2026华东师大版（新教材）初中数学八年级下册期中知识点复习要点梳理（15-17章）

华东师大版（新教材）初中数学八年级下册期中知识点复习要点梳理（15-17章）第15章分式一、核心知识点15.1分式及其基本性质1.分式定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式。其中A叫做分式的分子，B关键区分：分式与整式的区别：整式的分母中不含字母（如2x3、x2+1），分式的分母中必须含字母（如分式有意义的条件：分母不为0（即B≠0）；若分母为分式的值为0的条件：分子为0且分母不为0（即A=0且示例：分式x−3x+2，当x≠−2时，分式有意义；当x2.分式的基本性质核心性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变（字母表示：AB=A⋅CB⋅C，关键应用：分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；约分后得到的分式与原分式相等，且分子、分母没有公因式（即最简分式）；分式的通分：把几个异分母分式化为与原来分式相等的同分母分式，叫做分式的通分；通分的关键是找到几个分母的最简公分母（取各分母所有因式的最高次幂的积）；注意：约分、通分时，分子、分母同时乘（或除以）的整式必须不为0，否则分式的值会改变。示例：约分x2−4x+2=(x+2)(x−2)x+2=x15.2分式的运算1.分式的乘除分式的乘法法则：两个分式相乘，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母（字母表示：AB分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘（字母表示：AB÷CD=AB⋅DC=注意事项：运算前可先对分子、分母进行因式分解，再约分，简化计算；运算结果需化为最简分式或整式；符号规则：同号得正，异号得负，多个分式相乘除时，符号由负因式的个数决定（负因式个数为偶数，结果为正；奇数为负）。2.分式的加减同分母分式加减法则：分母不变，只把分子相加减（字母表示：AB±CB异分母分式加减法则：先通分，化为同分母分式，再按照同分母分式加减法法则进行计算（字母表示：AB±CD=AD注意事项：分子相加减时，若分子是多项式，需加括号，避免符号错误；运算结果需化为最简分式或整式；通分时，最简公分母的确定要准确，若分母是多项式，需先因式分解再找最简公分母。15.3可化为一元一次方程的分式方程定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程（如1x+2=分式方程的解法（核心步骤）：去分母：在方程两边同时乘最简公分母（各分母的最简公分母），把分式方程化为整式方程；解整式方程：按照一元一次方程的解法，求出整式方程的解；检验：把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，则该解是原分式方程的解；若最简公分母为0，则该解是原分式方程的增根（增根不是原分式方程的解，需舍去）；注意：检验是解分式方程的必备步骤，不可省略（避免增根导致解题错误）。增根的产生：去分母时，方程两边同时乘的最简公分母为0，导致整式方程的解使原分式方程的分母为0，从而产生增根。分式方程的应用：解题步骤：审题→设未知数→列分式方程→解分式方程→检验（检验解的合理性，既要满足方程，也要符合实际意义）→写出答案；常见题型：行程问题、工程问题、利润问题、浓度问题等，核心是找到等量关系，列出分式方程。15.4零指数幂与负整数指数幂1.零指数幂与负整数指数幂零指数幂：任何不等于0的数的0次幂都等于1（字母表示：a0=1，其中a≠负整数指数幂：任何不等于0的数的−n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数（字母表示：a−n=注意事项：零指数幂、负整数指数幂的前提是底数不为0；负整数指数幂的符号：底数为正数时，结果为正；底数为负数时，结果由n的奇偶性决定（n为偶数，结果为正；n为奇数，结果为负）；拓展：幂的运算法则对零指数幂、负整数指数幂仍适用（如am⋅an=am+n，(示例：20=1，(−3)2.科学记数法定义：把一个数表示成a×10n的形式（其中1≤|适用场景：表示绝对值较大的数：n为正整数，n等于原数的整数位数减1（如35000=表示绝对值较小的数（小于1的正数）：n为负整数，n的绝对值等于原数中第一个非0数字前0的个数（包括小数点前的0）（如0.000023=注意：用科学记数法表示的数，其有效数字只看a的有效数字，与10n二、复习重点掌握分式的定义，能准确区分分式与整式，牢记分式有意义、值为0的条件；熟练运用分式的基本性质，能进行分式的约分、通分，化为最简分式；掌握分式的乘除、加减运算法则，能准确进行分式的混合运算，注意符号和运算顺序；掌握分式方程的解法，牢记检验步骤，能判断增根，解决分式方程的应用问题；掌握零指数幂、负整数指数幂的定义和运算，能运用科学记数法表示不同大小的数；能结合分式运算、零指数幂和负整数指数幂，解决化简求值类问题，提升运算准确率。