2026步步高高考大二轮复习数学-专题突破　专题一　第2讲　三角函数的图象与性质

第2讲三角函数的图象与性质1.(2025·全国Ⅰ卷，T4)已知点(a，0)(a>0)是函数y=2tanx-π3的图象的一个对称中心，则a的最小值为A.π6 B.π3 C.π2 2.(2025·天津，T8)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，-π<φ<π)，在-5π12，π12上单调递增，且x=π12为它的一条对称轴，π3，0是它的一个对称中心，当x∈0A.-32 B.-12 C.1 D3.(多选)(2024·新课标Ⅱ卷，T9)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x-π4A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴4.(2023·新课标Ⅰ卷，T15)已知函数f(x)=cosωx-1(ω>0)在区间[0，2π]上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是.

5.(2023·新课标Ⅱ卷，T16)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，如图，A，B是直线y=12与曲线y=f(x)的两个交点，若|AB|=π6，则f(π)=命题热度：本讲是历年高考命题必考的内容，属于中档题，主要题型为选择题或填空题，分值约为5~6分.考查方向：一是考查三角函数图象变换，考查根据给出的两个三角函数确定变换的方法以及根据给出的变换方法确定参数值的问题；二是考查三角函数的图象，考查根据给出的三角函数图象确定函数解析式中的参数，根据给出的情境确定三角函数图象等问题；三是考查三角函数的性质，考查根据三角函数解析式研究三角函数的单调性、对称性、周期性等性质.1.答案B解析y=2tanx-π3的对称中心的横坐标满足x-π3=kπ2，k∈Z，即x=π3所以y=2tanx-π3的图象的对称中心是π3+即a=π3+kπ2，k又a>0，则当k=0时，a最小，最小值是π32.答案A解析设f(x)的最小正周期为T，根据题意有πω12+φ=π由正弦函数的对称性可知π3-π12=(2n+1)T4(n∈即π4=2nπ+π2ω，∴ω=4n+2(又f(x)在-5π12，π12上单调递增，则T2≥π12--5π12=π2，∴ω=2，则φ=π3+2kπ∵φ∈(-π，π)，∴当k=0，m=1时，φ=π3∴f(x)=sin2x又当x∈0，π2时，2x+π由正弦函数的单调性可知当2x+π3=4π3，即x=π2时，f(x)min=sin4π3.答案BC解析A选项，令f(x)=sin2x=0，解得x=kπ2，k∈Z，即为f(x令g(x)=sin2x-解得x=kπ2+π8，k∈Z，即为g(显然f(x)，g(x)零点不同，A选项错误；B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f(x)，g(x)的最小正周期均为2π2=π，CD选项，根据正弦函数的性质，f(x)的对称轴满足2x=kπ+π2，k∈Z解得x=kπ2+π4，kg(x)的对称轴满足2x-π4=kπ+π2，k∈解得x=kπ2+3π8，k显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，D选项错误.4.答案[2，3)解析因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ，令f(x)=cosωx-1=0，则cosωx=1有3个根，令t=ωx，则cost=1有3个根，其中t∈[0，2ωπ]，结合余弦函数y=cost的图象性质可得4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3.5.答案-3解析设Ax1，12由|AB|=π6可得x2-x1=π由sinx=12x=π6+2kπ，k∈Z或x=5π6+2kπ，k∈由图可知，ωx2+φ-(ωx1+φ)=5π6-π6=即ω(x2-x1)=2π3，所以ω=4因为f2π3=sin8π3所以8π3+φ=kπ，k∈Z即φ=-8π3+kπ，k∈Z所以f(x)=sin4x-8π3+所以f(x)=sin4x-2π3或=-sin4x又因为f(0)<0，所以f(x)=sin4x所以f(π)=sin4π-2π3=-考点一三角函数的图象变换例1(1)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且过点-π3，0，若将f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的12，横坐标不变，再向左平移π3个单位长度得到gA.sin2x+C.sin2x+答案C解析因为函数f(x)的最小正周期为π，ω>0，所以T=2πω=π则ω=2，故f(x)=2sin(2x+φ)，又函数f(x)过点-π3，0，故f

