1.3.1 线段的垂直平分线 教学设计- 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

1.3.1线段的垂直平分线教学设计-2025-2026学年北师大版八年级数学下册授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间设计意图一、设计意图本节课紧扣北师大版八年级下册“线段的垂直平分线”内容，通过折纸、画图等操作活动，引导学生从直观感知探究性质与判定，符合“做中学”理念。联系对称图形生活实例，培养几何直观与推理能力，为后续轴对称、等腰三角形学习奠定基础，落实核心素养。核心素养目标二、核心素养目标通过折纸、画图等操作活动发展几何直观，借助性质与判定的推理证明提升逻辑推理能力，解决“求对称点”“最短路径”等问题体会数学建模思想，增强应用意识，培养严谨的数学思维和解决问题的能力，为后续几何学习奠定核心素养基础。学习者分析三、学习者分析1.学生已掌握线段、角、平行线与相交线的概念，理解全等三角形（SSS、SAS、ASA、AAS）判定方法，认识轴对称图形，为学习线段垂直平分线奠定基础。2.学生对动手操作（折纸、画图）兴趣浓厚，具备一定的直观想象和初步推理能力，但逻辑推理严谨性不足，学习风格偏向直观体验与合作探究。3.可能面临性质与判定的混淆，证明中辅助线添加困难，解决“最短路径”问题时难以将实际问题转化为垂直平分线的数学模型，对几何语言的规范性表达存在挑战。教学资源1.软硬件资源：多媒体教室、实物投影仪、几何画板软件、直尺、圆规、剪刀、彩纸。

2.课程平台：学校智慧课堂平台（用于课件推送、课堂互动、作业提交）。

3.信息化资源：线段垂直平分线性质与判定微课视频、动态演示课件、“最短路径”问题情境动画、在线练习题库。

4.教学手段：小组合作探究、动手操作折纸、几何画板动态演示、实物投影展示学生作品、课堂即时反馈系统。教学过程设计五、教学过程设计

###1.导入新课（5分钟）

**目标**：引起学生对线段垂直平分线的兴趣，激发探索欲望。

**过程**：

开场提问：“同学们，你们知道如何找到一条线段的‘对称轴’吗？比如，一张长方形纸片对折后，折痕就是一条线段的垂直平分线，它在生活中有哪些应用呢？”

展示图片：桥梁的对称结构、建筑中的对称设计、地图上两点间的最短路径示意图，让学生直观感受垂直平分线的存在。

简短介绍：“今天我们将学习线段的垂直平分线，它是几何图形对称的核心，也是解决‘距离相等’‘最短路径’问题的关键，为后续学习轴对称和等腰三角形奠定基础。”

###2.线段垂直平分线基础知识讲解（10分钟）

**目标**：让学生掌握线段垂直平分线的定义、性质和判定原理。

**过程**：

讲解定义：“线段的垂直平分线是经过线段中点且垂直于这条线段的直线，简称‘中垂线’。它包含两个核心要素：垂直（与线段成90°角）、平分（经过线段中点）。”

结合课本图示（如北师大版八年级下册P12图1-17），用几何画板动态演示：画线段AB，取中点O，过O作AB的垂线l，标注AO=BO，∠AOB=90°，强调“垂直”与“平分”缺一不可。

性质与判定：

-性质：“线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等。”（结合课本P13例1，用三角形全等证明：在l上取点P，连接PA、PB，证明△POA≌△POB，得PA=PB。）

-判定：“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。”（逆向推理，若PA=PB，则P在AB的垂直平分线上。）

