2026高中【MST新思路思维扩展】(二轮复习) 上-小题篇

小题篇关于小题，在近年得高考题当中，通常以隐藏二级结论与圆锥曲线的基本模型结合，平常学习中一定要加强二级结论的归纳总结，本章将剖析近年高考和最新模拟题，让读者们对新高考的命题环境和破局方向有一个新的思考。考点一.圆锥曲线之间交点一．双曲线+圆1.焦点到渐近线距离构造特征三角形双曲线的焦点到渐近线的距离为定值b，如左图所示，由于渐近线OP的斜率为，又，，显然PF2的长度是定值b．如右图所示，过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为P，那么，点P在渐近线上，也在左准线上，即点．【例1】（2018•新课标Ⅲ）设，是双曲线的左，右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的离心率为（）A． B．C． D．【例2】（2023•天津）双曲线的左、右焦点分别为，．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为A． B． C． D．【例3】（2022•乙卷）双曲线的两个焦点为，，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与交于，两点，且，则的离心率为A． B． C． D．2.焦点到渐近线距离隐藏的相似三角形构造①如左图所示，当离心率时，过焦点作渐近线垂线，则不会形成直角三角形；②如右图所示，当离心率时，过焦点作渐近线垂线，会交于第二象限点，令，则双曲线离心率为；证明：作于，易知，，，则，可知：，根据勾股定理，即，故，所以．③如图所示，当离心率时，过焦点作渐近线垂线，会交于第四象限点，令，则双曲线离心率为；证明：作于，易知，，，则，可知：，根据勾股定理，即，故，所以．总结：一切源于直角三角形相似，需要作辅助线构造，其实结论很好理解记忆，就是与比大小，大于就是，小于就是．【例4】（2026届南昌9月开学考•T13）如图，双曲线C：的右焦点为F，过点F作渐近线的垂线l，垂足为A，且l与另一条渐近线、y轴分别交于B，C，若，则双曲线的离心率为______．【例5】（2026届重庆巴蜀开学•T8）已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过点的直线与双曲线的一条渐近线交于点，与其左支交于点，且点与点不在同一象限，直线与直线为坐标原点）的交点在双曲线上，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.33.隐藏小圆与焦长结合A、B是双曲线左支上两点，是左焦点，为，过，c是双曲线半焦距，如左图，则=1\*GB3①；=2\*GB3②；由于，如右图所示，，;A是双曲线左支上一点，B是双曲线右支上一点，是左焦点，为，过，c是双曲线半焦距，如图，由于交两支时，有，平方得：，即，故=1\*GB3①；=2\*GB3②；（根据长减短加判断符号）由于，如右图所示，，;【例6】（2026届杭州高级中学9月考•T14）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与圆相切且分别交双曲线的左、右两支于A、B两点，若|AB|=|BF2|，则双曲线的渐近线方程为______．4.大圆与渐近线交点构造坐标特征三角形这里通常是双曲线的坐标特征三角形，需要借助辅助大圆.如图，以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内的交点坐标为．不过，很多时候，题目会以“点P在渐近线上，且”的形式给出条件．证明渐近线的方程为，设，则，即，即【例7】（2025新课标Ⅱ卷•T11）对于双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0，左、右焦点为F1、F2，左、右顶点为A1A.∠A1MA2=πC.C的离心率为13D.当a=2时，四边形NA二．抛物线+圆如图，抛物线的焦点为，过的直线与交于、，过、分别向准线作垂线，垂足为、。①以为直径的圆与准线相切;②记中点为，过作垂直准线于，则，、分别平分、，，；证明：①由于，所以，以M为圆心，MN为半径的圆与准线CD相切；②，易证，所以，，所以.【例8】（2025新课标I卷•T10）设抛物线C:y2=6x的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于AB的直线交l:x=−32于EA.AD=AFB.AE=AB【例9】（2026届襄阳四中高三测试•T10）已知抛物线，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，过分别作的垂线，垂足分别为，则（）A.B.若，则直线的斜率为C.三点共线（其中为坐标原点）D.【例10】（湖北部分学校2026届高三九月测试•T11）如图，过点的直线交抛物线于A，B两点，连接、，并延长，分别交直线于M，N两点，则下列结论中一定成立的有（）A. B.以为直径的圆与直线相切C. D.三．椭圆（或双曲线）+抛物线双曲线焦半径设为双曲线上的一点，①

