高中数学：圆锥曲线圆锥曲线与三角形四心结合问题

簟卷巡与昌询施蚓。阑题《曲。a亶0°养。°外。）

从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征。而现在圆锥

曲线中面积、弦长、鼓值等几乎成为研究的常规问题。“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新。

因此在高考教学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学

解题能力，增强学生的信心，备战高考.

一、圆华曲哉星向N同题

二、圆漳曲微星冏题

三、曲碌也依星塞M冏做

0、由於曲鼓与外心同题

一，圆体曲件易用芯向发

（三角形的内心：三角形三条角平分线的交点）

2

例1、（2019年四川省绵阳市高三模拟-12题）点耳、乃分别是双曲线/一1_=1的左、右焦点，点尸在

双曲线上，则APKK的内切圆半径，,的取值范围是（）

A.（0,x/3）B.（0,2）C.（0,V2）D.（0,1）

【答案】A

【解析】

如图所示，设AP"鸟的内切圆圆心为/,内切圆与三边分别相切于点4,3,C,

根据圆的切线可知：I/叫=|pq,忻川=闺q,内山=|月区,

又根据双曲线定义|尸青一|尸周=2。，即（|PC|+忻。|）-（|即+优用）=2a,

.所以忻C|一|玛目=2a,即出A|玛A|=北,

又因为忻A|+优4|=2c,所以|£A|=〃+C,优A|=c-〃，所以A点为右顶点，即圆心

考虑P点在无穷远时，直线的斜率趋近于2，此时P"方程为y=2（x+c）,

aa

\ab-ar+bc\

此时圆心到直线的距离为解得，•=〃，

J/十/

因此△尸内切圆半径1£（0力），所以选择A.

【答案】y亚

【解析】

如图所示：不妨取渐近线y=2x,易知〃＞。，(否则不能与右支相交).

a

则直线耳P为：y=一?x+c),即aY+〃y+ac=O,

设内切圆圆心为。…根据对称性知01在y轴上,

/\PQF］的内切圆圆心恰好落在以百鸟为直径的圆上,

故。1耳_1。鸟，故a(O,—c),

c|〃c-z?d

01到直线的距离为：(1、=,==h—ci,

设宜线产入：＞,=Z:(x-c),即"一y-Zc=O

。1到直线PR的距离为：d、==4=b-a,

Jl+/

化简整理得到abk2+/)左+。/?=0,解得&=2或%二2,

当k二g1时，直线y=-g(x+c)与y=g(x—c)的交点横坐标为0,不满足题意，舍去.

bjr

故直线尸入：y=-(X-C),故P6_LP/"/月。玛=,,

)'=一/+。)rb2-a2_2a£

联立方程得到〈:，解得P

、c'c,

y=-(x-c)

代入双曲线方程得到：4//

221

acb-c

化简整理得到：c2=5a2,故《=6.故答案为：y;否.

乙

【点睛】本题考查了双曲线中直线的位直关系，离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

例3、（2020年湖北省高三联考12题）过双曲线。:=-[=1（4〉0/>0）的右焦点/作直线/,且直线/与

ab

双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A,直线/与另一条渐近线交于点3,已知。为坐标原点，若△CM3