三、易错点分式有意义、值为0的条件混淆：忽略“分式值为0需分子为0且分母不为0”，误将分子为0当作分式值为0的唯一条件；分式基本性质运用错误：约分、通分时，分子、分母同时乘（或除以）的整式为0，或只对分子（或分母）进行变形；分式运算符号错误：分式乘除中，负因式个数判断错误；分式加减中，分子多项式相减时，漏变符号；解分式方程遗漏检验步骤：导致增根被当作原方程的解，或未发现增根；零指数幂、负整数指数幂错误：忽略”a≠0“的前提，误写00=1，或把a科学记数法表示错误：表示较小数时，n的绝对值计算错误，或a的取值不符合1≤|分式方程应用中：设未知数不规范、等量关系找错，或检验时忽略实际意义（如人数、路程不能为负数）。第16章函数及其图象一、核心知识点16.1变量与函数变量与常量：变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量（如行驶路程中的速度、时间）；常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量（如匀速行驶中，速度是常量）；注意：变量和常量是相对的，取决于变化过程（同一量在不同变化过程中，可能是变量，也可能是常量）。函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说y是x的函数，x是自变量。函数的表示方法（华东师大版重点）：解析法：用数学式子表示两个变量之间的函数关系（如y=列表法：用表格列出自变量x与对应函数值y的关系（如表格中x取1、2、3时，y对应取3、5、7）；图象法：用平面直角坐标系中的点表示自变量x与函数值y的关系（每个点的坐标(x,y)对应一组x函数自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的所有取值，叫做自变量的取值范围；常见限制条件：分母不为0（如y=1x−被开方数非负（如y=x+3结合实际意义（如路程、人数不能为负数）。16.2函数的图象1.平面直角坐标系定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x轴（横轴），向右为正方向；竖直的数轴叫做y轴（纵轴），向上为正方向；两轴的交点叫做原点O。象限划分：平面直角坐标系把平面分成四个象限，按逆时针方向依次为第一、二、三、四象限；注意：坐标轴（x轴、y轴）上的点不属于任何一个象限。点的坐标：平面内任意一点P，过P作x轴的垂线，垂足对应的数为横坐标（x）；过P作y轴的垂线，垂足对应的数为纵坐标（y），则点P的坐标表示为(x各象限内点的坐标特征：第一象限(+,+)，第二象限(−,+)，第三象限(−,−)，第四象限(+,−)；坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点，纵坐标为0（如(a,0)）；y轴上的点，横坐标为0（如(对称点的坐标特征：关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数（如(x,y)关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数（如(x,y)关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数（如(x,y)2.函数的图象定义：把一个函数的自变量x与对应的函数值y分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图象。画函数图象的步骤（华东师大版重点操作）：列表：选取自变量x的若干个取值（需在自变量取值范围内），计算出对应的函数值y，列出表格；描点：根据表格中的(x连线：根据点的分布规律，用平滑的曲线（或直线）连接各点，得到函数图象；注意：若自变量取值为离散值，可只描点，不连线。函数图象的意义：图象上任意一点的坐标(x,y)16.3一次函数1.一次函数定义：一般地，形如y=kx+b（k、b特殊情况：当b=0时，一次函数变为y=注意：一次函数的条件是”k≠0“，若k=02.一次函数的图象图象形状：一次函数y=kx+图象画法（两点法，最简便）：对于正比例函数y=kx：图象过原点(0,0对于一般一次函数y=kx+b：找与x轴、y轴的交点，即当x=0时，y=b（与y轴交点(0,b)）；当直线y=kx+b的位置与k、b的作用：决定直线与y轴的交点位置（b>0，交点在y轴正半轴；b=0，交点在原点；b<k的作用：决定直线的倾斜方向和倾斜程度（k>0，直线从左到右上升；k<03.一次函数的性质当k>0时：y随x若b>若b=若b<当k<0时：y随x若b>若b=若b<补充：一次函数的图象是直线，因此它的性质是“单调增减”，无最大值、最小值（除非有自变量取值范围限制）。4.求一次函数的表达式核心方法：待定系数法（华东师大版重点），步骤如下：设：设一次函数的表达式为y=kx+b（k≠0代：将已知的两组（或一组，正比例函数）x、y的值代入表达式，得到关于k、b的二元一次方程组（或一元一次方程）；解：解方程组（或方程），求出k、b的值；写：将k、b的值代入所设表达式，得到一次函数的最终表达式。注意：求表达式时，需确保已知点的坐标满足函数表达式，代入后计算要准确；若有实际意义，需检验k、b的合理性。