-即-2π3+φ=kπ，k∈Z，解得φ=kπ+2π3，k∈由|φ|<π2得φ=-π3，故f(x)=2sin将f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的12，横坐标不变，得到y=sin2再向左平移π3个单位长度得到g(x)=sin2x+π(2)(2025·湖州模拟)已知函数f(x)=acosωx(a≠0，ω>0)，将函数y=f(x)的图象向左平移π6ω个单位长度后得到函数y=g(x)的图象，若关于x的方程g(x)=0在0，7π12上有且仅有两个不相等的实数根，则实数A.107，C.107，答案B解析由题意得g(x)=acosωx+π6ω=若x∈0，7π12，则ωx+π∵g(x)=0在0，∴3π2≤7π12ω+π6解得167≤ω<4即实数ω的取值范围是167[规律方法]三角函数图象平移问题的处理策略(1)看平移要求：确定由哪一个函数的图象平移得到哪一个函数的图象，这是判断移动方向的关键.(2)看左右移动方向：左“+”右“-”.(3)看移动单位：在函数y=Asin(ωx+φ)的图象中，周期变换和相位变换都是沿x轴方向进行的，所以ω和φ之间有一定的关系，要知道φ是初相，再经过ω的放缩，最后移动的单位长度是φω(注意先移后缩和先缩后移的区别)跟踪演练1(1)(2025·南京模拟)把函数y=cosx图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再将图象上所有的点向右平移π6个单位长度，得到函数y=f(x)的图象，则f(x)等于(A.cos2x-C.cos12x答案B解析把函数y=cosx图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)后得到y=cos2x的图象，再将图象上所有的点向右平移π6个单位长度后得到的函数图象的解析式为y=cos2x-(2)(2025·太原模拟)将函数f(x)=sin(2x+θ)-π2<θ<π2的图象先向左平移π6个单位长度，再向上平移1A.-π6 B.π6 C.-π答案C解析将函数f(x)=sin(2x+θ)的图象先向左平移π6个单位长度，再向上平移1g(x)=sin2x+π6当x=π4时，gπ4=sin2即sin5π6+则5π6+θ=π2+2kπ，其中k∈Z，解得θ=-π3+2kπ，k又-π2<θ<π2，所以θ=-考点二三角函数的图象与解析式例2(1)(2025·湖南省沅澧共同体模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，图象与x轴的一个交点为M52，0，与y轴的交点为N，最高点P(1，A)，且满足NM⊥NP.若将f(x)的图象向左平移1个单位长度得到的图象对应的函数为gA.10 B.0 C.102 D.-答案D解析由题意知，函数f(x)的最小正周期T满足T4=xM-xP=52-1=32，解得所以ω=2π6=π则f(x)=Asinπ3由f(x)的图象与x轴的一个交点为M52，0得π3×52+φ=kπ(则φ=-5π6+kπ(k∈Z)因为|φ|<π2，所以φ=π即f(x)=Asinπ3则f(0)=Asinπ6=A所以f(x)的图象与y轴的交点为N0，则NP=1，A2，NM因为NM⊥NP，所以NM·NP=52-A24=0，解得A=-10(舍去)或A所以f(x)=10sinπ3又将f(x)的图象向左平移1个单位长度得到的图象对应的函数为g(x)，则g(x)=10sinπ3x+π3+所以g(-2)=10cos-2π3=-(2)已知函数f(x)=Acos(ωx-φ)A>0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，将y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的32倍，再将所得函数图象向左平移π8个单位长度，得到函数y=g(A.g(x)=2cos9B.g(x)=2cos2C.g(x)=2sin2xD.g(x)=2cos2x答案D解析由图象可知A=2，π6+2π则f(x)图象的一个最低点为5π12f(x)的最小正周期T=2π3，则ω=2πTf