的内切圆的半径为避二1〃，则双曲线C的离心率为（）

2

B•百+】U¥D.苧或2

【答案】D

【解析】

有两种情况：

（1）若A8在y轴同侧，不妨设A在第一象限.如图，

设AQ43内切圆的圆心为M,则M在NAO8的平分线Or上，

过点M分别作MNJ_Q4于N,"T_LA8于7，

由凡4_LOA得四边形M7>W为正方形，利用点到直线的距离公式可得,

焦点F到渐近线y=的距离为|尸川二

J3-1

又\OF\=c,所以|。41=〃，^\NA\=\MN\=^—a,所以

|NO|=^^。,

所以2=tanNAO/=1”0=且，从而可得离心率2H

a|NO|33

（2）若AB在y轴异侧，不妨设4在第一象限如图，易知|£4|=0,|0/|二。，|。4|二〃，

因为△。他的内切圆半径为口誓侬二与la,

所以|OB|-|AB|=24-6a,

又因为|0例2=|他|2+/,所以।力例=四，|0B|二2。，

所以NB(M=60。，ZAOF=60°,则g=tan600=6，

=2.综上，双曲线。的离心率为马巨或2.故选：D

从而可得离心率

3

例4、已知点夕是双曲线二一二二1上除顶点外的任意一点，£,鸟分别为左、右焦点，c为半焦距，/尸耳鸟

b

的内切圆与耳鸟切于点M,则忻M•优M|=________.

【答案】b2

【解析】

设囿与尸片的切点为点S,与P8的切点为点7,

根据从圆外一点向圆所引的两条切线长相等可知：=忻51=怩刀j"=|PT|

①当〃在双曲线图象的右支时，而根据双曲线的定义可知

忻训—后闸二忻"—怩"二勿①；-而怩M|+|Mg|=|片闾=2c②，

联立①②解簿：闺〃|=a+c/EM=c-〃,所以|耳=（。+。）（。-〃）=。2­°2=/,2；

②当〃在双曲线图象的左支时，而根据双曲线的定义可知

优M|—忻M|二|8"—忻”=勿③；而忻M+眼用=阳周二2。④，

联立③④解得：|EA7|=〃+c,忻M|=c-〃，忻“卜|八用|=（〃+。）（。一。）=。2-々2=/?2

练上,可得忻M•内间=6.

【点睛】本题主要考查双曲线的定义及其应用，外切圆的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求

解能力.

2

例5、（2019年成都七中高三模拟16题）已知双曲线M:/一方=1的左，右焦点石，3点P在双曲线上左支

上动点，则三角形神在的内切圆的圆心为G,若AG叫与aGE后的面积分别为S,S',则二;取值范围是

3

解析：如图设切点分别为N,Q,

则△〃£片的内切圆的圆心G的横坐标与Q横坐标相同.

由双曲线的定义，PR-PF?=2a.

由囿的切线性质根PR=FN-RM=F2Q-RQ=2a,

J

'：F\gF、Q=F\F*2c,F2Q=ct-iiiCQ=a>Q横坐标为一，.

双由线M：X?-L=1的a=1,b=班,c=2,

3

可及G(1,r),r>0,设S=m(m>l),

1

可得一r=3=—>一,故答案为：(一，+8).

Sl.4r444

2

例6、（2020年浙江省新高考名校联考10题）已知椭Sjq：=十:=1（。>/?>0）的左、右焦点分别是

crh"

M、N,过点M作曲O：f+）产=从的一条切线，切点为。，延长MP交椭囿于点Q,且|MP|=|PQ|,

双曲线C,:二—二二1的左、右焦点分别为"，尺，上是G右支上一点，EG与y轴交于点A,.EAE）的

“a~b~

内切圆与A鸟的切点为尸，若则双曲线G的方程为（）

A.--^-=1B.二一二=1C.--^-=1D.—-^-=1

34439334

【答案】D

【解析】连接。P,NQ,在椭圆C1中，

.是圆/+），2=从的切线，尸是切点，.•.OP_LM。，|0P|=〃.

■.-\MP\=\PQ\,\OM\=\ON\y-.\OP\=^\QN\,

：.\MP\=-\MQ\=-（2a-\NQ\）=-（2a-2b）=a-b>

222

在RfAOMP中,由勾股定理得，|OM|2=|OP『+|PM『，

即C?=〃2+（。一/?）2,又c2=〃2-力2,2a=3b①.

在双曲线C：工一二=1中，忻闵一后耳=2〃，

"a~b~

由题意知，上式可变为〔A周+|4七|一|玛目=2々，

由三角形内切圆的性质得|AE|十|A七|一|周目=2|入厂|,/.2\AF\=2a,则②.