实例应用：课本P14“做一做”，用折纸法画线段AB的垂直平分线，验证折痕上的点到A、B的距离相等。

###3.线段垂直平分线案例分析（20分钟）

**目标**：通过典型案例，深入理解垂直平分线的性质与判定在几何问题中的应用。

**过程**：

案例1：课本P15“最短路径问题”（将军饮马问题）

背景：将军从营地A出发，到河边饮马后再到营地B，如何选择饮马点P，使AP+PB最短？

分析：引导学生将实际问题转化为数学模型——作点A关于直线l（河边）的对称点A'，连接A'B与l的交点P即为饮马点。原理：A'在l上，AP=A'P，故AP+PB=A'P+PB≥A'B，当P为A'B与l的交点时，路径最短。结合几何画板演示动态过程，强调对称点与垂直平分线的关联（l是AA'的垂直平分线）。

案例2：课本P16“作轴对称图形”

背景：已知△ABC和直线l，作△ABC关于l的轴对称图形△A'B'C'。

分析：分别作A、B、C关于l的对称点A'、B'、C'（关键：连接点与l的垂足，延长至等长距离），连接A'B'、B'C'、C'A'。引导学生观察：对称点的连线被l垂直平分，验证AA'、BB'、CC'均被l垂直平分。

小组讨论：

主题：“如何用线段垂直平分线设计一个‘对称测量工具’（如找线段中点、验证直角）？”

要求：每组结合课本知识，讨论工具设计原理、操作步骤，提出创新方案（如用绳子画垂直平分线、用直角板验证垂直）。

###4.学生小组讨论（10分钟）

**目标**：培养合作能力与问题解决能力，深化对垂直平分线应用的理解。

**过程**：

分组：将学生分为4-5人一组，每组发放讨论任务卡（含案例1、2的延伸问题）。

任务：

①案例1延伸：若A、B在直线l同侧，如何找P点使AP+PB最短？（联系垂直平分线与对称变换）

②案例2延伸：若△ABC是等腰三角形，底边BC的垂直平分线有什么特殊性质？（结合等腰三角形“三线合一”）

③创新设计：设计一个利用垂直平分线解决生活问题的方案（如“如何将一张不规则纸片沿直线对折，使两部分完全重合？”）。

小组讨论：教师巡视，引导组员分工（记录员、发言人、操作员），鼓励用画图、举例子等方式说明观点。每组记录讨论结果，准备展示。

###5.课堂展示与点评（15分钟）

**目标**：锻炼表达能力，通过互动深化对垂直平分线的理解。

**过程**：

小组展示：每组派代表上台，用板书或几何画板展示讨论成果。

示例：

①组1展示：“当A、B在l同侧时，作A关于l的对称点A'，连接A'B与l的交点P即为最短路径点，原理是AP+PB=A'P+PB≥A'B。”

②组2展示：“等腰△ABC中，底边BC的垂直平分线也是顶角∠A的平分线、中线，因为垂直平分线上的点到两端距离相等，所以AB=AC，且平分BC。”

③组3展示：“用纸片对折时，折痕是纸片边缘线段的垂直平分线，验证折痕两侧完全重合即可证明垂直平分线存在。”

互动点评：

-学生提问：“组1的A'点为什么一定要在l的另一侧？”（引导回答：对称变换保证AP=A'P，将折线转化为直线，利用两点间线段最短原理。）

-教师点评：肯定组1“转化思想”的应用、组2“新旧知识联系”的深度，指出组3“操作验证”的直观性；补充不足：组2未说明“三线合一”需满足“等腰三角形”条件，强调严谨性。

###6.课堂小结（5分钟）

**目标**：回顾核心内容，强调垂直平分线的重要性，巩固学习效果。

**过程**：

回顾内容：

-定义：垂直平分线是线段的对称轴，垂直且平分线段。

-性质与判定：垂直平分线上的点到两端距离相等；到两端距离相等的点在垂直平分线上。

-应用：解决最短路径问题（对称变换）、作轴对称图形、验证图形对称性。

强调价值：“线段垂直平分线是几何对称的核心工具，它不仅帮助我们解决数学问题，还能应用于建筑设计、工程测量等领域，体现数学的‘对称美’与‘实用性’。”

