2026高中【MST新思路思维扩展】(二轮复习) 上-三角函数篇

三角函数篇25新一卷的压轴题是三角函数与导数综合分析题，用求导，三角函数基本定义解决，或者通过探路，根据题目给的提示解决。如此给了当下新高考的复习备考建议，就是一定要解读一个知识点到达一定的理解深度和强度，在理解一些相应的模型和二级结论以后，就必须深入理解一些变式。知识点之间的连贯和串联也是我们必须要去思考的，本章节通过对25高考和26届一些最新的模考题进行分类分析，解读一些新高考的新模型。考点一.三角函数图像性质一．图像平移与求单调区间值域问题【例1】（2025•新高考Ⅱ）已知，且．（1）求的值；（2）设，求的值域和单调区间．【例2】（2025•北京）设函数，若恒成立，且在，上存在零点，则的最小值为A．8 B．6 C．4 D．3【例2】（2026届辽宁东北育才中学十月质检T10）已知函数其中若，，则下列结论正确的是（）A．B．的图象关于直线对称C．过点的直线与的图象一定有公共点D．在上单调递减【例3】（2026届福建全国名校联盟高三开学考T10）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则下列结论正确的是（

）的最小正周期为B．C．在区间上单调递减D．的图象关于点对称【例4】（2026四川成都石室中学10月月考T10）将函数的图象水平平移，得到函数的图象，若的导函数，则下列平移能满足题意的是（

）A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【例5】（2026届广东汕头阶段练习T14）若对任何实数，恒成立，则的最大值为.二．范围问题之定位卡根当中，都会给一个条件，就是，所以，当时，图像如左下，当时，图像如右下：我们通过图形可以知道，无论为任意正数，则正弦函数的靠近零点的第一个递增区间最小值和最大值均在第三和第一象限，卡根就从这个周期的五点开始操作，以此类推，我们称之为定位卡根法．如果卡根区间没有过零点，那么在卡根区间进行周期卡根，就看最多或者最少能放进去几个周期，当然，前提就是要先卡形式，即关于的表达式(为正整数)．定理：轴心距，也可以转化为【例6】（2025•天津），，在，上单调递增，且为它的一条对称轴，，是它的一个对称中心，当，时，的最小值为A． B． C．1 D．0【例7】（25-26高三上·重庆一中九月月考T7）已知将向左平移个单位得到函数的图象，若函数在区间上恰有4个零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【例8】（25-26高三上·湖南名校联合体第一次联考T14）已知函数仅存在一个极值点和两个零点在区间内，则实数的取值范围为.【例9】（2026河北邢台高三月考（一）T14）设函数，若在上单调递增，则的取值范围是．【例10】（2026届重庆八中9月月考T8）已知函数，对于任意的，，都恒成立，且函数在上单调递增.则的值为（

）A．3 B．9 C．3或9 D．三．三角函数切线与直线交点数形几何问题【例11】（2025•上海）已知，不等式在中的整数解有个．关于的个数，以下不可能的是A．0 B．338 C．674 D．1012【例12】（2026届湖北楚天协作期高三10月月考T10）已知将函数的图象向左平移得函数的图象，则下列说法正确的是（

）A．的最小正周期为B．C．的对称轴为D．若函数，则在上有6个零点【例13】（2026届河北保定高三10月月考T10）已知函数在处取得极值，则（

）A．B．C．的图象关于点对称D．关于的方程有且只有一个解【例14】（2026届广东深圳外国语高三月考（二）T14）已知函数的部分图象如图所示，O为坐标原点，B，C为图象与坐标轴的交点，D为图象上的点且满足，，，则.【例15】（2026福建厦门实验中学高三十月月考T8）已知函数的定义域为，且，直线与曲线交于两点，则（）A．为奇函数 B．的定义域和值域相同C． D．的最大值为2考点二.三角恒等变形【例16】（2025•新高考Ⅱ）已知，，则A． B． C． D．【例17】（2026黑龙江哈三中高三期中·T6）若，，，则（

）A． B． C． D．【例18】（2026届山东聊城百师联盟十月高三调研T11）已知函数，则下列结论正确的有（

）A．若函数在区间的取值范围为，则的最小值是B．若，则C．若，则D．若函数在上单调递减，在上有且只有一个零点，则的取值范围是【例19】（2026届河南新未来十月联考T7）已知，，，，，则（