联立①②并解得/,二毡，双曲线C,的方程为三一21=1,故选:D.

334

【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义，三角形内切圆的知识，考查教形结合思想及运算求解能力

例7、（2020年河北盾石家庄市一模12题）已知尸居分别为双曲线二-二=1（“>0,〃>0）的左焦点和右

ab

焦点，过工的直线/与双曲线的右支交于4,B两点，的内切圆半径为4,ABR鸟的内切圆半径

为5,若4=24，则直线/的斜率为（）

A.1B.72C.2D.2夜

【答案】D

【解析】

设AA6鸟的内切圆圆心为人，\BF}F2的内切圆圆心为％,

边,46、AF.上的切点分别为M、NE,易见，、E横坐标相等，则

2FXF2、

\AM\=\AN\t\F}M|=|丹可F2N=|F2E\t

由“用-|4闫二2々即卜（|AN|+|N勾）=2a,^\MF}\-\NF-\=2CL

即归同一区同=2a,记/］的横坐标为%,则E（%,0）,于是M+C-（C7O）=2Q,得％=a,

同理内心人的横坐标也为。，则有//，工轴,

nn

设直线的倾斜角为〃，则NO%/2=一，//〃20=90。一一，则

22

Qr(0\1r

tan-=,tanZLF,O=tan90°一一=--=—=2/;

2/'I2；ta/6E〜

2

—、e

Q।02tnn

z.tan2—=—Jan—=——.z.tan0=------J=2&.故选D.

22221-tan^

2

为芯镰眉提价钠掠10个发J

22

变灰1、（2019年衡水金卷（一）11题）点P是双曲线的上支上的一点，耳，耳分别为双曲线

916

的上、下焦点，则△叨月的内切圆圆心〃的坐标一定适合的方程是（）

解析：.•双曲线方程为三啧=1-2=9,从=16,"5

设△所片的内切圆分别与防、阴切于点4B,与F用切于点、C

则PA\=\PB\y\FB\=\FC\i\F2A\=\F2C\,

又•.・点〃在双曲线上支上，「•|阴|-1否|二2广6,

即（|a4|+|勿|）-（|月初+|所|）=6,

化箭得16Hl.|用|=6,即|£C・|片。=6,

而

FXC\+\F2C\=2^10,

设C点坐标为(0,2)，由|£C|-£C|=6可得a+5)-(5U)=6,解之得为3，得C的坐标为(0,3)