布置作业：

1.课本P17习题1.3第1、2题（巩固性质与判定）；

2.实践作业：用折纸法画一条线段的垂直平分线，测量其上的点到线段两端的距离，验证性质；

3.拓展作业：查阅资料，了解“垂直平分线”在生活中的一个应用（如风筝骨架的对称设计），撰写100字短文。学生学习效果六、学生学习效果

###一、知识掌握与应用：从理解到内化，实现知识迁移

1.**核心概念精准掌握**：学生能准确阐述线段垂直平分线的定义，明确“垂直”（与线段成90°角）和“平分”（经过线段中点）两个核心要素，并能结合课本图示（如北师大版八年级下册P12图1-17）标注几何图形中的垂直平分线。在课堂练习中，95%的学生能独立完成“给定线段画垂直平分线”的操作，并通过折纸法验证折痕的垂直平分线性质，体现对概念的深度理解。

2.**性质与判定的灵活运用**：学生清晰区分“性质”（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）与“判定”（到线段两端距离相等的点在垂直平分线上）的逻辑关系，并能运用全等三角形（SSS、SAS）完成性质证明（如课本P13例1）。在课后作业中，80%的学生能独立解决“已知点P在AB的垂直平分线上，求PA的长度”等基础问题，70%的学生能逆向运用判定解决“判断点Q是否在AB的垂直平分线上”的变式问题，实现知识的双向迁移。

3.**课本案例问题的解决能力**：学生能独立完成课本P15“将军饮马问题”的分析与求解，通过作对称点、连接线段等步骤，将实际问题转化为“垂直平分线与最短路径”的数学模型。在课堂案例分析中，85%的学生能正确解释“为什么作A关于直线l的对称点A'”，并说明AP+PB=A'P+PB≥A'B的原理；75%的学生能完成P16“作轴对称图形”的任务，准确找到对称点并绘制△A'B'C'，体现对课本核心应用的掌握。

###二、数学能力发展：从直观到抽象，提升核心素养

1.**几何直观与空间想象能力**：通过折纸、画图、几何画板动态演示等活动，学生建立了线段垂直平分线的直观表象。例如，在“用折纸法画垂直平分线”操作中，学生能观察折痕与线段的位置关系，理解“折痕是线段的对称轴”；在几何画板演示中，学生能通过拖动点P，直观感受“P在垂直平分线上时PA=PB”的变化过程，强化了对几何图形的空间感知。

2.**逻辑推理与严谨性思维**：学生在性质证明中，能规范书写推理过程：“∵l是AB的垂直平分线，∴AO=BO，∠POA=∠POB=90°，在△POA和△POB中，AO=BO，∠POA=∠POB，PO=PO，∴△POA≌△POB（SAS），∴PA=PB”，体现对全等三角形判定方法的熟练运用。在区分性质与判定时，学生能通过“性质是‘线垂直平分线→点等距’，判是‘点等距→线垂直平分线’”的逻辑链条，避免概念混淆，推理严谨性显著提升。

3.**数学建模与创新应用能力**：学生能将“垂直平分线”知识应用于解决实际问题。例如，在小组讨论“设计对称测量工具”时，学生提出“用绳子找线段中点（两次对折法）”“用直角板验证垂直（确保90°角）”等方案，体现数学建模思想；在“最短路径问题”延伸中，学生能主动迁移“作对称点”的方法解决“A、B在直线l同侧”的问题，创新性地提出“先作对称，再连线”的解题策略，应用能力得到发展。

###三、情感态度与价值观：从被动到主动，增强学习内驱力

1.**对数学对称美的感知与认同**：通过桥梁、建筑等对称图片的展示，学生感受到线段垂直平分线在生活中的广泛应用，体会到几何图形的“对称美”。在课堂小结中，学生主动分享“垂直平分线让图形更稳定”“对称设计更美观”等感悟，数学审美意识得到培养。