焦点在轴：在左支，在右支；②焦点在轴：在下支，在上支．焦半径公式和焦长焦比都是解挖掘圆锥曲线几何性质的常见招数，那么什么时候用焦长焦比，什么时候用焦半径呢？如今的圆锥曲线体系，方法众多，什么时候选择用什么成为了重中之重，焦长焦比强调共线，强调角度和比值，而焦半径强调和积，不注重共线，强调点的坐标，当然很多时候，尤其在高考题当中，焦长焦比与焦半径是相通的，我们从以下例题中找寻答案.【例11】（2025天津卷•T9）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（

）A．2 B．5 C． D．【例12】（2021•上海）已知椭圆的左、右焦点为、，以为顶点，为焦点作抛物线交椭圆于，且，则抛物线的准线方程是．【例13】（2025•高三专题练习）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，设为抛物线与椭圆的两个交点，且抛物线在点的切线过椭圆的左焦点，则椭圆的离心率为．【例14】（2025•多选•山东滨州二模）已知是双曲线的左、右焦点、抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合．且是双曲线与抛物线的一个公共点．若是等腰三角形，则双曲线的离心率为（

） B． C． D．四．椭圆+双曲线共焦点如图，椭圆和双曲线共焦点，设，则一定有=1\*GB3①，；证明：因为，所以；=2\*GB3②当时，一定有．证明：，．【例15】（2014•湖北卷）已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最大值为．【例16】（2026届杭州学军中学高三开学考•T7）已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，且它们在第二象限的公共点为点，点与右焦点的连线交轴与点，且平分，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【例17】(福建厦门外国语学校2026届高三9月月考•T14)已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是__________．【例18】（2025•江西南昌模拟•T8）如图，已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，、、、是它们的公共点，且都在圆上，直线与轴交于点，直线与双曲线交于点，记直线、的斜率分别为、，若椭圆的离心率为，则的值为A．2 B． C． D．4考点二.圆锥曲线焦长公式与焦比定理应用椭圆的焦比定理A是椭圆上一点，、是左、右焦点，为，过，c是椭圆半焦距，如图，则=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③．焦比定理：过椭圆的左焦点F1的弦，令，=4\*GB3④，代入焦长公式=1\*GB3①可得，=5\*GB3⑤．这样组合=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④=5\*GB3⑤，焦点弦问题才能形成闭环.2.双曲线焦比定理之交一支类型A、B是双曲线左支上两点，是左焦点，为，过，c是双曲线半焦距，如图，则=1\*GB3①；=2\*GB3②；（根据长减短加判断符号）=3\*GB3③．令，即=4\*GB3④（如果，有），代入弦长公式可得，=5\*GB3⑤（与椭圆一致）．3.双曲线焦比定理之交两支类型A是双曲线左支上一点，B是双曲线右支上一点，是左焦点，为，过，c是双曲线半焦距，如图，由于交两支时，有，平方得：，即，故=1\*GB3①；=2\*GB3②；（根据长减短加判断符号）=3\*GB3③．令，即=4\*GB3④代入弦长公式可得，=5\*GB3⑤．4.抛物线焦点弦：；特殊地，当时，为通径．证明：如图，作轴于，，同理．．一．常规的焦长焦比速算【例19】（重庆市巴蜀中学2026届高三9月月考•T13)已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，且，则直线的斜率为_____.【例20】（2026届浙南名校联盟十月联考•T10）过抛物线的焦点的直线交于两点，其中是的中点，点到轴的最短距离为，为坐标原点，则下列命题正确的是（）A.若直线的方程为，则BC.点的轨迹方程是D.【例21】（2022•新高考1）已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，离心率为，过且垂直于的直线与交于点，两点，，则的周长是．【例22】（2026届高三长沙雅礼中学月考•T7）如图所示，曲线是由半椭圆，半圆和半圆组成，过的左焦点作直线与曲线仅交于两点，过的右焦点作直线与曲线仅交于两点，且，则的最小值为（）A.3 B.4 C.5 D.6【例23】（2026届江西多校联考•T11）已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，下列结论正确的是（）A.若，则的离心率为B.若，则的离心率为C.若，则的离心率为D.若，则的离心率为二．的策略1.计算比值型如左图所示，椭圆若，且，，我们可以借助公式可得来求出和的关系，由于，从而求出离心率．如右图所示，若，过原点，且，通过补全矩形，可得，，借助公式可得来求出和的关系，从而求出离心率．注意：若直线交双曲线两支于、两点，，则，时，【例24】（2026届长沙市一中10月高三月考•T7)已知与分别是椭圆的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.【例25】（2026届浙江Z20+名校联盟联考•T14）已知双曲线的左右焦点分别为，过作直线交双曲线的右半支于两点，满足，且面积是面积的两倍，则双曲线的离心率为___________．【例26】（2024•浙江一模）已知F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左右焦点，过F2的一条直线与C交于A，BA．42 B．3+22 C．6 D．4+2【例27】（武汉市2026届高三九月调研•T8）设椭圆E：的左右焦点分别为，，椭圆E上点P满足，直线和直线分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为（）A. B. C. D.【例28】（云南师大附中2026届高三月考三•T7）已知分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上存在点，满足，且点到直线的距离为．则该椭圆的离心率为（）A.B.C.D.【例29】（2025•江西模拟•T8）如图，椭圆的左、右焦点分别为，，两平行直线，分别过，交于，，，四点，且，，则的离心率为A． B． C． D．考点三.双曲线渐近线的退化二次曲线属性一．渐近线隐藏的面积和向量积定值①双曲线上的任意点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数（左图）；证明：设是双曲线上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是和，点到两条渐近线的距离分别是，乘积②过双曲线上的任意点作双曲线的两条渐近线的平行线，分别交渐近线于，两点，则是一个常数，，（右图）；证明：如右图，过点作于点，于点，，其中，则，；；【例30】（昆明市一中2026届高三年级第二次联考•T11)设双曲线的左、右焦点分别为，点P在第一象限并且在双曲线的渐近线上，且满足，过P作y轴的垂线，垂足为Q，若四边形为平行四边形，则下列选项中正确的是（）A.C离心率为B.四边形的面积为C.D.点Q到双曲线的两条渐近线的距离之积为二．渐近切线三角形面积与向量积问题定理：过双曲线上一点，作双曲线的切线交两渐近线于、两点，则称△AOB为双曲线的切线渐近三角形，双曲线的切线渐近三角形有如下性质：(1)