5π12=2cos3×即5π4-φ=π+2kπ(k∈Z)所以φ=π4-2kπ(k∈Z)又因为|φ|<π2，所以φ=π所以f(x)=2cos3x将y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的32倍，得到y=2cos2再将所得函数图象向左平移π8得到y=2cos2x+π8-故g(x)=2cos2x.[规律方法]由三角函数的图象求解析式y=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0)中参数的值(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M=A+B，m=-A+B，解得B=M+m2，A(2)T定ω：由周期公式T=2πω，可得ω=2π(3)特殊点定φ：代入特殊点求φ，一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势.跟踪演练2(1)(2025·北京海淀区模拟)已知函数y=3sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示.若A，B，C，D四点在同一个圆上，则ω等于()A.1 B.12 C.π D.答案D解析连接BC交x轴于点E，如图，由于A，B，C，D四点在同一个圆上，且A，D和B，C均关于点E对称，故E为圆心，故AE=BE，AE=12T=πω，BE=14故π2ω2+3=πω(2)如图所示，将函数f(x)=3sinωx(ω>0)的图象向右平移得到g(x)=3sin(ωx-φ)(0<φ<π)的图象，其中P和P1分别是f(x)图象上相邻的最高点和最低点，点B，A分别是f(x)，g(x)图象的一个对称中心，若AP⊥AP1，S△APP1=15，则g(x)答案g(x)=3sinπ解析将函数f(x)=3sinωx(ω>0)的图象向右平移φω个单位长度得g(x)=3sin(ωx-φ)(0<φ<π)由于B，A分别是f(x)，g(x)图象的一个对称中心，结合图象可知AB=φωS△APP1=12AB×3×2=15，故由于AP⊥AP1，所以BP1=BP=AB=5，设f(x)的最小正周期为T，则14T=BP2-32=4解得ω=π8，φ=5ω=5π故g(x)=3sinπ8考点三三角函数的性质例3(1)(多选)(2025·长沙模拟)已知函数f(x)=23sin2x+sin2x+2π3A.f(x)的最小正周期为2πB.f(x)的图象关于点π3C.f(x)在区间0，πD.若f(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后所得图象关于y轴对称，则φ的最小值为5π答案BCD解析因为f(x)=23sin2x+sin2x+2π3=23·1-cos2x2+sin2xcos2π=3-3cos2x-12sin2x+32cos2x=3=3-sin2x对于A选项，函数f(x)的最小正周期T=2π2=π，A对于B选项，因为f

π3=3-sinπ=3，故f(x)的图象关于点π3，对于C选项，当0<x<π2时，π3<2x+π3<4π3，则-32所以f(x)=3-sin2x+π故f(x)在区间0，π2上的值域为3对于D选项，若f(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后所得图象关于y轴对称，即函数y=3-sin2(x-φ)+π故π3-2φ=kπ+π2(k∈Z)，解得φ=-π12-kπ2(因为φ>0，故当k=-1时，φ取得最小值5π12，D正确(2)(2025·清远质检)已知函数f(x)=3sinπωx-cosπωx(ω>0)在[0，1]内恰有3个最值点和3个零点，则实数ω的取值范围是()A.103，C.73，答案D解析因为f(x)=3sinπωx-cosπωx=2sinπωx-π6(且当0≤x≤1时，-π6≤πωx-π6≤πω-因为函数f(x)在[0，1]内恰有3个最值点和3个零点，所以5π2≤πω-π6<3π，解得83≤ω[规律方法]研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+B的形式，然后结合正弦函数y=sinx的性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据y=sinx的性质求出f(x)的性质，然后判断各选项；另一种是由x的值或范围求得t=ωx+φ的范围，然后由y=sint的性质判断各选项.跟踪演练3(1)(2025·烟台模拟)已知函数f(x)=sinωx-π6(ω>0)在-π3，π6上单调递增，且其图象关于点πA.-32 B.-12 C.1答案C解析由函数f(x)=sinωx-π6(ω>0)在-π3，π解得0<ω≤2，由f(x)的图象关于点π3，0对称，得π3ω-π6=kπ解得ω=3k+12，k∈Z，于是k=0，ω=12，f(x)=sin所以f

