八年级数学下册《因式分解的公式法》单元整体教学设计（北师大版）

八年级数学下册《因式分解的公式法》单元整体教学设计（北师大版）

  一、单元教学要素深度解析

  （一）教材内容与地位剖析

  本单元选自北师大版八年级数学下册第四章《因式分解》的核心节段。在教材逻辑链中，学生已于上一章完成了《整式的乘法》的系统学习，熟练掌握了多项式乘法的基本法则，特别是平方差公式与完全平方公式的正向运用。因式分解作为整式乘法的逆运算，是连接“数”的运算与“式”的变形、算术与代数的关键枢纽，其思想方法贯穿整个中学数学乃至高等数学。公式法作为因式分解的两种基本方法之一（另一为提公因式法），其地位至关重要。它不仅是对整式乘法公式的逆向认知与灵活运用，更是后续学习分式运算（通分、约分）、一元二次方程解法（因式分解法）、二次函数图象与性质、乃至高中代数变形（如数列求和、不等式证明）的必备基石。本单元的教学，旨在引导学生完成从“正向构造”到“逆向分解”的思维范式转换，深刻理解数学运算的可逆性，培养其逆向思维能力和结构化分析问题的素养。

  （二）核心知识结构图谱

  本单元的核心是两大乘法公式的逆用：

  1.平方差公式：a

2

−

b

2

=

(

a

+

b

)

(

a

−

b

)

a^2-b^2=(a+b)(a-b)

a2−b2=(a+b)(a−b)。其本质是两项式，且为平方差形式。关键在于识别“a

a

a”与“b

b

b”所代表的代数式整体，可以是单项式，也可以是多项式。

  2.完全平方公式：a

2

±

2

a

b

+

b

2

=

(

a

±

b

)

2

a^2\pm2ab+b^2=(a\pmb)^2

a2±2ab+b2=(a±b)2。其本质是三项式，且符合首平方、尾平方、首尾积两倍在中央（符号同原式中项符号）的结构特征。同样，a

a

a和b

b

b可以是代数式整体。

  知识演进路径为：复习整式乘法公式→观察公式的左右对称结构，提出逆运算猜想→严谨推导验证公式的逆用成立→识别符合公式特征的多项式→熟练运用公式进行因式分解→综合运用提公因式法与公式法→解决稍复杂的代数变形与应用问题。

  （三）学情诊断与预设

  认知基础方面，八年级学生已具备较强的符号运算能力和一定的代数推理意识。对平方差公式与完全平方公式的外在形式记忆较为牢固，但其认知多停留在正向运算层面，对公式的代数结构本质（如项的指数特征、系数特征、符号规律）理解尚浅，更缺乏逆向运用的经验与自觉。思维特点上，该年龄段学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期，能够进行归纳与演绎，但思维定势较强，反向思考时易产生障碍和混淆。常见误区包括：（1）无法准确识别“平方项”，特别是当“a

a

a”或“b

b

b”为多项式时；（2）混淆完全平方公式与平方差公式的适用条件；（3）分解不彻底，尤其是在需要先提取公因式的情况下；（4）对结果的形式规范性（如括号内首项不含负号、同类项合并、单项式因式写在多项式因式前面等）意识不足。

  （四）单元教学目标（基于数学核心素养）

  1.知识与技能：准确叙述平方差公式与完全平方公式因式分解的内容；能快速、准确地识别多项式是否符合公式特征；能熟练、规范地运用公式（包括综合提公因式法）对多项式进行因式分解；能解决与公式法因式分解相关的简单应用问题。

  2.过程与方法：经历“观察—对比—猜想—验证—归纳—应用”的完整探究过程，体会数学知识间的内在联系（互逆关系）和数学的结构之美；通过变式训练和错例辨析，提升对代数式的结构分析能力和模式识别能力；在解决综合问题时，掌握“一提（公因式）、二套（公式）、三查（分解是否彻底）”的思维程序。

  3.情感、态度与价值观：在公式的逆向运用中感受数学思维的灵活性与对立统一之美，克服思维定势，增强学习数学的兴趣和信心；通过小组合作探究与交流，培养严谨求实的科学态度和合作精神；体会因式分解作为代数工具在简化问题中的价值。

