商务与经济统计-相关与回归分析

第十章相关与回归分析STATStatisticsinPractice消费者应该留下多少小费？在西方国家餐饮等服务行业有一条不成文的规定，即发生餐饮等服务项目消费时，必须给服务员一定数额的小费，许多人都听说小费应该是账单的16%左右，是否真的如此呢？让我们来考察表10-1，表中的数据是经过调查所得的样本数据，通过对这几组数据的分析与观察，我们能发现两者之间的数量关系。第十章相关与回归分析STAT问题是：1、是否有足够的证据断定：在账单与小费数额之间存在某种联系？2、如果存在某种联系，怎样使用这种联系来确定应该留下多少小费？本章的重点就是基于成对出现的样本数据做出一些推论。如上例，我们想要确定账单与小费数额之间是否存在某种联系，如果存在，我们就想用一个公式描述它，这样就能找出人们留小费时遵循的规则。类似这样的问题还有很多，如：（1）犯罪率与偷窃率；（2）香烟消费与患癌症率；（3）个人收入水平与受教育年限；（4）血压与年龄；（5）父母身高与子女身高；（6）薪金与酒价；（7）人的手掌生命线的长度与人的寿命长短。第十章相关与回归分析STAT本章重点1、相关关系与回归方程概述；2、相关关系的测定；3、回归方程的拟合；4、回归方程的应用。本章难点1、积差法相关系数的计算；2、总离差平方和及其分解。参考书目1、李心愉：《应用经济统计学》，北京大学出版社；2、DavidS.Moore:《统计学的世界》，中信出版社；3、袁卫：《新编统计学教程》，经济科学出版社；4、统计网站：UNSD、OECD、中国国家统计局第十章相关与回归分析STAT第一节相关关系概述一、变量间的相互关系（一）函数关系1、定义：完全确定的（数量）关系。（1）某一（组）变量与另一变量间存在着一一对应的关系；[例]计件工资（y）与产量（x）

y=f(x)=10x；

x0=1件，y0=10元；

x1=2件，

y1=20元园的面积S＝ΠR2，R=10，S=100Π（2）y

被解释变量（因变量）；x

解释变量（自变量）。（二）相关关系１、定义：不完全确定的关系。（1）某一（组）变量与另一变量间有关系但并非一一对应；第十章相关与回归分析STAT[例]身高y与体重x；

A：x=60kg、y=170m；B：x=60kg、y=1.72m；

C：x=60kg、y=1.68m；D：x=60kg、y=1.65m。（2）表述：y=f(x)+

。影响身高的因素：体重、遗传、锻炼、睡眠质量……2、成因（1）某些影响因素尚未被认识；（2）虽已认识但无法测量；（3）测量误差。[例]某种水果2元/斤：购买额y=2x

购买量

y=4元、x=2斤

y=2x+=2×1.9+0.23、数量关系的形式第十章相关与回归分析STAT（1）单一因果关系；（2）互为因果关系；（3）伴随关系。三、相关关系的种类（一）按相关的程度分1、完全相关：函数关系；2、不相关：没有关系；3、不完全相关。（二）按相关的方向分1、正相关：变量的变动方向一致（同增同减）；2、负相关：变量的变动方向相反（一增一减）。第十章相关与回归分析STAT（三）按相关的形式分1、线性相关；2、非线性相关。相关程度密切相关程度不密切第十章相关与回归分析STAT（四）按影响因素的多少分1、单（简）相关：只有一个自变量；[例]学习成绩与学习时间；血压与年龄；亩产量与施肥量。2、复（多元）相关：两个或两个以上的自变量；[例]经济增长与人口增长、科技水平、自然资源、管理水平等之间的关系；体重与身高、食欲、睡眠时间之间的关系。3、偏相关：就多个变量测定其中两个变量的相关程度而假定其他变量不变。[例]就y=ax1+bx2+，研究y与x1之间的关系，假定x2不变。第十章相关与回归分析STAT第二节线性相关关系的测定[目的]测定变量间的相关方向与密切程度。一、相关图表（一）相关表1、单变量分组相关表：自变量分组且计算次数，因变量只计算平均数。第十章相关与回归分析STAT2、双变量分组相关表：对自变量与因变量均进行分组。注：自变量X轴；因变量Y轴。（二）相关图：散点图（P220）。[不足]难以精确反映相关的密切程度。第十章相关与回归分析STAT二、（线性）相关系数※（一）积差法计算公式第十章相关与回归分析STAT（二）协方差

xy的作用1、显示x与y之间的相关方向。第十章相关与回归分析STAT[负相关]第十章相关与回归分析STAT2、显示x与y之间的相关程度。第十章相关与回归分析STAT[负相关]第十章相关与回归分析STAT[不相关]第十章相关与回归分析STAT[归纳]xy的作用第一、显示x与y之间的相关方向第二、显示x与y之间的相关密切程度第十章相关与回归分析STAT（三）

x、y的作用1、使不同变量的协方差标准化直接对比。第十章相关与回归分析STAT2、使第十章相关与回归分析STAT（四）积差法相关系数的简捷计算公式第十章相关与回归分析STAT[简捷计算公式]第十章相关与回归分析STAT[r的简捷计算式]第十章相关与回归分析STAT（五）线性相关的判断准则[例]为了解餐饮业消费数额与小费之间的数额关系，特从若干名消费者中随机抽取10消费者调查，所得数额如下：第十章相关与回归分析STAT[例]计算过程。第十章相关与回归分析STAT[解]答：即账单消费额与小费之间存在着高度的正相关关系。第十章相关与回归分析STAT问：若令账单消费额为y，小费为x，则r的取值是否改变