点P处的切线方程为，即．(2)

点P是线段AB的中点，即．(3)

①渐近三角形的面积为定值，即；②，；证明：（1）和（2）都可以按照中点弦的极限原理理解，比较好记忆，关于（3）我们仅仅需要过P作两渐近线的平行线交于C、D两点，易知，同理，；【例31】（石家庄一中2026届高三摸底•T10）已知双曲线的左，右焦点分别为，，左、右顶点分别为，．为双曲线在第一象限上的点，设，的斜率分别为，，且．过点作双曲线的切线与双曲线的渐近线交于，两点，则（）A.的值随着的增大而减小 B.双曲线的离心率为C. D.【例32】（2026届高三国庆第九届“圆梦杯”T13）已知双曲线的左、右顶点分别为，点在上，且，则到轴的距离为________三．渐近线退化二次曲线联立定理：如左图，作双曲线割线CD并交渐近线于，两点，则.我们也给出以下推论：若M是CD中点，则一定也是AB中点，反之亦然;证明：法一：设直线为，代入双曲线方程得：代入双曲线渐近线的退化二次曲线方程得：，所以AB中点坐标和CD中点坐标重合，所以,.法二：设,AB与双曲线交于和，，，先进行双曲线中点等差法，，两式相减可得：，，再进行渐近线退化二次曲线点差，，两式相减可得：，所以，，所以,.【例33】（2025•浙江期中）已知双曲线，斜率为的直线与曲线的两条渐近线分别交于，两点，点的坐标为，直线，分别与渐近线交于，，若直线的斜率也为，则双曲线的离心率为．【例34】（2022•新高考=2\*ROMANII卷）设双曲线,右焦点为,渐近线方程为，求的方程（2）过的直线与的两条渐近线分别交于，两点，点，在上，且，，过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点.请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个条件成立：①在上；②；③.考点四.椭圆双曲线焦点三角形与光学性质综合隐藏一．双曲线焦点三角形内心与旁心1.双曲线内心轨迹横坐标为已知双曲线，则焦点三角形的内心I的轨迹是：，和实轴的两个顶点相切．证明:如上左图所示，以点P在右支上为例，设内切圆I和焦点三角形的三边分别切于点D、E、G，则又，故，所以，点D恰好和双曲线的右端点A重合，圆心I在直线上．2.双曲线焦点三角形旁心与离心率I是的旁心，、分别是、的角平分线．如图则：，．证明：（外角平分线定理＋比例性质）：，【例35】（河北省2025届高考冲刺模拟考试•T8）已知双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，射线是的外角平分线，其与轴的交点为点的角平分线与直线交于点，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【例36】（2024•成都青羊区模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为左支上一点，的内切圆圆心为，直线与轴交于点，若双曲线的离心率为，则．3.双曲线焦点三角形与双切圆如图所示，为焦点三角形的内心，为焦点三角形的内心，倾斜角为，令，，则一定有=1\*GB3①；=2\*GB3②；③证明：由于轴，作于，于，交于，易知，，，所以.根据内心定理，、分别为和的平分线，所以，根据射影定理，，，.【例37】（黄石市2026届高三9月起点考试•T14）已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，直线与C的右支交于A，B两点，P，Q分别为，的内心，若，则C的离心率为__________.【例38】（2025•山东师大附中5月份模拟•T10）已知双曲线的左右焦点分别为、，过其右焦点的直线与它的右支交于、两点，与轴相交于点，△的内切圆与边相切于点，设，则下列说法正确的是A．若，则 B．记，则△的面积 C．若，过点且斜率为的直线与有2个交点，则 D．若，则△的内切圆与△的内切圆的面积之和的最小值为【例39】（2025广东省中学生数学奥林匹克竞赛一试•T12）已知双曲线,其左、右焦点分别为、,过的直线与双曲线右支交于、两点,、分别为和的内心,设直线、分别与轴交于、.(1)求四边形面积的取值范围；(2)求的取值范围.二．椭圆焦点三角形内心与旁心1.椭圆旁心轨迹横坐标为如图所示，焦点三角形的旁切圆J和的延长线、、的延长线分别切于点A(长轴顶点)、D、E，旁心J的轨迹为：．证明：，，又，故，，又，故，点A恰好和椭圆的长轴端点重合．2.椭圆焦点三角形内心与离心率如图，为内切圆的圆心，和相交于点(区分切点)，则，．证明：利用角平分线定理＋比例性质：，【例40】（24-25·高三上安徽蚌埠期末•T14）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，点是与的交点．记椭圆在点P处的切线为直线m，双曲线在点P处的切线为直线n，的平分线与m，n分别相交于点M，N，则．三．椭圆双曲线共焦点三角形内心与旁心【例41】(2023届哈哈尔滨三中高三一模•T16）如图，椭圆与双曲线有公共焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为两曲线的一个公共点，,则；I为的内心，三点共线，且，x轴上点A、B满足，，则的最小值为.【例42】（25河北沧州高三上期末•T11）椭圆与双曲线有共同的左焦点和右焦点，与离心率分别为，，它们在第一象限的交点为P（O为坐标原点），圆是的内切圆，过点P且与直线垂直的直线与交于，则（