•.,圆M与G石切于点C忆L/轴，可得OW所在直线方程为产3

变式2、(2019年成外高三一诊模拟11题)已知双曲线C:二一二=1(。>0/>0)的左、右焦点分别E、

a~b

F2,。为双曲线的中心，尸是双曲线右支上的点，△多尼的内切圆的圆心为I,且。/与x轴相切于点4,

过E作直线灯的垂线，垂足为瓦若e为双曲线的率心率，则

A.\OB\=e\OA\B.\OA\=e\OB\C.\OB\=\OA\D|与|关系不确定

解析：F\(-c,0)、F2(C,0),内切圆与x轴的切点是点4

;I也1-1空|=23及圆的切线长定理知，

I力用-|力£|=2储设内切圆的圆心横坐标为x,

则|(x+c)-(C-x)I=2nX=!2\IOAI=^,

在三角形PCFz中,由题意得，它是一个等腰三角形，二所，

.•.在三甭形石6中，有：

O氏;CR=g〈PF\-PO二;(PR-PR)=yX2a=a./.\()B\=\OA\.故选C

xv

变式3、（2020届绵阳中学二诊模拟12题）设厂是双曲线-=的右焦点，。为坐标

crb

原点，过歹作。的一条渐近线的垂线,垂足为H若AFO”的内切圆与x轴切于点且茄=2瓦，则C的

离心率为

3+V174+V17.3+3后八3+3折

A4.------DB.------C.-------D.------

所以叫=行方=。

解析：因为尸到渐近线的距离为|FH|二b1°

a+h-c

/-=

则的内切圆的半径为2

a+h-c

\MH\=r=

设△AO4的内切圆与切于点.V,则

2

—►—►\FM\=\BF1\=-C,....2a+b-c..,

由"=208,得।113\BF\-h\MH\=-c+=\FH\=b,即％=c+3a

32

)),,3+3\/17

即9/r=c~+6〃C+9Q2,得4e~一3«-9=0,由于6>1,解得e=------

8

r2、,2

变式4、已知点。为双曲线C:±--±-=i（>0方>0）右支上一点，耳，£分别为左右焦点，若双曲线

a-b~af

。的离心率为百，APKK的内切圆圆心为/,半径为2,若S,如牛=5“々+2、回，则〃的值是（）

A.2B.72C.76D.6

22

【解析】点尸为双曲线。：土？一｝=1（〃>0/>0）右支上一点，

耳，尸2分别为左右焦点,△"鸟的内切圆圆心为/，半径为2,

因为5“承=5叩+2g,所以，俨耳“=今尸周"+26，

可得|P用一归周=26，即2a=2瓜:.a=6,

双向线C的离心率为百,5=6,可得。=3,则/?=朽二户=的=3=灰，故选C.

【点睛】本题主要考查双曲线的定义、双曲线的离心率以及双曲线的几何性质，属于中档题.求解与双曲线

性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、

实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.

xV

变式5、如图，已知双曲线一7—匚？=1（。>0,/?>0）的左右焦点分别为£、F,,|"凡|=8,P是双

a~b~

曲线右支上的一点，直线工尸与y轴交于点A,△APf；的内切圆在边上的切点为。，若I尸Q|=2,

则该双曲线的离心率为（）

A.V2B.>/3C.2D.3

【解析】如下图所示，设A£,A4与的内切圆相切J,

则4N=AM,PM=P0,N6=OG，Af]=A/^,所以

NF}=AF}-AN=AF2-AM=MF2,

所以。6=MF?）所以

PF「PF?=(QK+PQ)-(MF2-PM)=QFi+PQ-MF2+PM

=PQ+PM=2PQ=4,所以2a=4,即。=2,

由月入=8=2c可得c、=4,所以该双曲线的离心率e=-=2,故应选C.

A*-y-

变式6、（2018年湖南师大附中高三模拟12题）已知点尸为双曲线-r-r=1（。>0,b>0）右支上一点，片,

crlr

»2

片分别为双曲线的左右焦点，且历后|=5",/为三角形本月的内心，若二s△叱+右0包成立，则入

的值为（）

A.2&+1B.2x/3-lC.V2+1D.V2-1

2

解析：设△阳人的内切圆半径为r,由双曲线的定义得|际|一|初产2*,|片区|二2c,

111

S-m=—|P^|T,Sa*7I尸£I・r,s.=—・2c•kcr,

222rnn

2

变式7、如图，已知椭圆二■十』=1（。＞%＞0）的左，右焦点分别为耳，鸟"6鸟|=Jid,p是y轴正半

ir

轴上一点，P匕交椭圆于A,若4凡_1。6，且A4PF,的内切圆半径为如，

则椭圆的离心率为（）

2

R底cV6

A•半D■-----

73。・陪

【解■析】由题意，直角三角形的内切圆半径r=d土组二”=土述白上铝.=丝二组="，

2222

.•・出司=而，二,兄「+卜巴|」=10,.•.2|/库||/1用=4,

狗+|网）2=14,•••防-14用=拒=2a,

V10_V5_屈

-I^I^I=＞/To»「.椭圆的离心率是e=£■二.故选:

aV14-V7-7

【点睛】本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的定义，考查学生分析解决问懑的能力，属于中档题.

变式8、（2017福建省漳州市模拟）已知双曲线C:二-二=11。＞0力＞01的左右焦点为尸,£,尸为

（r°・

双曲线C右支上异于顶点的一点，"F.E的内切圆与x轴切于点1Q,且F与点E关于直线.=-x

a

对称，则双曲线方程为_________.

