高中数学-圆锥曲线练习题及答案-历年高考试题

数学周末作业—圆锥曲线

一、选择题

v-2

1.（2009全国卷I理）已知椭圆。：彳+＞2=1的右焦点为尸，右准线为/，点Ae/,线段AE交C于点6,若

包=3丽，则I布:

(A).V2⑻.2(C).V3(D).3

——2

解:过点B作/于M,并设右准线I与X轴的交点为N,易知FN=1.由题意E4=3以，故I8M1=—.又由椭圆的

3

第二定义，得18尸1=也工二也门从尸匕血.故选人

233

3.（2009浙江理）过双曲线二一与=1（。＞0力＞0）的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近

crb~

一1一

线的交点分别为民C.若AB=—BC,则双曲线的离心率是（）

2

A.V2B.A/3c.VsD.Vio

答案：C

【解析】对于A（a,0）,则直线方程为x+y-a=0,直线与两渐近线的交点为B,C,

小二，卫（二，-4），则有舐=（其，-畀），荏=14，卫力，因

a-ba-ba-b"a-b'a+ba+bJ

2AB—BC,:.4a2=b2,:.e-V5.

5.D【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考查，既体现了几何与向量的交汇，也体现了数形结合的

巧妙应用.

【解析】对于椭圆，因为Q=2而，则OA=2OF,.・.a=2c,，e=」

2

6.（2009北京理）点P在直线/：y=x—1上，若存在过「的直线交抛物线），=》2于4,8两点，且

\PA=\AB\,则称点P为点”，那么下列结论中正确的是()

A.直线/上的所有点都是点”

B.直线/上仅有有限个点是“，有点”

C.直线/上的所有点都不是点”

D.直线/上有无穷多个点（点不是所有的点）是“，夕点”

【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力，考查学生分析问题和解决问题的能力.属于创

新题型.

本题采作数形结合法易于求解，如图,

设A（加,〃），尸（元,工一1）,

则B（2m-x,2n-x-2）,

B

0x

・・・48在)，二/上，

n=m1

・・V

2n-x+l=(2m—x)2

（第8题解答图）

消去"，整理得关于x的方程x2一（4〃?-l）x+2血2_1=0（1）

,:A=（4m-I）2-4（2m2-1）=8m2-8m+5＞0恒成立,

方程（1）恒有实数解，，应选A.

7.（2009山东卷理）设双曲线马-二=1的一条渐近线与抛物线y=x2+l只有一个公共点，则双曲线的离心率为

a2b2

（）.

5V5/r

A.-B.5C.----D.-\/5

42

22i]_b.,

【解析】：双曲线与一二=1的一条渐近线为由方程组《）'=：x，消去%得°x+]=o有唯一解，所

1

cTba2[y+1a

b

以△=（—f-4=0,

a

所以2=2,e=±=包国'=卜+（2）2=君，故选口.

aaa\a

答案:D.

【命题立意】：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念，以及直线与抛物线的位置关系，只有一个公共点，则

解方程组有唯一解•本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.

8.（2009山东卷文）设斜率为2的直线/过抛物线y2^ax（aH0）的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF（。为坐标原点）

的面积为4,则抛物线方程为（）.

A.y2=±4xB.y2=±8xC.y2-4xD.y2=8x

【解析】：抛物线＞2=公（a，0）的焦点F坐标为（@,0）,则直线/的方程为y=2（x—@）,它与y轴的交点为

44

A（0,—N）,所以AOAF的面积为-1-11-1=4,解得叱±8.所以抛物线方程为y2=±8x,故选B.

2242

答案:B.

【命题立意】：本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查数形结合

的数学思想，其中还隐含着分类讨论的思想,因参数a的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相

应变化有两种情况，这里加绝对值号可以做到合二为一.