）A.当时，B．当时，C．D．过右焦点分别作直线，的垂线，垂足分别为M，N，则考点五.圆锥曲线新定义与其它板块综合一．截口曲线离心率与截面角之间的关系在空间中,已知圆锥是由围绕旋转得到的,我们把称为轴,轴与母线所成角为.用平面截圆锥,得到的截口曲线取决于平面与圆锥轴所成的线面角(显然,当与平行时,),具体关系如下:(1)若,平面截圆锥面所得截口曲线为椭圆;(2)若,平面截圆锥面所得截口曲线为抛物线:（3）若平面截圆锥面所得截口曲线为双曲线.这个比值就是圆锥曲线的离心率,离心率是一个比.证明:作图如上,不妨考虑截面为椭圆的情况，记椭圆的长轴为,短轴,椭圆中心为,长半轴长为,短半轴长为,作以为直径且垂直于轴的圆截面,则在截面圆中,由相交弦定理可得作圆锥的轴截面等腰三角形如图：在中，由正弦定理可得，同理，在中,由正弦定理可得，整理可得，所以离心率，综上，离心率的表达式为.【例43】（2026届江西高三九月调研•T11）如图，已知圆锥的轴与母线所成的角为，过的平面与圆锥的轴所成的角为，该平面截这个圆锥所得的截面为椭圆，椭圆的长轴为,短轴为,长半轴长为，短半轴长为，椭圆的中心为,再以为弦且垂直于的圆截面，记该圆与直线交于，与直线交于，则下列说法正确的是（）A.当时，平面截这个圆锥所得的截面也为椭圆B.C.平面截这个圆锥所得椭圆的离心率D.平面截这个圆锥所得椭圆的离心率二．坐标旋转转化斜椭圆反比例函数1.向量旋转公式与图象转化：已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点.逆时针旋转45°：，通常将等轴双曲线转化为反比例函数，将斜椭圆旋转为直椭圆。【例44】（2026届杭州高级中学9月考•T11）已知曲线C的方程为，下列说法正确的有（）A.曲线C关于直线对称B.，C.曲线C被直线截得的弦长为D.曲线C上任意两点距离的最大值为【例45】（2025上海卷第15题）已知，C在上，则