高中数学必修4平面向量知识点总结7

平面向量

一,向量的基本概念与基本运算

1团向量的概念：

①向量：既有大小又有方向的量团向量一般用回……来表示，或用有向线段的起点与终点的大

写字母表示，如:盟几何表示法&比坐标表示法皿向量的大小即向量的模（长度），记作

|田但即向量的大小，记作I团I团

向量不能比较大小，但向吊的模可以比较大小.

②零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量=

II=0由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行

（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.（注意与0的区别）

③单位向量：模为1个单位长度的向量

向量%）为单位向量<=>II=1.

④平行向量（共线向晟）:方向相同或相反的非零向展团任意一组平行向展都可以移到

同一直线上回方向相同或相反的向量，称为平行向量0记作团〃雷由于向量可以进行任意的平

移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量团

数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区

分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”

与儿何中的“平行”是不一样的.

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量回相等向量经过平移后总可以重合，记为西大小相

等，方向相同电团

Z向量加法

求两个向量和的运算叫做向量的加法.

设团，则团+阴阳胴

（1）O+a=a+O=a：（2）向量加法满足交换律与结合律：

向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：

（1）用平行四边形法则时，两个已知向审:是要共始点的，和向最是始点与已知向曷的始

点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量目

（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的

终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点团

当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则.向

量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：

团,但这时必须“首尾相连”.

工向量的减法

①相反向量：与团长度相等、方向相反的向量，叫做团的相反向量团

记作一五,零向量的相反向量仍是零向量.

关于相反向量有：（i）13=0;（ii）0+（［3）=（0）+0=0；

（iii）若回、团是互为相反向量，则回=0,即乱寻阉=胴

②向量减法：向量回加上回的相反向量叫做团与团的差，

记作：国求两个向量差的运算，叫做向量的减法回

③作图法:团可以表示为从团的终点指向团的终点的向量（团、团有共同起点）0

4回实数与向量的积：

①实数人与向量团的积是一个向量，记作人国它的长度与方向规定如下：

(I)I丽=阿.同；

(H)当13时,入团的方向与团的方向相同；当(2时,入13的方向与(2的方向相反;当团时，同方

向是任意的团

②数乘向量满足交换律、结合律与分配律.

5团两个向量共线定理：

向量回与非零向量团共线团有且只有一个实数团使得加盟

的平面向量的基本定理：

如果回是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量同有且只有一对实数

团使：团，其中不共线的向量团叫做表示这一平面内所有向量的一组基底团

7.特别注意：

(1)向量的加法与减法是互逆运算.

(2)相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件回

(3)向量平行与宜线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)，而向量平行则包括共线

(重合)的情况回

(4)向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对

位置有美(3

例1给出下列命题：

①若||=|贝J=;

②若A,B,C,D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；

③若=,=，则=,

@a=b的充要条件是|d|=|b|且2〃坂；

⑤若〃，〃，则〃，

其中正确的序号是.

例2设A.B.C.D.0是平面上的任意五点，试化简：

①瓦②0③(3

例3设非零向量团、G3不共线,团二3例,0=如加化但)，若团〃胤试求短

二,平面向量的坐标表示

1团平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向

量图作为基底回由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量团可表示成团由于团与数对(x,y)

是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量团的坐标，记作(3=(x,y),其中x叫作团在x轴上的坐标,y叫

做在y轴上的坐标团

(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量团

(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关

0

(1)2回平面向量的坐标运算：

(2)若胤则团

(3)若一则(3

(4)若因=(x,y),贝ij(33=(0x,Oy)

(5)若一则回

若13,则13

若，则

3向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量(内积)及其各运算的坐标表

示和性质

运几何方法坐标方法运算性质

算

类

型

向1•平行四边形法则

叶£山+务工+人)a+b=b+a

量2•三角形法则

的

(a+b)+c=a+(b+c)

加

法

AB+BC=AC

向三角形法则

a-b=a+(-b)

量

的

减AB--BA

法

OB-OA=AB

向而是一个向量，

Aa-(Zr,2y)

量满足：

的丸〉0时，而与2同向；

(2+pi)a=花+/必

乘4<0时，龙与2异向；

法

4=0时，布=6.A(a+b)=Ad+Ab

a//b<^>a=Ab

向—•―♦—»

是一个数

量^•b2•/?"&+);为a9b=b9a

的

d=0或k6时，(海)=A•(痴=7(A・B)

数

量

涧6二0(a+b)*c=a^c+b*c

积

日工0且〃w0时，不二|己|2,|讣荷+),2

3•b^aib\cos<a,b>|方•，国可防1

例1已知向量团,回，且团，求实数回的值回

例2已知点4(4。),8(4,4),。(2,6),试用向量方法求直线4。和。8(。为坐标原点)交

点P的坐房

三.平面向量的数量积

1团两个向量的数量积：

已知两个非零向量国与团它们的夹角为团，M0•0=I0I•I团ICOS0

叫做〃与方的数量积(或内积).规定0/=().

2回向量的投影I0Icos0=0eR,称为向量团在团方向上的投影团投影的绝对值称为射影团

3数量枳的几何意义：-等于的长度与在方向上的投影的乘积

4团向量的模与平方的关系:解

5乘法公式成立：

他+孙(北方)=/-方=同2-|@；

(d±b)=a2±2a-b+b2=\a^±2a-b+b

6平面向量数量积的运算律：

①交换律成立：

②对实数的结合律成立：

③分配律成立：

特别注意：(I)结合律不成立：；

(2)消去律不成立存6=11不能得到6=小

(3)ab=O不能得至=6或6=0。

70两个向量的数量积的坐标运算:：

已知两个向制3,0!|0•0=G0

80向量的夹角：已知两个非零向量团与团，作加团加团则NAOBW(0)叫做向量13与团的夹角团

cos^cos<a,b>=匹=/2+产.

同WI77^7-7^77

当且仅当两个非零向量13与田同方向时，0=00,当且仅当国与团反方向时()=1800,同时3与其

它任何非零向量之间不谈夹角这一问题团

9垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作±

10两个非零向量垂直的充要条件：

a.Lb<=>a•b=0=x1x2+y\y2=0.平面向量数量积的性质

例1判断下列各命题正确与否：

(1)()-«=()；(2)