  （五）教学重难点及突破策略

  教学重点：平方差公式与完全平方公式因式分解的推导过程、结构特征识别与规范应用。

  教学难点：灵活、综合地运用公式法进行因式分解，特别是对于需要先变形或先提公因式的多项式；准确理解公式中“a

a

a”、“b

b

b”作为“整体”的代数意义。

  突破策略：采用“多元表征”（文字、符号、几何直观）深化公式理解；设计“梯度变式”练习，从单一公式应用到综合应用，从数字系数到字母系数，从单项式整体到多项式整体，循序渐进；开展“错例会诊”活动，让学生在辨析中深化认知；设计“开放构造”任务（如“请写出一个能用完全平方公式分解的三项式”），逆向巩固结构特征。

  （六）教学资源与环境准备

  1.技术资源：交互式智能白板（用于动态演示公式的几何解释、即时反馈学生练习）、图形计算器或数学软件（GeoGebra）用于验证分解结果。

  2.学具准备：学生每人一份“探究学习单”，内含引导性问题、阶梯练习题和反思区；供小组合作使用的彩色卡纸（用于拼图验证几何意义）。

  3.环境准备：U型或小组合作式座位排列，便于讨论与展示。

  二、单元教学整体规划（共5课时）

  课时一：平方差公式的再认识与逆用

  课时二：完全平方公式的再认识与逆用

  课时三：公式法的综合运用与辨析（“一提二套”）

  课时四：因式分解（公式法）的拓展与应用

  课时五：单元整合与质量评估

  三、单元教学实施过程详案

  第一课时：平方差公式的再认识与逆用

  （一）教学焦点

  从整式乘法的平方差公式出发，通过几何直观与代数推理，理解其逆运算的合理性与操作要领，掌握识别平方差结构的方法，并能对符合公式特征的两项式进行规范分解。

  （二）教学过程实录

  环节一：创设情境，温故引逆（预计时间：8分钟）

  问题链启动：

  1.请快速计算：（1）(

x

+

2

)

(

x

−

2

)

(x+2)(x-2)

(x+2)(x−2)（2）(

3

m

+

n

)

(

3

m

−

n

)

(3m+n)(3m-n)

(3m+n)(3m−n)（3）(

0.5

a

−

4

b

)

(

0.5

a

+

4

b

)

(0.5a-4b)(0.5a+4b)

(0.5a−4b)(0.5a+4b)。

  （学生口答，教师板书结果：x

2

−

4

x^2-4

x2−4，9

m

2

−

n

2

9m^2-n^2

9m2−n2，0.25

a

2

−

16

b

2

0.25a^2-16b^2

0.25a2−16b2）。

  2.上述运算共同使用了哪个乘法公式？请用文字和符号两种语言描述这个公式。

  （学生回答：平方差公式；文字：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差；符号：(

a

+

b

)

(

a

−

b

)

=

a

2

−

b

2

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

(a+b)(a−b)=a2−b2）。

  3.（教师指向板书的三个结果）观察这些等式，从左到右是乘法运算。如果我们现在已知等式的右边，比如已知x

2

−

4

x^2-4

x2−4，你能猜出它等于哪两个式子的乘积吗？

  （学生基于前两题易猜出：(

x

+

2

)

(

x

−

2

)

(x+2)(x-2)

(x+2)(x−2)）。

  4.那么，对于9

m

2

−

n

2

9m^2-n^2

9m2−n2和0.25

a

2

−

16

b

2

0.25a^2-16b^2

0.25a2−16b2呢？这种“由乘积形式化为和差形式”到“由平方差形式化为乘积形式”的思考，在数学上叫什么？

  （引导学生说出“逆运算”或“因式分解”）。

  设计意图：从学生最熟悉的计算入手，唤醒旧知；通过追问，自然地将学生的视线从公式的“左边→右边”引导至“右边→左边”，制造认知冲突，激发探究公式逆用的好奇心，明确本课学习目标。

  环节二：多元探究，确认关系（预计时间：12分钟）

  任务一：代数验证——公式的双向性。

  教师提问：我们猜想a

2

−

b

2

=

(

a

+

b

)

(

a

−

b

)

a^2-b^2=(a+b)(a-b)

a2−b2=(a+b)(a−b)反过来也成立，即a

2

−

b

2

a^2-b^2

a2−b2可以分解为(

a

+

b

)