22

9.（2009全国卷II文）双曲线二-一匕=1的渐近线与圆（X-3）2+y2=尸2什＞0）相切，则口

(A)V3(B)2(C)3(D)6

答案：A

解析：本题考查双曲线性质及圆的切线知识，由圆心到渐近线的距离等于r,可求r=J5

10.（2009全国卷II文）已知直线y=k（x+2）也＞0）与抛物线C：V=8x相交A、B两点，F为C的焦点。若

\FA\=2|FB|，贝ijk=

1V222V2

(D)—

%(B)T

答案：D

解析：本题考查抛物线的第二定义，由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2,0）,由|£4|=2产司及第二定义

知/+2=2（XB+2）联立方程用根与系数关系可求k=七。

11.（2009安徽卷理）下列曲线中离心率为理的是

2

2222

（A）--一匕=1（B）--21=1（C）11-21=1（D）^i_Z=1

244246410

“皿…指H/3,b23b21、小

［解析］由6=得=——T=—，-7=一，选B

2a22a22a22

更

12.（2009安徽卷文）下列曲线中离心率为2的是

/y_1/八

A24B.42c.46D.410

【解析】依据双曲线与一I=1的离心率e=£可判断得.e=£=".选B。

ab"aa2

13.（2009安徽卷文）直线।过点（-1,2）且与直线垂直，则『的方程是

A3r+2y-l=0B3r+2y+7=0

C2x-3y+5=O口2x-3y+8=0

【解析】可得，斜率为一］3.・./:^一2=-23。+1）即3x+2y-l=0,选A。

22

14.（2009江西卷文）设耳和工为双曲线2r=1（。＞0力＞0）的两个焦点，若耳，F,,P（0,2b）是正三角形

a~b~

的三个顶点,则双曲线的离心率为

3-5

A.-B.2C.一D.3

22

答案：B

【解析】由tan^=」-=走有3c2=4/?2=4（/一/）,则6=£=2,故选B.

62/73a

比22

15.（2009江西卷理）过椭圆r+、=l（a>b>0）的左焦点耳作x轴的垂线交椭圆于点P,玛为右焦点，若

ab~

N与尸鸟=60",则椭圆的离心率为

V2B6

A11

A.---C.一D.

2323

答案：B

【解析】因为P（—c,±—）,再由N6P居=60°有二=2。,从而可得e=£='二，故选B

aaa3

16.（2009天津卷文）设双曲线j一—=1（4>Q,b>0）的虚轴长为2,焦距为2百，则双曲线的渐近线方程为（）

a2b-

Ay=±V2xBy-±2xCy=±-^-xDy=±；x

【解析】由已知得到b=l,c=左,。=〃2-心=&,因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为

与

a2

【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。

17.（2009湖北卷理）已知双曲线二—三=1的准线过椭圆?+斗=1的焦点，则直线y=履+2与椭圆至多有一个

交点的充要条件是

“「11]”（1

L22」I2.

C.KeD.Ke-oo,-2-J,+8

22222

LJ\JL/

2ry

【解析】易得准线方程是芯=±幺=±4=±1

b2

所以/=/一/=4-62=1即/=3所以方程是上+t=1

43

联立y=fcc+2可得3x2+(4k2+16k)x+4=0由A40可解得A

18.（2009四川卷文）已知双曲线、—氏=13>0）的左、右焦点分别是用、尸2,其一条渐近线方程为y=x,

点

P（6,y0）在双曲线上厕所•丽=

A.-12B.-2C.0D.4

【解析】山渐近线方程为y=x知双曲线是等轴双曲线，.•.双曲线方程是》2一/=2,于是两焦点坐标分别是（一

2,0)和(2,0),且P(6,l)或「(若,—1)不妨去P(当,1),则丽=(—2-6,-1),

丽=(2-V3-1).；.正•至=(一2—V3-1)(2-V3-1)=一(2+73)(2-73)4-1=0

19.(2009全国卷H理)已知直线)^=乂X+2)(&>0)与抛物线C：V=8x相交于A、B两点,产为。的焦点，若

IFA1=21FBI,则女=

1V222血

A.-B.—C.-D.----

3333

解：设抛物线C:y2=8x的准线为/:x=-2直线y=k(x+2)(k>0)恒

y=kix+2^^O)