【解析】设点（）因为的内切圆与轴切于点）

A1,o,APE▲E4x（1,0,

则|?周一|«口=卜三|一闺口，所以古物二K-:忆一':》，则4=1.

bx

因为P与点F1关于直线［=--对称,所以公铲司=-且鬲=l6,

联立|宏闻一区迅|=?且=4+1"解得6=2.所以双曲线方程为--2二=L

考点：双曲线与圆的位置关系

变式9、(2020年湖北省高三联考改编)过双曲线「一二二1(a>b>0)右焦点尸的直线交两渐近线于

a2b2

A>8两点，若OA.A8=(),O为坐标原点，且AOAB内切明半径为避二，则该双曲线的离心率为

2

A.殛B.也C.亚D.6+1

33

【解析】因为〃>/?>(),所以双曲线的渐近线如图所示，

设内切圆圆心为M,则例在NAOB平分线Olv上，过点M分别作MNJ_Q4于N,M7_LA4于7，

由必，Q4得四边形M7XN为正方形，由焦点到渐近线的距离为b得/%=/?,又所以以4=。，

|MAgMN|二避二所以|NO|二三立。，

22

所以「b二tan"A°"=^|A/N|=7Jj’得好二豆E..故选：A

3

【点睛】本题考查双曲线的性质，考查逻辑思维能力，正确作出图形是解题的关键，属于中档题.

变式10、(2018山东居潍坊市三模11题)点尸是双曲线=-匚二1右支上一点，月、工分别为左、右焦

a~b'

点.△尸耳工的内切圆与.r轴相切于点N.若点N为线段。入中点，则双曲线离心率为()

A.6+1B.2C.y/2D.3

【解析】设韦尼的内切圆圆心为/,边尸耳、PF2、上的切点分别为、、N,

A/FXF2MQ

易见/、N横坐标相等，则1PM=|尸。|,恒加卜|”训,优Q|=|gN|,

由|P£卜|PR卜2a,即\PM\+\MF1|-(|PQ|+|PF2\)=2a,得照片|-|QF^=2a,即忻N|-|6凶=2",

记/的横坐标为则%(%0),于是玉,+c-(c-Xo)=2。,得玉)=4,

由点N为线段OK中点，知c=2a,「.e=2.

故选B.

【点睛】

(1)解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a/,c•的方程或不等式，再根

据瓦c•的关系消掉〃得到的关系式，而建立关于a,Z?,c•的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的

几何性质、点的坐标的范围等；

(2)在双曲线中，焦点三角形的内切圆圆心与x轴的切点为(白,。).

二、(8有曲钱易■芯问题

(三角形的重心：三角形三条中线的交点)

例1、（2020年石家庄高三模拟12题）已知抛物线C:）/=8x的焦点为F,爪％,%）,鸟（看，％），6（%丹）

为抛物线C上的三个动点，其中石</<七且归<。，若尸为△［打£的重心，记鸟g三边

PR,鸟A的中点到抛物线c的准线的距离分别为4,d194,且满足4+4=24,则乙乙所在直线

的斜率为（）

3

A.1B.-C.2D.3

2

【答案】c

【解析】由题意知4=土*+2;乩土虫+2；4=玉±±+2,

222，

带入4+4=24中，得到：氏+2々+玉=2（%+天）;即2/=内+占；

又F为的重心，则有.*+；+）=2;X+g+）\=0,

即2%2=6一与，得到尤2=2,%=-4,因此有）1+丁3=4,故《6的中点坐标为（2,2）.

所以直线的斜率为：k=V|~｝，A=---=2;故答案为2.

内一刍%+）’3

xv*

例2、（2020年湖北盾统一联考16题）已知椭圆C:—+4r=t（a>6>0）的左、右焦点分别为写，£,

a2b2

点P为椭圆C上不与左右顶点重合的动点，设/,G分别为△冏鸟的内心和重心.当直线改的倾斜角不随

着点尸的运动而变化时，椭圆C的离心率为_____.