(

a

−

b

)

(a+b)(a-b)

(a+b)(a−b)。如何验证这个猜想的正确性？

  引导学生思路：验证一个等式成立，可以从右往左推（即乘法展开），也可以从左往右“凑”。重点探讨后者：能否将a

2

−

b

2

a^2-b^2

a2−b2通过添项、分组等方式化为乘积形式？学生可能会感到困难。

  此时，教师引导回归最基本的验证方法：既然因式分解是乘法的逆运算，最直接的验证就是计算(

a

+

b

)

(

a

−

b

)

(a+b)(a-b)

(a+b)(a−b)，看其结果是否等于a

2

−

b

2

a^2-b^2

a2−b2。这恰恰是已确认的事实。因此，从等式性质看，(

a

+

b

)

(

a

−

b

)

=

a

2

−

b

2

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

(a+b)(a−b)=a2−b2意味着a

2

−

b

2

=

(

a

+

b

)

(

a

−

b

)

a^2-b^2=(a+b)(a-b)

a2−b2=(a+b)(a−b)同样成立。强调数学中这种由“相等”关系带来的“可逆”性。

  任务二：几何诠释——赋予公式生命力。

  教师提出挑战：“数缺形时少直观”。能否用一个图形面积的变化，来解释平方差公式及其逆用？

  小组活动：提供边长为a

a

a的大正方形纸片和边长为b

b

b的小正方形纸片（a

>

b

a>b

a>b）。任务：通过裁剪和拼接，将“大正方形面积减小正方形面积”（即a

2

−

b

2

a^2-b^2

a2−b2）转化为一个长方形的面积。

  学生探究与展示预期：多数小组能想到将小正方形从大正方形一角剪下后，剩余部分是一个L形区域。如何将其变为矩形？需要切割这个L形。典型方法是将L形沿虚线剪开，拼成一个长为(

a

+

b

)

(a+b)

(a+b)、宽为(

a

−

b

)

(a-b)

(a−b)的长方形。

  教师利用智能白板动画演示关键剪切与拼接过程，直观展示a

2

−

b

2

a^2-b^2

a2−b2与(

a

+

b

)

(

a

−

b

)

(a+b)(a-b)

(a+b)(a−b)的等量关系。引导学生用面积法写出等式，再次验证。

  设计意图：代数验证巩固逻辑的严谨性，几何探究则提供直观表象，两者结合使学生对平方差公式的“可逆性”深信不疑，同时深刻理解其几何背景，实现数形结合思想的渗透。

  环节三：概念辨析，把握特征（预计时间：10分钟）

  在学生确认平方差公式可逆用后，进入操作要领学习。

  1.归纳公式法（平方差）的表述：

  文字：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

  符号：a

2

−

b

2

=

(

a

+

b

)

(

a

−

b

)

a^2-b^2=(a+b)(a-b)

a2−b2=(a+b)(a−b)。

  强调“因式分解”语境下的读法：多项式a

2

−

b

2

a^2-b^2

a2−b2可以分解为(

a

+

b

)

(a+b)

(a+b)与(

a

−

b

)

(a-b)

(a−b)的乘积。

  2.深度剖析结构特征（“什么样子的多项式可以用？”）：

  师生共同总结，教师板书关键点：

  -从“项数”看：必须是两项。（与提公因式法可能产生两项作区分）

  -从“符号”看：两项必须是异号（一正一负）。（思考：两项同正或同负行吗？）

  -从“形式”看：这两项都必须可以写成某个数或式的平方的形式。即必须是“平方的差”。

  3.关键点强调——“a

a

a”和“b

b

b”是“整体”：

  教师举例：(

2

x

)

2

−

3

2

(2x)^2-3^2

(2x)2−32中，a

=

2

x

a=2x

a=2x，b

=

3

b=3

b=3；(

m

+

n

)

2

−

p

2

(m+n)^2-p^2

(m+n)2−p2中，a

=

m

+

n

a=m+n

a=m+n，b

=

p

b=p

b=p。

  练习：指出下列表达式中，相对于平方差公式，a

a

a和b

b

b各表示什么？

  （1）4

y

2

−

9

4y^2-9

4y2−9（a

=

2

y

,

b

=

3

a=2y,b=3

a=2y,b=3）（2）(

x

−

1

)