过定点P(-2,0).如图过A、8分别作AM_L/于M,8N_L/于N,

山IE4I=2IEBI,则1AVI=2I8NI,点B为AP的中点.连结08,则

*Z。中F(2,0)kx

尸1,点8的横坐标为1,故点8的坐标为

2

/^\0：72=8x

，「不.,_2V2-0_2V2场注八

(1,272)..k——,故选DZ:x=-2

1-(-2)3

x2y2,、

20.(2009全国卷II理)已知双曲线C=一，=1(。>01>0)的右焦点

a

为尸，过户且斜率为0的直线交C于A、8两点，若赤=4而，则C的离心率为

6759

A.-B.-C.-D.一

5585

22

解：设双曲线。：0-方=1的右准线为/，过4、8分别作4M_!_/

一

于M,BN上1于N,8。_1_4加于。，由直线AB的斜率为百，

知直线AB的倾斜角为60°/.NBAD=60。,1A。1=；1ABI,

由双曲线的第二定义有

]—.—•

IAMI-IBNHADl=-(lAF\-\FB\)

e

=-\ABl=-(IAFI+IFBI).

22

---—1■■■5——6

又AF=4所.•.一•31F81=己1E?仁e=-故选A

e25

21.(2009湖南卷文)抛物线y2=—8x的焦点坐标是[B]

A.(2,0)B.(-2,0)C.(4,0)D.(-4,0)

解:由y2=—8x，易知焦点坐标是(',0)=(-2,0),故选B.

22.(2009辽宁卷文)已知圆C与直线x—y=0及x-y—4=0都相切,圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为

(A)(x+l)2+(y-l)2=2(B)(x-l)2+(y+l)2=2

(0(x-l)2+(y-l)2=2(D)(x+l)2+(y+l)2=2

【解析】圆心在x+y=O上，排除C、D,再结合图象，或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径也即可答案B

22

23.(2009宁夏海南卷理)双曲线土-2-=1的焦点到渐近线的距离为

412

(A)20(B)2(C)V3(D)1

|V3x4-0|

解析：双曲线工-=1的焦点(4,0)到渐近线>>=y[3x的距离为d==2#>/A

412

24.(2009宁夏海南卷理)设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(l,0),直线I与抛物线C相交于A,B两点。

若AB的中点为(2,2),则直线，的方程为.

y-=

A(X],yJ,8(x,,y2)JU第X[Hx21；'

3=4X2

解析：抛物线的方程为V=4x,两式相减得，才―4=4(士—龙2)，，&二^=」一=1

占一尤2%+%

，直线1的方程为y-2=x-2,即y=x

答案:y=x

25.(2009陕西卷文)过原点且倾斜角为60。的直线被圆/+>2-4),=0所截得的弦长为

(A)百(B)2(C)V6(D)2也

答案：1).

V3x0-2|

解析：直线方程y=6x,圆的标准方程f+(y-2)2=4，圆心(0,2)到直线的距离d=J-I==1,由垂

J(百尸+(—1)2

径定理知所求弦长为"*=2五二了=26故选D.

26.(2009陕西卷文)“机>〃>0”是“方程瓶+犯2=1，，表示焦点在y轴上的椭圆”的

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

答案:C.

