2026高中【MST新思路思维扩展】(二轮复习) 上-板块六 达标训练2

板块六达标训练21.（2025•成都外国语）已知椭圆的左、右焦点分别为、，设是第一象限内椭圆上一点，、的延长线分别交椭圆于点、，直线与交于点．（1）当垂直于轴时，求直线的方程；（2）记△与△的面积分别为、，求的最大值．2.（2024•浙江杭州师大附中高考适应卷T18）动圆与圆和圆都内切，记动圆圆心的轨迹为．（1）求的方程；（2）已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点，处的切线方程为：．试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点不在轴上），过点作的两条切线，，切点分别为，．证明：；点关于轴的对称点为，直线交轴于点，直线交曲线于，两点．记△，△的面积分别为，，求的取值范围．3.（2023•温州模拟）已知点，分别是双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线右支于，两点，点在第一象限．（1）求点横坐标的取值范围；（2）线段交圆于点，记△，△，的面积分别为，，，求的最小值．4.（2024•合肥模拟）已知双曲线过点，（其中，且双曲线上的点到其两条渐近线的距离之积为．（1）求双曲线的标准方程；（2）记为坐标原点，双曲线的左、右顶点分别为，，为双曲线上一动点（异于顶点），为线段的中点，为直线上一点，且，过点作于点，求面积的最大值．5.（2025·黑龙江哈三中·二模T19）椭圆与圆和圆都外切．(1)求椭圆E的方程；(2)设A，B分别为椭圆E的左右顶点，F为椭圆的右焦点，K为椭圆E上动点（异于A，B），直线与椭圆E交于另一点H．若直线与交于点P，求证：点P在定直线l上；(3)在（2）的条件下，设直线与直线l交于Q点，椭圆E在点K处的切线与l交于R，①求证：．②求面积取最小值时K点的横坐标．6.（2025·江西鹰潭·二模T18）在平面直角坐标系中，已知是椭圆的左右焦点，以为直径的圆和椭圆在第一象限的交点为，若三角形的面积为1，其内切圆的半径为．(1)求椭圆的标准方程；(2)若点是椭圆的上顶点，过点的直线与椭圆交于两点，其中点在第一象限，点在轴下方且不在轴上，设直线，的斜率分别为（ⅰ）若，求出的值；（ⅱ）设直线与轴交于点，求的面积S的最大值．7.（广东省深圳市2023高二下学期期末）已知双曲线的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为1.(1)求的方程；(2)设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与圆分别交于两点，记四边形的面积为，的面积为，求的取值范围.8.（2025•杭州高二期中第19题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，设，是第一象限内椭圆上的一点，、的延长线分别交椭圆于点，，连接，，，若△的周长为．（1）求椭圆的方程；（2）当轴，求△的面积；（3）若分别记，的斜率分别为，，求的最大值．9.（2025•临沂一模T18）已知椭圆的离心率为是的左、右焦点，且，直线过点与交于，两点．（1）求的方程；（2）若，求的方程；（3）若直线过点与交于，两点，且，的斜率乘积为分别是线段，的中点，求△面积的最大值．10.（2025上海长宁区期中考试20题）已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求的方程；（2）直线交于，两点．点关于原点的对称点为，直线的斜率为，证明：为定值；若上存在点使得在上的投影向量相等，且△的重心在轴上，求直线的方程．11.（2024•保定一模）已知椭圆，过右焦点作不与轴垂直的直线交椭圆于，两点，的中垂线交轴于点，交直线于点，直线与轴交于点．（1）求证：在轴上存在点使得为定值；（2）试探究，，，四点是否共圆，请说明理由．12.（2024•九省联考T18）已知椭圆，过右焦点的直线交于，两点，过点与垂直的直线交于，两点，其中，在轴上方，，分别为，的中点．当轴时，，椭圆的离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）证明：直线过定点，并求定点坐标；（3）设为直线与直线的交点，求面积的最小值．13.（长沙市一中2026届10月高三月考试卷•T19）已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为.（1）求的方程；（2）设点在的右支上，过点作圆的两条切线，一条与的左支交于点，另一条与的右支交于点（异于点）.（ⅰ）证明：；（ⅱ）当的面积最小时，求直线和直线的方程.14.（2025•成都零诊）已知抛物线的焦点为,过的直线与抛物线相交于两点.（1）当直线的倾斜角为时,直线被圆所截得的弦长为,求的值;（2）若点在轴上,且是以为直角顶点的等腰直角三角形,求直线的斜率.15.（2025年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模18题）点为直线上的动点，为坐标原点，过点作直线垂直于轴，过点作直线的垂线交直线于点．（1）求点的轨迹方程；（2）记点轨迹为曲线，上一定点，过作两不同直线分别交于，两点，①直线、的斜率满足，且直线过点，求定点坐标；②若点，且直线、的斜率满足，设△的外接圆为圆，过点作曲线的切线，判断直线与圆位置关系，并说明理由．16.（20