

准确性

［解析］(I)命题的条件：在同一个平面内，两条直线平行于同一条直线.

命题的结论：这两条直线平行.

“若〃，则夕”的形式：在同一个平面内，若两条直设平行于同一条直线，则这两条直线

平行.

(2)①已知x,)，为正整数，若y=x+l,则y=3且x=2,假命题.

②若w>|,则"谓一x+1=0无实根，真命题.

③若〃加=0,则。=0或6=0或c=0,真命题.

④若f一左一3=(),则工=3或工=一|,真命题.

『规律方法』命题改写中的注意事项

任何命题都由条件和结论构成，“若P,则，'这种步式是数学中命题的基本结构肪式，

也有一些命题的叙述比较简洁，并不是以“若P,则/'这种形式给出的，这时，首先要确定

命题的条件和结论，若条件和结论是隐含的，还需要把这个命题补充完整后再进行改写.

〔跟踪练习2〕

将下列命题改写成“若P，则”'的形式，并判断真假.

⑴6是12和18的公约数.

(2)当。>—1时，方程办2+2工-1=0有两个不等实根.

(3)负数的立方仍是负数.

［解析］(I)若一个数是6,则它是12和18的公约数.真命题.

(2)若。>一1,则方程ad+2x—l=0有两个不等实根.假命题.

(3)若一个数是负数，则它的立方仍是负数.真命题.

命题方向3。四种命题的关系

■典例3分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：

(1)若qWl,则方程/+公+4=0有实根；

(2)若x、y都是奇数,则x+y是偶数;

(3)若xy=O,则x=0或y=0；

(4)若『+32=0,则x、y全为0.

［思路分析］各命题已具备“若〃，则，'的形式，因此可直接写出它们的四种命题，并

利用它们之间的关系判断真假.

［解析］(1)原命题是真命题.

逆命题：若.~+2»+<7=0方程有实根，则qWl,为真命题；

否命题：若则方程f+2x+q=0无实根，为真命题；

逆否命题：若方程『+2'+夕=0无实根，则①>1,为真命题.

(2)原命题为真命题.

逆命题：若x+y是偶数，则x、y都是奇数，为假命题；

否命题：若x、.y不都是奇数，则x+y不是偶数，为假命题；

逆否命题：若x+y不是偶数，则X、)，不都是奇数，为真命题.

(3)原命题为真命题.

逆命题：若x=0或y=0,则xy=0,是真命题；

否命题：若-W0,则xWO且)¥0,是真命题；

逆否命题：若xHO且yNO,则孙HO,是真命题.

(4)原命题为真命题.

逆命题：若》、y全为0,则1+任二。，是真命题；

否命题：若则工、y不全为0,是真命题；

逆否命题：若x、y不全为0,则是真命题.

『规律方法』1.写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的关键是分清原命题的条件

和结论，然后按定义来写.在判断原命题及逆命题的真假时，常借助“原命题与其逆否命题

同真假，逆命题和否命题同真假”进行判断.

2.互为逆否关系的命题是等价的：原命题与其逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真

同假.(1)当判断一个命题的真假有困难时，可以判断它的逆否命题的真假；(2)原命题、逆命

题、否命题、逆否命题这四个命题中真命题可能为。个、2个或4个.

［跟踪练习3〕

判断下列命题的真假，写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假.

(1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；

(2)若在二次函数y=o?+法+c中，b2—4ac<0,则该函数图像与x轴有交点.

I解析］(I)该命题为真.

逆命题；若四边形是圆的内接四边形，则四边形的沏角互补，为真.

否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形，为真.

逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补，为真.

(2)该命题为假.

逆命题：若二次函数的图像与4轴有公共点，则从一4"<0,为假.

否命题：若二次函数)，=aF+以+c中〃一4讹20,函数图像与x轴无公共点，为假.

逆否命题：若二次函数)，=加+加:+。的图像与x轴无公共点，则力2—4〃C'20,为假.

命题方向4o等价命遨的应用

■典例4判断命题“已知小工为实数，若关于x的不等式f+(2a+l)x+/+2W0

的解集不是空集，则的逆否命题的真假.

I思路分析I可以通过证明它的原命题为真命题，来间接地证明逆否命题为真命题.

I解析］方法一，原命题的逆否命题：已知a,x为实数，若〃V1,则关于x的不等式f

+(2〃+1求+〃2+2<0的解集为空集.真假判断如下：

因为抛物线丁="*+(2«+l)x+c『+2开口向上，判别式/=(2。+I)?—4(标+2)=46—7,

若则4a—7Vo.即抛物线y=f+(2a+l)x+/+2与x轴无交点.所以关于x的不等式

f+(2a+l)x+〃2+2W0的解集为空集.故原命题的逆否命题为真.