解析:将方程〃忒2+盯2=]转化为:2+：2=1,根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足上1>10」>0,所以

mn

mn

故选c.

nm

27.(2009四川卷文)已知双曲线三一三=1(6>0)的左、右焦点分别是％、F2,其一条渐近线方程为y=X,

点

P(万,打)在双曲线上•则丽•丽=

A.-12B.-2C.0D.4

【解析】由渐近线方程为y=x知双曲线是等轴双曲线，.•.双曲线方程是/—V=2,于是两焦点坐标分别是(一

2,0)和(2,0),且P(7^,l)或P(百,-1).不妨去P(0,1),则所=(一2一百,-1),

而=(2—括,—1)....丽•Pf；=(-2-V3,-l)(2-V3-1)=-(2+73)(2-73)+1=0

22

28.(2009全国卷I文)设双曲线二一2T=1(。>0,匕>0)的渐近线与抛物线y=x?+l相切，则该双曲线的离心

ab

率等于

(A)G(B)2(C)V5(D)A/6

【解析】本小题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题。

2V?hx,

解：由题双曲线Tb>0)的一条渐近线方程为y=—,代入抛物线方程整理得

a"b'a

ax2-bx+a=0,因渐近线与抛物线相切，所以。2一.2=。，即=5a?0e=若，故选择c。

29.(2009全国卷I文)已知椭圆C：5+)，=1的右焦点为F,右准线/,点Ae/,线段AF交C于点B。若E4=3FB,

则网=

(A)V2(B)2(C)V3(D)3

【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题。

解:过点B作8M_1/于此并设右准线/与X轴的交点为N,易知FN=1.由题意成=3而，故IBM1=工.又山椭圆的

3

第二定义，得18尸1=立2=也门4/7|=0.故选八

233

2222

30.(2009湖北卷文)已知双曲线二-二=1的准线经过椭圆工+勺=1(b>0)的焦点，则b=

224b2

A.3B.y[5C.V3D.72

【解析】可得双曲线的准线为*=±巴~=±1,又因为椭圆焦点为(±6F,0)所以有"^=1.即b2=3故

C

b二百.故C.

31.(2009天津卷理)设抛物线/=2x的焦点为F,过点M(百，0)的直线与

抛物线相交于A,B两点，与抛物线的准线相交于C,忸尸卜2,则ABCF与AACF

的面积之比也组二

°AACF

、4、24、1

(A)—(B)—(C)—(D)一

5372

【考点定位】本小题考查抛物线的性质、三点共线的坐标关系，和综合运算数学的能力，中档题。

1

解析：由题知3^=空=上)=2±1,

S^CFAC12X4+1

42

13

又IBF1="笈+5=2n=—^yB=—V3

即*z「+百

由A、B、M三点共线有"二匕='M-故x4二2,

XXXX行一|

M-AMB<3-xA

SkRCF_2xB+1_3+1_4

故选择Ao

SMCF2XA4-14+15

32(2009四川卷理)已知双曲线3=1(8>0)的左右焦点分别为耳，鸟，其一条渐近线方程为y=x，点

2(6,%)在该双曲线上，则所•垣=

A.-12B.-2C.0D.4

【考点定位】本小题考查双曲线的渐近线方程、双曲线的定义，基础题。(同文8)