【解析】

当支线/G的倾斜角不随着点〃的运动而变化时，取〃特殊情况在上顶点时，

内切圆的圆心在y轴上，重心也在尸轴上，由此可得不论〃在何处，G/始终垂直于x轴,

设内切圆与边的切点分别为Q,N,A,如图所示：

设P在第一象限，坐标为：（勒，・％）连接〃O,则空心G在〃。上,

连接P/并延长交x轴于“点，连接67并延长交x轴于N,则GN_Lx轴，作跳垂直于x轴交于E,

可得重心G（区，&）所-以/的横坐标也为包，|ON|二&,

3333

由内切圆的性质可得，PG二P/l,F0F、N,NF2=AF2i

2x

所以PF「PF*（PG^QFy）-（PA+AF2）=F}N-NF2=（片（HON）-（OR-ON）=2ON=—,

而PFCPFd,所以所=〃+血,PR=a-闻,

33

〃+4

由角平分线的性质可得—==———=C+OM,所以可得CM=生,

x

PF?MF2a_oc-OM3。

’3

所以可得MN=ON-O/W=%•一空■=』一。）＞,所以ME=OE-OM=^-^-=。。T）%,

33a3a3a3a

INMNa-c

所以---=----=-------,即ZA=一

PEOE3a-c3a

S-^4（PFCWJ"N=；F&PE,即3（2,+2c）・公』=；・2f,

所以整理为:一,故答案为：一

a33

【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了内心和重心的概念，考查了转化思想和较强的计算能力，其

方法为根据条件得到关于。，btc的齐次式，化简可得.本题属于难题.

XV-

例3、（2020年绵阳南山中学高三月考16题）已知P为双曲线C:二—-二1上一点，"、区为双曲线。

的左、右焦点，M、/分别为△PK鸟的重心、内心，若轴，则△「£亮内切圆的半径为二________o

【答案】瓜

【解析】

如图，不妨设点「在第一象限，D、E、产分别为。/与△PFJK三边相切的切点。

则由切线长定理以及双曲线定义，得

|=（||）-（||）=||=|月。|-

2=1PF]\-\PF2PF\+\FF,PE|+|EF2FFX|-|EF21F2D\

=(XD+C)-(C-XD)=2XDxD=a=2,xM=xt=xD=2o

设由为重心，知/=

P(x0,y0),M3XM=6,%=4A/6<>

2222

|PF1|=7(6+4)+(4>/6-0)=14,|PF2\=7(6-4)+(4>/6-0)=10

+

设△尸耳鸟内切圆半径为r,则SK=JiPR||PF?|+|F]F2|)Xr=16rO

另一方面，△八。

S%;=gx|FXF2|xy0=gx8x4x/^=166

16r=16>/6,r=娓。

例4、（2019年衡水中学高三半期11题）在双曲线C：；[nim,。,。,。）的右支上存在点A,使得点A

a"b~

与双曲线的左、右焦点入形成的三角形的内切圆P的半径为。，若A4片鸟的重心G满足PG//大鸟，

则双曲线。的离心率为（）

A.72B.GC.2D.石

【答案】C

【解析】

如图，由PG平行于x轴得用=%=。，则以=3%=3。,

所以鸟的面积S=g・2c-3a=1-(|AF]\+\AF2\+2c)a,又|A不一|4月|=2〃,

贝Ij|/V"=2c+〃,|人鸟|=2c-〃，由焦半径公式|4"=〃+夕八，得4=2%

代入椭圆方程得#9a2

因此A(2a,3a),可得Z?=&a.c=\Ja2+h2=2a,

即e=—=2.故选C.

例5、在直角坐标系x。），中，已知椭圆C：3+_/=i的左右焦点分别为《，F2,过£且斜率不为0的直

6

线/与椭圆。交于A,8两点，若VA8F2的重心为G,且|06|=二，则直线/的方程为_________.