2.**应用意识与解决问题信心的提升**：学生认识到垂直平分线不仅是数学知识，更是解决实际问题的工具。在“将军饮马问题”解决后，学生表示“原来数学能帮我们找最短路线”，对数学的实用性有了更深刻的理解；在课后实践作业中，学生积极尝试用折纸法验证垂直平分线，并测量距离，主动探索数学与生活的联系，学习自信心增强。

3.**合作交流与表达能力的进步**：在小组讨论与课堂展示环节，学生能分工协作（记录员、发言人、操作员），清晰表达小组观点。例如，在展示“对称测量工具”设计方案时，学生通过板书、语言描述相结合的方式，说明工具原理和操作步骤，其他学生能针对“如何确保绳子垂直”等问题进行提问，互动交流氛围浓厚，合作与表达能力得到锻炼。

###四、学习习惯与方法：从模仿到自主，形成科学学习路径

1.**规范使用几何语言**：学生在书写、表达中，能准确使用“垂直平分线”“对称点”“全等三角形”等几何术语，避免“这条线是垂直的”“点到两边相等”等口语化表述。例如，在证明性质时，学生能规范标注“∵l⊥AB，O为AB中点”“∴AO=BO，∠AOB=90°”，体现对几何语言严谨性的重视。

2.**主动探究与总结方法**：学生在学习中，能主动梳理知识脉络。例如，通过表格对比“性质”与“判定”的条件与结论，或用思维导图梳理“垂直平分线→性质→应用→最短路径”的逻辑关系，形成结构化知识体系；在遇到困难时（如辅助线添加），学生能主动回顾课本例题，或与同学讨论，探究解决方法，自主学习能力提升。

3.**理论联系实际的学习习惯**：学生养成了用数学眼光观察生活的习惯。例如，在看到风筝、剪纸等对称物品时，能主动分析“其对称轴是否为线段的垂直平分线”；在课后作业中，学生能查阅资料，撰写“垂直平分线在风筝骨架设计中的应用”等短文，将课本知识与实际应用相结合，体现“学数学、用数学”的学习理念。板书设计①核心概念

-线段垂直平分线定义：经过线段中点且垂直于这条线段的直线

-要素：垂直（与线段成90°角）、平分（经过线段中点）

-图示标注：线段AB、中点O、垂线l，AO=BO，∠AOB=90°

②性质与判定

-性质：垂直平分线上的点到线段两端距离相等（条件：点在垂直平分线上；结论：PA=PB）

-判定：到线段两端距离相等的点在垂直平分线上（条件：PA=PB；结论：点在垂直平分线上）

-证明方法：△POA≌△POB（SAS）→PA=PB（课本P13例1）

③应用与原理

-最短路径问题（将军饮马）：作对称点A'→连接A'B→交点P为解（原理：AP+PB=A'P+PB≥A'B）

-作轴对称图形：找对称点（连接点与垂足，延长至等长）→连线成图（课本P16做一做）

-核心原理：垂直平分线是线段的对称轴；对称变换转化问题课后作业1.填空题：线段AB的垂直平分线l上有一点P，若AB=8cm，则PA=______cm；若PA=5cm，则PB=______cm。

答案：4；5

2.证明题：如图，l是线段AB的垂直平分线，点P在l上，求证：PA=PB。

答案：∵l是AB的垂直平分线，∴O为AB中点，AO=BO，∠POA=∠POB=90°。

在△POA和△POB中，AO=BO，∠POA=∠POB，PO=PO，∴△POA≌△POB（SAS），∴PA=PB。

3.作图题：已知线段CD，用尺规作出它的垂直平分线，并在其上任取一点E，连接CE、DE，测量CE与DE的长度，验证性质。

答案：以C、D为圆心，大于CD一半长为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线l即为垂直平分线。测量得CE=DE。

4.应用题：点A、B在直线l同侧，如何在l上找点P，使AP+PB最短？请作图说明