解析：由题知。2=2,故九=±石二5=±1,居(-2,0),尸2(2,0)，

...西・玩=(-2—6,±1)・(2—行,±1)=3—4+1=0,故选择(；。

解析2：根据双曲线渐近线方程可求出双曲线方程5=1,则左、右焦点坐标分别为耳(-2,0),6(2,0),再将

点P(J5,%)代入方程可求出尸(G,±l),则可得两•厄=0,故选C。

33.(2009四川卷理)已知直线4：4x-3y+6=0和直线4：x=T，抛物线V=4x上一动点P到直线人和直线《

的距离之和的最小值是

1137

A.2B.3C.—D.—

516

【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。

解析：直线4：X=-1为抛物线y2=4x的准线，由抛物线的定义知，P到，2的距离等

于P到抛物线的焦点方(1,0)的距离，故本题化为在抛物线y2=4x上找一个点P使得

P到点歹(1,0)和直线4的距离之和最小，最小值为尸(1,0)到直线4：4x-3y+6=0

14-0+61

的距离，即/讪='—-―'=2,故选择Ao

解析2：如下图，由题意可知下=13口一（）+61=2

A/32+42

34.（2009宁夏海南卷文）已知圆G：（x+l）2+（y-l）2=l,圆C2与圆G关于直线工一y—1=0对称，则圆G的方

程为

(A)(X+2>+(y-2)2=1(B)(x-2>+(y+2>=1

(C)(x+2>+(>+2)2=1(D)(x-2)2+(y-2)2=l

曰出1=0

22a=2

【解析】设圆的圆心为（a,b）,则依题意，有，,解得：<,对称圆的半径不变,

b-\b=-2

la+1

为1,故选Bo

y2

35.（2009福建卷文）若双曲线二=l（a>o）的离心率为2,则a等于

a'-y

3

A.2B.V3C.-D.1

2

2<2,n

工=1可知虚轴46，而离心率折士二

解析解析由一-——=2,解得a=l或a=3,参照选项知而应选D.

a3aa

36.（2009重庆卷理）直线y=x+l与圆f+y2=i的位置关系为（)

A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离

71=1,而0<也<1,选B。

【解析】圆心（0,0）为到直线y=x+l,即x-y+l=0的距离d

V222

:『二:；’其中心°。若方程SMx恰

37.（2009重庆卷理）已知以T=4为周期的函数/（x）=<

有5个实数解，则〃？的取值范围为（）

48、

A.B.诉C.D.(§,S)

【解析】因为当时，将函数化为方程

2

x2+^r=l（y>0）,实质上为一个半椭圆，其图像如图所示,

m"

23456789*同时在坐标系中作出当xe（1,3］得图像，再根据周期性作出函

vcV2

数其它部分的图像，由图易知直线丁=土与第二个椭圆（X-4y+二=1（），20）相交，而与第三个半椭圆

3m~

22

（x-4）2+4=1320）无公共点时，方程恰有5个实数解，将丫=二代入。-4）2+与=1（了？0）得

3m"

(9m2+l)x2-12m2x+135m2=0,令f=9-(f>0)则(f+l)x2-8tt+15r=0

山A=(8f)~-4x15/(/+1)>0,得7>15,由9m~>15,J3./?/〉0得(

3

2

同样由y='与第二个椭圆（x-8）2+工=l（y20）由△<0可计算得机<V7

3m

综上知机c，布）

38.(2009重庆卷文)圆心在y轴上，半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为()

A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=lC.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=1

解法1（直接法）：设圆心坐标为（0/），则由题意知J（。一-2）=1,解得。=2,故圆的方程为

x2+(y-2)2=lo

解法2（数形结合法）：由作图根据点（1,2）到圆心的距离为1易知圆心为（0,2）,故圆的方程为Y+（y-2）2=1

解法3（验证法）：将点（1,2）代入四个选择支，排除B,D,又由于圆心在y轴上，排除C。

39.（2009年上海卷理）过圆C：（x—iy+（y—1）2=1的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B,AAO8被圆分

成四部分（如图），若这四部分图形面积满足3+S*=Sn+S|“,则直线AB有（）

（D）3条

【解析】由已知，得：S/y-S"=跖〃一跖，，第II,IV部分的面积是定

值，所以，S/y-S"为定值，即5〃/一跖，为定值，当直线AB绕着圆心C

移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB只有一条，故选B.