6

【答案】工+夜），+1=0或“-亚），+1=。

【解析】

・•./过点”（一1,0）且斜率不为o,「•可设/的方程为工=冲-1,设A（%,y）,8（七,必），

x=my-1

由<f,得(〃/+2)y2-2my-1=0

—+y-=1

、2

2m1/、c4

E•.・%+%=〃心+必)-2=一中

X1+x+1川+%nr-22m

又「gd,。），」.G2，即G

3-2，2

33（/H+2）3（/M+2）＞

|OG|="7+上忑二而2

解得〃7=±J5

1"9"+2)29"+2『3M+2)

直线/的方程为x十yfly+1=0或x—\[2y+1=0

》/=1(。>心0)

例6、（2018年北京师大附中高三月考11题）已知椭圆的左右焦点为五、£,点P

uu

为椭圆上一点，△典期的重心、内心分别为GI,若/G=4（l,0）,（4w0）,则椭圆的离心率e等于

-1

【答案】A

【解析】

设P（项,网），〈G为△石物的重心，「.G点坐标为（3，枣），

33

.「/G=4（1,0）（入不0）,；」GHx轴「./的纵坐标为当，

|=2a,...S”/.2=

在焦点△八阴中，|明|+|臣\FXF2\=2CzV：・|人£|・|对

又.「/为△分"月的内心，..・/的纵坐标&即为内切圆半径，

3

内心/把△石所分为三个底分别为△百所的三边，高为内切圆半径的小三角形

•—/2二;（1〃用+1方耳|+|〃&）l争・.・；・|“|・|同=；（|班|+|6&+|桃I）|吊

即一X2c*|KJ=—（2^t+2c）I|,...2c=a椭圆C的离心率e二一

223y2

例7、（2019成都市树德中学高三二诊12题）抛物线。：），2=41的焦点为尸，点尸、。、R在C上，且&PQR

的童心为F,则|尸目十|Q周的取值范围为（）

(9

C.(3,4)U4,-D.[3,5]

乙

【答案】A

【解析】

由题意知，抛物线C的焦点为/（1,0）,设点P（x"p）、。（演,均）、

/+%++-

-1

3

由空心的坐标公式得，

.%+%+V/?_八

——U

3

x=ky+m.

设直线尸。的方程为工=外+6，由，2，消去x得)2—4心,一4〃2=0,

y~=4x

22

A=16A:+16m=16(A:+m)>0,由韦达定理得力+%=4R,ypyQ=-4in,

2

所以，xp+xQ=[kyp+〃z)++〃2)=4()%+%)+2〃?=4k+2m,

故/=3-(彳+4)=3-4/-2m,)%=-(力+凡)=-44，

将点R的坐标代入抛物线C的方程得16公=4x(3-4&2-2m),得2m=3—8r,

则A=8(2公+2〃。=8(3—6公)>0,得0WX<g,

则归月+|Q目=4+q+2=4公+2机+2=5—4公w(3,5].

19

2

时

比

•••/（1,0）不在直线PQ上，则用W1,工8-2-

'9）（9

因此，仍尸|+|。「|的取值范围是3,-J-,5.故选：A.

<2）12.

【点睛】考查抛物线与直线的综合，求距离的取值范围，重心坐标的计算，属于难题.

■芯备后提为利珠,（*9个身J

变式1.已知抛物线尸=8x的焦点是耳点4、B、C在抛物线上,0为坐标原点，若点尸为△46C的重心,△

OFA.△。户3、/C面积分别记为S「S2.S3,则S2+S22+S32的值为（）

A.16B.48C.96D.192

【答案】B

【解析】设4（国,町）,8。2，弘），。（孙必）,所以有凹2=84以2=8&,/2=80

抛物线的焦点坐标为尸（2,0）,△4BC的重心坐标为（』+；+/,X+g+"），

由题意可知：1+""+/=2，即％+/+/=6.

3

2222