2π3=sin12×2π3(2)(多选)(2025·石家庄模拟)已知函数f(x)=tan(ωx+φ)ω>0，-π2<φ<π2的图象经过点(0，-3)，g(x)=fA.f(2)=3B.f(x)的单调递增区间为-13+2k，C.f(x)的图象关于点k+23，0(D.f(x)=sin-π2x+4π3(0≤答案BC解析由已知得，f(x)的最小正周期为2，所以ω=π2因为函数f(x)=tan(ωx+φ)ω>0，-π2<φ<所以tanφ=-3，因为-π2<φ<π所以φ=-π3所以f(x)=tanπ2则f(2)=tan2π3=-3，所以A当且仅当-π2+kπ<π2x-π3<π2+kπ(k∈Z)时，f解得2k-13<x<2k+53(k∈Z所以f(x)的单调递增区间为-13+2k，53+2令π2x-π3=k·π2(k∈Z)，得x=k+23(k所以f(x)的图象关于点k+23，0(k∈因为f(x)=sin-π2x+4π3=sin-π2x+可得sinπx2-π3即sinπx2所以sinπx2-π3=0而当cosπx2sinπx2故只需sinπx2则πx2-π3=mπ(m∈Z)，解得x=2m+23(m因为0≤x≤5，故x∈23因此，f(x)=sin-π2x+4π3(0≤x≤5)专题强化练[分值：84分]一、单项选择题(每小题5分，共40分)1.(2025·汕头模拟)要得到函数y=sin2x的图象，只要将函数y=sin2x+π3A.向右平移π3B.向左平移π6C.向右平移π6D.向左平移π3答案C解析将函数y=sin2x+π3的图象向右平移π6个单位长度得到函数y=sin2x2.(2025·杭州模拟)“φ=-π4+kπ(k∈Z)”是“函数y=tan(x+φ)的图象关于点π4，0对称”A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析若函数y=tan(x+φ)的图象关于点π4，0对称，则π4+φ=kπ2解得φ=-π4+kπ2(k∈因为φφ=-π所以“φ=-π4+kπ(k∈Z)”是“函数y=tan(x+φ)的图象关于点π4，03.(2025·苏北七市调研)已知函数f(x)=3sin2x-2cos2x的图象关于直线x=x0对称，则tan2x0等于()A.33 B.-33 C.3答案D解析因为f(x)=3sin2x-2cos2x=3sin2x-cos2x-1=232sin2x-因为函数f(x)=3sin2x-2cos2x的图象关于直线x=x0对称，所以2x0-π6=kπ+π2，k∈所以2x0=kπ+2π3，k∈Z所以tan2x0=tankπ+2π3=tan2π3=-3，4.(2025·湖北省鄂东南联盟模拟)已知函数f(x)=sinωx-3π4的图象向左平移π12个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，则满足条件且|ω|最小的ωA.3 B.-3 C.15 D.2答案A解析由题设，函数y=sinωx+π所以ωπ12-3π4=π2+kπ，k∈Z，得ω=15+12k，要|ω|最小，取k=-1，得ω=3.5.(2025·漳州质检)已知f(x)=sin12x+π3，若f(x)在区间a，a+π6(A.π6，C.π4，答案B解析画出函数f(x)的部分图象如图所示，因为0<a<2π，所以π6<a+π6<13π6又因为f(x)在区间a，a+π6(所以0<a<π3，a+6.函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0，0<φ<π2的图象如图所示.已知A-53，-2，B13，2，将f(x)的图象向右平移2A.g(x)=2sinπB.g(x)=2sinπC.g(x)=-2sinπD.g(x)=-2sinπ答案D解析由题意可知f(x)的周期T满足T2=13--53=2即2πω=4，得ω=π所以f(x)=2sinπ2因为点B13，2是f(所以f

13=2sinπ6+φ=2，则π6+φ=π2+2kπ，k∈Z，即φ=π3+2kπ，k又0<φ<π2，所以φ=π所以f(x)=2sinπ2将f(x)的图象向右平移2个单位长度，得到函数g(x)=2sinπ=-2sinπ2x7.(2023·全国甲卷)函数y=f(x)的图象由函数y=cos2x+π6的图象向左平移π6个单位长度得到，则y=f(x)的图象与直线y=12xA.1 B.2 C.3 D.4答案C解析因为y=cos2x+π6的图象向左平移π6个单位长度所得图象对应的函数为y=cos2x+所以f(x)=-sin2x，而y=12x-12显然过0，-12与作出y=f(x)与y=12x-1考虑2x=-3π2，2x=3π2，2x=即x=-3π4，x=3π4，x=7π4处f(x)与y=12当x=-3π4时，f

-3π4=-siny=12×-3π4-12当x=3π4时，f

3π4=-sin3πy=12×3π4-12=当x=7π4时，f

7π4=-sin7πy=12×7π4-12=所以由图可知，f(x)的图象与直线y=12x-12的交点个数为8.已知函数f(x)=asinx+cosx，x∈π4，π3，若存在x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)，则实数aA.(-∞，1] B.[3，+∞)C.(1，3) D.[1，3]答案C解析若存在x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)，等价于函数f(x)在π4易知f'(x)=acosx-sinx，若函数f(x)在π4，π3上单调递增，则f'(x)≥即acosx-sinx≥0，所以a≥sinxcosx=tanx则a≥3；同理，若函数f(x)在π4，π3上单调递减，则f'(x)≤0在π4即若函数f(x)在π4，π3上不单调，则1<二、多项选择题(每小题6分，共18分)9.(2025·荆州质检)已知函数f(x)=sinx+π4+sinx-A.函数f

x-B.f(x)的最大值为2C.f(x)在区间-πD.曲线y=f(x)关于点kπ+π2，0答案AC解析f(x)=sinx+π4+sinx-π4=22(sinx+cosx)+22(sinx-cos对于A，设g(x)=fx-π2=2sinx-π2函数g(x)的定义域关于原点对称，由g(-x)=-2cos(-x)=-2cosx=g(x)，可得函数g(x)=f