二、填空题

1.（2009四川卷理）若O0,:x2+y2=5与。

。2：。-〃?）2+》2=20（〃作R）相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是

【考点定位】本小题考查圆的标准方程、两直线的位置关系等知识，综合题。

解析：由题知。1（0,0）,。2（机,0），且若又所以有

m2=（Vs>+（2A/5）2=25=/n=±5,AB=2-=4°

2.（2009全国卷1文）若直线机被两平行线4：x—y+l=0与4”—）叶3=0所截得的线段的长为2后，则机的

倾斜角可以是

①15°②30°③45°@60°⑤75°

其中正确答案的序号是.（写出所有正确答案的序号）

【解析】本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想。

解：两平行线间的距离为d==JI,由图知直线相与4的夹角为30",1】的倾斜角为45°,所以直线机的

V1+1

倾斜角等于30。+45°=75°或45"-30°=15°。故填写①或⑤

3.（2009天津卷理）若圆》2+y2=4与圆炉+歹+2町—6=0（a>0）的公共弦的长为26,

则a=。

【考点定位】本小题考查圆与圆的位置关系，基础题。

解析：由知x2+V+2今一6=0的半径为Ji，/,由图可知6+。2一（_。-1）2=（、回）2解之得”=1

4.（2009湖北卷文）过原点O作圆x2+y2-6x-8y+20=0的两条切线，设切点分别为P、Q,则线段PQ的长

为o

【解析】可得圆方程是（x-3>+（y-4>=5又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得|P。=4

22

5.（2009重庆卷文）已知椭圆二+4=13>}>0）的左、右焦点分别为G（-c,0）,居（c,0）,若椭圆上存在一点尸

ah

使而丽'=而两则该椭圆的离心率的取值范围为

PK

解法1,因为在心月居中，山正弦定理得一

12sinPFF

}2sinPF2F}

ac

则由已知，得——=——，即

设点（5,〉0）由焦点半径公式，得=a+eXo，PK=a-e/则a（a+eXo）=c（a-eXo）

记得/==处二»山椭圆的几何性质知x°>-。则四二D>—a,整理得

°e（c-a）e（e+l）°e（e+l）

e2+2e-l>0,解得e<—/一1或e<0-1,又ee（0,l）,故椭圆的离心率ee（血一1,1）

解法2由解析1知PF1=-PF,由椭圆的定义知

a

2a2

?片+「乙=2。则一c尸工+?工=2。即2工=——，由椭圆的几何性质知

ac+。

2

P6<a+c，则率一<a+c，既/+2。一/>o,所以e2+2e_i>o,以下同解析1.

c+a

22

6.（2009重庆卷理）已知双曲线［-2r=1（。>0/>0）的左、右焦点分别为片（―c,0）,F,（c,0）,若双曲线上存在

ab

一点P使—PF^=-,则该双曲线的离心率的取值范围是___________.

sin

PF2FXC

PF1

解法1,因为在APKK中，由正弦定理得

sinPFyF2sinPF,

则由已知,得泰=藻,即叫=CP%且知点P在双曲线的右支上,

r\r2r\r\

设点(5,为)由焦点半径公式，得P£=a+ex(),PK=ex()-a则。(a+exo)=c(exo-a)

解得当=丝£土曳=”上1由双曲线的几何性质知%>。则吆土，整理得

e(c-a)e(e-l)e(e-l)

e2-2e—1<0,解得一血+1<6<亚+1,又ee(l,+8),故椭圆的离心率ee(1,加+1)

解法2山解析1知PF；=-PF2山双曲线的定义知

a

2a2

PFrPF,=2a贝ij£尸居一PE,=2。即PE,=由椭圆的几何性质知

a~

2/72

PF,>c—a,则二一>c—a,既，-2ac—/<0,所以e2—2e—i<0,以下同解析1.

c-a

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7.(2009北京文)椭圆弓■+、=1的焦点为《，鸟，点P在椭圆上，若|尸石|=4,则1尸入1=；/耳尸乃的

大小为.

【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理.属于基础知识、基本运算

的考查.

；a2=9,/?2=3,

c-\ja2—b~—，9—2=币,

.♦.恒闾=2"

又|尸团=4,|?周+|P闻=24=6,：.\PF2\=2,

22+42-（2A/7）2

又由余弦定理，得cos/与尸居=/大尸工=120°,故应填2,120°.

2