）A． B．C． D．或【例20】（2026届·广西第二次摸底T11）定义：为一组数据相对于常数的“正弦方差”．若，一组数据0，相对于的“正弦方差”为，则的取值可能是（

）．A． B． C． D．【例21】（2026届广西柳州开学考试T18）将函数图象上各点向右平移个单位长度后得到函数的图象．(1)求曲线的对称轴方程；(2)若在上单调递减，在上单调递增，求的取值范围；(3)若关于的方程在上的三个根分别为，求。考点三.三角不等式与三角最值一．三角不等式与数形结合【例22】（2026届安徽名校10月阶段检测T10）已知函数，，有两个零点，，则下列结论正确的是（

）A．当时， B．若，则C．若，则 D．若，则【例23】（2026山东10月高三大联考T8）已知，函数的图象在点处的切线均经过坐标原点O，则（

）A． B．C． D．

【例24】（2026届山东日照一中第一次阶段性考试T10）已知，若对任意的，不等式恒成立，则（

）A．当时，，命题成立B．当时，，命题成立C．D．使得命题成立的有序实数对恰有3组二.单位圆探路分析2025全国Ⅰ卷高考压轴题最佳方案就是利用单位圆来分析，事半功倍。在常见的最大值的最小值问题中，常采用一种直线逼近思路解题，当然这种思想也三角函数的单位圆中也比较常见：例如求，c为偶数时的最大值的最小值问题，由周期性，我们分析每隔2c图像重叠个点如图，我们发现左图最大值始终大于右图2c个点均匀分布最大值所以最大值取最小值必然得保证第一象限最后一个点与第二象限第一个点函数值相等的特殊条件【例25】（2025深圳中学考前模拟T14）已知若存在，使得对于，都有，则的最小值为【例26】（2026届江苏南通海门第一次调研T14）若对于，总，使得，则实数的最小值为.【例27】（25·南宁一中高三开学考T11）已知函数的部分图象如图所示，则（

）A．的最小正周期为B．当时，的最小值为C．函数在点处的切线方程为D．在区间上的最大、最小值分别记为，则的最大值为【例28】（2025·黑龙江大庆一模T11）已知函数，则下列结论中正确的是（

）A．的最小正周期为B．若，则的最小值为C．若，关于的方程在区间上最多有4个不相等的实数解D．当时，设在区间上的最大值为，最小值为，若，则的最小值为三．和差积换元法与二次函数构造【例29】（2026届宁夏银川阶段练习T8）已知函数，则下列命题正确的是（

）A．是以为周期的函数B．直线是曲线的一条对称轴C．函数的最大值为，最小值为D．函数在上恰有个零点【例30】（2026广西南宁期中T10）已知函数，则（

）A．是偶函数B．的图象关于点中心对称C．在上单调D．的最大值是【例31】（2026届绵阳市一诊T11）已知函数，，且，则（

）A．函数的一个周期为B．函数在上单调递减C．曲线关于对称D．函数与函数的最大值相等【例32】（2026届江苏丹阳市高三10月质量检测T11）已知函数（），则下列说法正确的是（

）A．当时，函数在上的最大值为B．当时，函数的最小正周期为C．当，时，猜想函数的值域为D．对任意的正整数，函数的图象都关于直线对称【例33】（2026届辽宁东北育才学校十月月考T18）已知.(1)若，，求；(2)设，，证明：；(3)在（2）的条件下，若，证明数列为等比数列并求的通项公式.考点四.利用导数分析三角函数一．三角综合函数的极值点与零点【例34】（2026届淮阴中学高三阶段性T10）若函数最小正周期为，则（

）A．的图象关于直线对称B．的图象向右平移个单位后是奇函数C．将的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到的图象D．函数在上有唯一的极值点【例35】（2026届广东大湾区一模T10）如图，直线AB与半径为1的圆C相切于D点，射线DB绕着D点逆时针方向旋转到DA，在旋转过程中射线DB交圆C于E点，设，，射线DB扫过圆C内部（阴影部分）的面积为，则（

）A． B．，当C．直线为的对称轴 D．在瞬时变化率最大二．声波函数【例36】（2026广东深圳外国语开学考T19）数学与音乐有着紧密的关联，每一个音都是由纯音合成，纯音的数学模型是函数．我们平时听到的音乐不只是一个音在响，而是许多个纯音的结合，称为复合音．复合音的产生是由于发音体不仅全段在振动，它的各部分如二分之一、三分之一、四分之一等也同时在振动．已知刻画某声音的函数为．(1