?第十章相关与回归分析STAT

一些人相信他们的手掌生命线的长度可以来预测他们的寿命。M.E.Wilson和L.E.Mather在《美国医学协会学报上》发表的一封信中，通过对尸体的研究对此给予了驳斥。死亡时的年龄与手掌生命线的长度被一起记录下来。作者得出死亡时的年龄与生命线的长度不存在显著相关的结论。手相术失传了，手也就放下了。看手相：第十章相关与回归分析STAT（六）样本相关系数的特性1、两变量均为随机变量。2、两变量的地位是平等的rxy=ryx。3、其接近于1的程度与样本容量n有关。

n

小，r1。特例：当n=2时，r=1。

[例]样本（x,y）为（6,12.6）,（1,3.0）,n=2。第十章相关与回归分析STAT（十）关于相关的普通错误在解释关于相关的结果中会出现三种普通的错误：1、相关就一定意味着因果关系。如：一项研究表明，统计学教授的薪金与每人的啤酒消费量之间有很强的正相关关系，但这两个变量都受经济形势的影响。（隐藏变量）2、相关系数为0，一定不相关。3、基于平均数进行相关分析与基于个体数据进行相关分析，其相关程度一样。如：一项研究中，关于个人收入和教育的成对数据产生了一个0.4的线性相关系数，但当使用区域平均时，线性相关系数变为0.7。第十章相关与回归分析STAT（八）线性相关的假设检验（两种方法）1、提出原假设与备择假设2、给定显著性水平α3、选择检验方法，构建检验统计量4、将检验统计量与临界值比较，如检验统计量的绝对值大于临界值，则拒绝原假设，否则，就不拒绝原假设。

T检验法

r检验法：用已经算好的r作为检验统计量，其临界值可以在附表中找到。

第十章相关与回归分析STAT（八）线性相关的假设检验（两种方法）如袭前例：账单与小费之间的r=0.90,若用T统计量：

r检验法：N=10,r=0.9,rα=0.632,∵r＞rα∴拒绝原假设，则认为两者存在显著的线性相关。第十章相关与回归分析STAT第三节回归分析一、回归分析概述（一）概念1、线性相关分析：计算线性相关系数r确定两变量之间的相关方向与密切程度。[不足]无法表明两变量之间的因果关系无法从一个变量（x）的变化来推测另一个变量（y）的变化情况。

10名用餐顾客消费费与所付小费数据如下：账单X 33.5 50.7 63.6 78.5 87.9 98.8 107.3 102.3 120.7 140.6 小费Y 5.5 5 12 9.4 8.1 17 16 15.4 18.6 22.5

r=0.92第十章相关与回归分析STAT2、回归分析：通过一个（些）变量的变化解释另一变量的变化y=a+bx

、y=a+b1x1+bx2

、y=0+1x1+2x2+…+nxn[回归]英国生物学家F·Galton

首次提出。父辈身高

子辈身高

xy

y=f（x）+

人类的平均身高。（二）回归分析的种类1、按自变量的多少分（1）简单（一元）回归：自变量只有一个。[例]y=a+bx

一元回归方程（2）复（多元）回归：自变量为2个或2个以上。[例]y=0+1x1+2x2+…+nxn第十章相关与回归分析STAT2、按回归方程式的特征分（1）线性回归：因变量为自变量的线性函数。[例]y=a+bx

一元线性回归方程※（2）非线性回归：因变量为自变量的非线性函数。[例]第十章相关与回归分析STAT（三）回归分析的步骤1、确定自变量和因变量；[例]粮食产量（y）施肥量（x）；消费支出（y）国民收入（x）；

火灾损失额（y）火灾发生地与最近一个消防站之间的距离（x）。2、确定样本回归方程；3、统计检验；4、预测或控制。[例]消费与收入的回归方程：y=a+bx=200+0.15x

已知

x确定y：估计或预测已知y确定x：控制第十章相关与回归分析STAT二、一元线性回归方程的拟合（一）总体回归方程第十章相关与回归分析STAT[图示]第十章相关与回归分析STAT[假定]所有Y分布的均值都正好在一条直线上。第十章相关与回归分析STAT

Yi/Xi=条件均值+εi

=α+βXi+εi第十章相关与回归分析STAT[拟合思想]抽样N

n,第十章相关与回归分析STAT（二）样本回归方程的拟合从总体中随机取样，获取一组样本观察值。第十章相关与回归分析STAT[图示]第十章相关与回归分析STAT步骤：1、利用样本数据拟合样本回归直线，尽量减少误差；2、检验样本回归直线对总体回归直线的代表程度。第十章相关与回归分析STAT（三）样本回归方程的拟合方法1、绝对值拟合法2、最小二乘法（OLS法）※基本思路：使残差平方和最小的直线“最优直线”。第十章相关与回归分析STAT总可以设法找到一对a、b的取值，使Q为最小值。第十章相关与回归分析STAT将a代入（2）式得第十章相关与回归分析STAT[简捷计算式]第十章相关与回归分析STAT相关系数r与回归系数b之间的关系（1）两者是同向的；（2）r

反映变量的相关方向与密切程度；

b

反映某一变量变动一个单位时另一变量的平均变动量。第十章相关与回归分析STAT[例]为研究用餐消费与小费支出的关系，随机抽取了10位用餐顾客，得样本数据如下：请拟合样本回归方程样本的相关系数r=0.92第十章相关与回归分析STAT[例]为研究用餐消费与小费支出的关系，随机抽取了10位用餐顾客，得样本数据如下（用EXCEL软件生成的散点图）请拟合样本回归方程第十章相关与回归分析STAT解：通过散点图可近似看出收入与食品支出之间呈线性关系，故设两者有关系经济意义：用餐消费每增加100元，小费支出平均增加1