方法二，先判断原命题的真假.因为mx为实数，且关于x的不等式f+(2a+l)x+/

+2W0的解集不是空集，所以/=(2〃+1)2—4(/+2)20,即4〃-720,所以所以原

命题成立.又因为原命题与其逆命题等价，所以逆否命题为真.

『规律方法」由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具

有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题

为真命题，来间接地证明原命题为真命题.

(跟踪练习4〕

求证：若〃+匕26,贝！a,8中至少有一个不小于3.

［证明I构造命题p：若。+》26,则a,Z?中至少有一个不小于3,

则其逆否命题为：若%》都小于3,

则。+/?<6.

而当4V3,且反3时，必有。+云6,所以逆否命题为真，从而原命题〃为真命题.

*

%;瞿篙i1g自由命题真假求参数的取值范围

解决此类问题，可先白命题为真或为假获得参数的取值范围，再利用补集思想得到命题

为假或为真的参数的取值范围，原理是一个命题非真即假.

■典例5给出下列两个命题：

命题甲：关于x的不等式W+(a—l)x+//O的解集为。；

命题乙：函数)，=(2〃-a》为增函数.

(1)甲、乙至少有一个是真命题；

(2)甲、乙有且只有一个是真命题.

分别求出符合(1)(2)的实数a的取值范围.

［思路分析］第(1)问可以利用集合的观点取甲、乙成立的并集，也可以求出问题的反面后,

再写出其补集；第(2)问需要对甲、乙中哪一个为其进行分类讨论.

［解析］甲为真时，/=(。-1)2—4/<0,

即人=或«<—I］；

乙为真时，2a2—a>\,即B=｛4|4>1或〃<一；｝.

(1)甲、乙至少有一个是真命题时，解集为A,8的并集，这时实数〃的取值范围是他口吊

或a<—j］.

(2)甲、乙有且只有一个是真命题时，有两种情况：

当甲真乙假时，

当甲假乙真时，一1W0<一

所以甲、乙中有且只有一个是真命题时，实数〃的取值范围为或一1在兴一：｝.

『规律方法」本题应用了补集思想以及分类整合思想.将命题的真假作为背景或依托

可以考查高中数学各模块知识，常考知识点如各基本初等函数的定义域、值域、函数的图像

与性质，立体几何知识，数列，不等式等方面知识，解答过程中必须把握一个命题非真即假

的原则，通过推理与判断，灵活运用所学知识.尤其在判断命题的真假方面，往往通过举出

反例说明命题为假.

〔跟踪练习5〕

已知p：方程/+/我+1=0有两个不等的负根；q：方程41+4(加—2口+1=0无实根.若

〃和q都为假命题，求利的取值范围.

J=w2—4>0.

I解析］若方程f+/w+l=O有两个不等的负根，则八

lin>0.

解得机>2,即p：〃?>2.

若方程4f+4(机一2)x+l=0无实根，

则A=16(〃?一2/-16=l6(/n2-4/n+3)<0.

解得I<//j<3,即q：1</7?<3.

Tp和g都为假命题，

二］〃?卜〃<2}n1,或，"23}=1).

/.m的取值范围是{"巾〃W1).

易混易错警示,

r\himyicuojingshi**

■典例6已知下列命题：

(1)已知平面向量a,b,若ab=0,则a_L〃：

(2)已知平面向量a,b,若。〃力，则。=)力(1£R)；

(3)若两个平面同时垂直于一条直线，则这两个平面平行：

(4)若一个几何体的正视图、侧视图、俯视图完全相同，则该几何体是正方体.

其中真命题的个数是()

A.1个B.2个

C.3个D.4个

［错解］D

［辨析］(1)(2)对平面向量垂直、平行的条件把握不到位，尤其是特殊向量的情况.(4)中

对空间几何体的三视图考虑的不全面.

［正解］对于⑴中，当。，♦中有一个为零向量时,。一力不成立，故⑴是假命题；对于(2),

当力=0,aWO时，力不成立，故(2)是假命题；(3)为真命题；对于(4),几何体还可以是球,

故(4)为假命题.故选A.

『规律总结』在把命题的概念理解的情况下，还要把命题中涉及的背景知识熟练掌握.

课堂达标验收各

Aetangdabiaoyanshoii**

1.下列语句中不是命题的是(C)

A.326

B.二次函数不是偶函数

C.x>0

D.对于x£R,总有d>0

［解析］C选项x的范围未给出，不能判断真假.

2.下列命题中，假命题的个数为（B）

①2不是素数；②自然数不都大于0；③2013能被3整除；④常数函数不是奇函数.

A.1B.2

C.3D.4

［解析10@为假命题