x-π2对于B，由于y=sinx的最大值为1，因此f(x)max=2×1=2，故B错误；对于C，当x∈-π4，π4时，y=sinx单调递增，故f(x)=2sinx对于D，由于曲线y=sinx关于点(kπ，0)，k∈Z对称，因此曲线y=f(x)关于点(kπ，0)，k∈Z对称，故D错误.10.(2025·湖北八校协作体联考)已知函数f(x)=sin2x，若将f(x)的图象向右平移π12个单位长度后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是(A.g(x)=sinxB.g(x)的图象关于点π6C.g(x)的图象关于直线x=π3D.g(x)的图象与f(x)的图象在[0，2π]内有4个交点答案BD解析对于A，将f(x)的图象向右平移π12个单位长度后，可得fx-π12=sin2进而可得g(x)=sinx-π6对于B，gπ6=sinπ6-π对于C，gπ3=sinπ3-π6=12≠±1，故直线x=π3不是对于D，分别作出f(x)与g(x)在[0，2π]内的图象，可知有4个交点，故D正确.11.(2025·安徽A10联盟质检)由函数g(x)，h(x)相加后得到的函数，具有优美的图象和性质，称为“优生成函数”.已知g(x)=2sinx，h(x)=|sin2x|，其优生成函数记为f(x)，则()A.f(x)的图象关于直线x=-π2B.f(x)在区间3π2C.f(x)的值域为-2D.f(x)在区间[0，10π]上有11个零点答案ACD解析易知“优生成函数”为f(x)=2sinx+|sin2x|，因为f(-π-x)=2sin(-π-x)+|sin(-2π-2x)|=2sinx+|sin2x|=f(x)，所以f(x)的图象关于直线x=-π2对称，故A显然f(x+2π)=2sin(x+2π)+|sin(2x+4π)|=2sinx+|sin2x|=f(x)，所以2π是函数f(x)的一个周期，所以f(x)在区间3π2，2π上的单调性与在区间-π2，0上的单调性相同，设x∈-π2，0，则f求导得f'(x)=2cosx-2cos2x=-4cos2x+2cosx+2=-2(cosx-1)(2cosx+1)>0，故f(x)在区间-π2，0上单调递增，即f(x)在区间由f(x)的图象关于直线x=-π2对称及2π是函数f(x)只需考查x∈-π2，π2时因为f

-π2=-2+0=-2，f(0)f(x)在区间-π故当x∈-π2，0时，-2≤f(x当x∈0，π2时，f(x)=2sinx+sin求导得f'(x)=2cosx+2cos2x=2(2cosx-1)(cosx+1)，当0<x<π3时，f'(x)>0，当π3<x≤π2时，f'(x所以f(x)在区间0，π3故当x∈0，π2时，0<f(x)≤f

π综上，f(x)的值域为-2，33易知f(x)在区间[0，10π]上的零点分别为0，π，2π，…，9π，10π，共11个，故D正确.三、填空题(每小题5分，共15分)12.(2025·南京模拟)函数f(x)=cos2x-6cosx+1的值域为.

答案[-4，8]解析f(x)=cos2x-6cosx+1=2cos2x-6cosx，设t=cosx，则t∈[-1，1]，易知二次函数y=2t2-6t=2t-322-92在[-1，1]上单调递减，当t=-1当t=1时，ymin=-4，故函数f(x)的值域为[-4，8].13.(2025·安徽皖南八校模拟)已知函数f(x)=2sinωx与g(x)=2cosωx(ω>0)的图象上任意3个相邻的交点构成直角三角形，则ω=.

答案2解析如图所示，设函数f(x)=2sinωx(ω>0)与g(x)=2cosωx的交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，由2sinωx=2cosωx得tanωx=1，所以ωx1=π4，ωx2=5π4，ωx3=则y1=y3=2sinπ4=2，y2=-2由对称性和已知可得△ABC为等腰直角三角形，所以点B到直线AC的距离为12AC即y1-y2=12(x3-x1)，解得ω=214.已知函数f(x)=3sin2x-π3-2cos2x-π6+1，把函数f(x)的图象向左平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象.若x1，x2是关于x的方程g(x)=a在0，π2内的两根，则cos答案-10解析f(x)=3sin2x-π3=3sin2x-=10sin2x其中sinφ=1010，cosφ=3因为把函数f(x)的图象向左平移π6个单位长度，得到函数g(x)所以g(x)=fx=10sin2x+π6-当x∈0，π2时，2x-φ∈[-φ，π