16.4反比例函数1.反比例函数定义：一般地，形如y=kx（k为常数，且反比例函数的其他形式：y=kx−1（k自变量取值范围：x≠0（分母不能为0），函数值2.反比例函数的图象和性质图象形状：反比例函数y=kx图象与坐标轴的关系：双曲线永远不会与x轴、y轴相交（因为x≠0、图象位置与k的关系（华东师大版重点）：当k>0当k<0反比例函数的性质：当k>0时，在每个象限内，y随x当k<0时，在每个象限内，y随x补充：双曲线的两个分支无限靠近坐标轴，但永远不会相交；|k|16.5实践与探索核心内容：结合一次函数、反比例函数的图象和性质，解决实际问题（如行程问题、工程问题、利润问题、浓度问题等）。解题步骤（华东师大版重点）：审题：理解题意，找出题目中的变量和常量，明确函数关系；设元：设出自变量和函数，根据题意列出函数表达式（一次函数或反比例函数）；求解：结合函数图象和性质，求出所需的未知量（如自变量取值、函数值、交点坐标等）；检验：检验结果是否符合函数关系式和实际意义；作答：写出最终答案。常见题型：一次函数与反比例函数的交点问题（联立两个函数表达式，求解方程组，得到交点坐标）；利用函数图象比较两个函数值的大小；结合实际场景，求函数自变量的取值范围、函数的最大值或最小值（需结合自变量取值范围）。二、复习重点理解变量、常量、函数的定义，能判断两个变量是否为函数关系，掌握函数自变量的取值范围的求法；掌握平面直角坐标系的相关概念，能准确写出点的坐标，判断点所在的象限，掌握对称点的坐标特征；掌握一次函数的定义、图象和性质，能运用两点法画一次函数图象，熟练用待定系数法求一次函数表达式；掌握反比例函数的定义、图象和性质，能区分一次函数与反比例函数的图象和性质差异；能结合一次函数、反比例函数的知识，解决实际应用问题，能联立两个函数表达式求解交点坐标；能根据函数图象获取信息，分析函数的增减性，解决与函数图象相关的计算和判断问题。三、易错点函数定义理解错误：忽略”y有唯一确定的值与x对应”，误将不是函数的关系当作函数（如x=y2，一个x对应两个平面直角坐标系相关错误：点的坐标书写颠倒（如把(x,y)一次函数相关错误：忽略”k≠0“的条件，误将y=b当作一次函数；两点法画图象时，找错交点坐标；混淆一次函数的增减性与反比例函数相关错误：忽略“每个象限内”的前提，判断增减性错误；误认为双曲线会与坐标轴相交；待定系数法应用错误：设错函数表达式（如正比例函数设为y=函数应用错误：等量关系找错，列出错误的函数表达式；忽略自变量的实际意义，取值范围不符合实际场景（如时间、人数不能为负数）；一次函数与反比例函数交点问题：联立方程组求解错误，或忽略交点所在的象限。第17章平行四边形一、核心知识点17.1平行四边形的性质平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（用符号”▱“表示，如▱ABCD，读作“平行四边形ABCD”）。平行四边形的性质（华东师大版重点，中考高频考点）：边的性质：平行四边形的两组对边分别平行且相等（即AB∥CD，AD∥BC，角的性质：平行四边形的两组对角分别相等，邻角互补（即∠A=∠C，∠B=∠D对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分（即对角线AC与BD相交于点O，则AO=OC，补充性质：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点；平行四边形的对边平行，因此其内角和为360∘性质的应用：计算边长、角度：利用对边相等、对角相等、邻角互补的性质，求未知边的长度、未知角的度数；证明线段相等、角相等：利用对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，证明两条线段相等、两个角相等；注意：平行四边形的性质是“平行四边形”特有的，普通四边形不具备这些性质。17.2平行四边形的判定核心判定定理（华东师大版重点，与性质互逆）：判定1（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（即若AB∥CD，AD∥BC，则四边形判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（即若AB=CD，AD=BC，则四边形判定3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（即若AB∥CD且AB=CD，则四边形判定4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（即若∠A=∠C，∠B=∠判定5：对角线互相平分的四边形是平行四边形（即若对角线AC与BD相交于点O，且AO=OC，BO=OD，则四边形判定方法的选择：已知两组对边的关系（平行或相等），优先用判定1、2、3；已知两组角的关系，用判定4；已知对角线的关系，用判定5；注意：判定一个四边形是平行四边形，至少需要两个条件，且条件要符合判定定理，不可随意组合。平行四边形的性质与判定的区别：性质：已知四边形是平行四边形，推出边、角、对角线的关系（平行四边形