2

−

4

y

2

(x-1)^2-4y^2

(x−1)2−4y2（a

=

x

−

1

,

b

=

2

y

a=x-1,b=2y

a=x−1,b=2y）（3）0.81

−

(

a

−

b

)

2

0.81-(a-b)^2

0.81−(a−b)2（a

=

0.9

,

b

=

a

−

b

a=0.9,b=a-b

a=0.9,b=a−b）

  设计意图：将操作步骤上升到对多项式内在结构的理性分析，引导学生抓住“两项”、“平方”、“差”三个核心特征，特别是突破“整体”观这一难点，为准确识别和分解奠基。

  环节四：典例精析，规范示范（预计时间：15分钟）

  例题1：分解因式：（1）x

2

−

25

x^2-25

x2−25（2）16

a

2

−

9

b

2

16a^2-9b^2

16a2−9b2（3）(

m

+

n

)

2

−

n

2

(m+n)^2-n^2

(m+n)2−n2

  师生共析：

  （1）识别：两项，x

2

x^2

x2与25

25

25（即5

2

5^2

52），符号相异。符合平方差公式。

  解：x

2

−

25

=

x

2

−

5

2

=

(

x

+

5

)

(

x

−

5

)

x^2-25=x^2-5^2=(x+5)(x-5)

x2−25=x2−52=(x+5)(x−5)。

  （2）识别：两项，16

a

2

=

(

4

a

)

2

16a^2=(4a)^2

16a2=(4a)2，9

b

2

=

(

3

b

)

2

9b^2=(3b)^2

9b2=(3b)2，符号相异。

  解：16

a

2

−

9

b

2

=

(

4

a

)

2

−

(

3

b

)

2

=

(

4

a

+

3

b

)

(

4

a

−

3

b

)

16a^2-9b^2=(4a)^2-(3b)^2=(4a+3b)(4a-3b)

16a2−9b2=(4a)2−(3b)2=(4a+3b)(4a−3b)。

  （3）识别：两项，(

m

+

n

)

2

(m+n)^2

(m+n)2本身是一个整体的平方，n

2

n^2

n2是平方，符号相异。a

=

m

+

n

a=m+n

a=m+n，b

=

n

b=n

b=n。

  解：(

m

+

n

)

2

−

n

2

=

[

(

m

+

n

)

+

n

]

[

(

m

+

n

)

−

n

]

=

(

m

+

2

n

)

⋅

m

(m+n)^2-n^2=[(m+n)+n][(m+n)-n]=(m+2n)\cdotm

(m+n)2−n2=[(m+n)+n][(m+n)−n]=(m+2n)⋅m。

  强调步骤：一判（是否符合公式特征，确定a和b）、二代（代入公式）、三化简（括号内能合并同类项的要合并）。

  例题2：分解因式：（1）−

x

2

+

4

-x^2+4

−x2+4（2）x

4

−

16

x^4-16

x4−16

  学生尝试，可能出现问题：（1）直接无法套用（首项为负）；（2）分解一次后停止。

  引导分析：

  （1）策略：当两项符号不符合“前正后负”时，可通过交换位置或提取负号进行调整。−

x

2

+

4

=

4

−

x

2

=

2

2

−

x

2

=

(

2

+

x

)

(

2

−

x

)

-x^2+4=4-x^2=2^2-x^2=(2+x)(2-x)

−x2+4=4−x2=22−x2=(2+x)(2−x)。

  （2）策略：注意分解的彻底性。x

4

−

16

=

(

x

2

)

2

−

4

2

=

(

x

2

+

4

)

(

x

2

−

4

)

x^4-16=(x^2)^2-4^2=(x^2+4)(x^2-4)

x4−16=(x2)2−42=(x2+4)(x2−4)。此时，第二个因式x

2

−

4

x^2-4

x2−4是否符合公式？符合！需继续分解。故原式=(

x

2

+

4

)

(

x

+

2

)

(

x

−

2

)

(x^2+4)(x+2)(x-2)

(x2+4)(x+2)(x−2)。

  强调：分解必须进行到每一个因式在指定数集（有理数范围）内不能再分解为止。

  设计意图：通过正反例，展示完整的分析思维过程和书写规范。例题1夯实基础，例题2引入符号处理和分解彻底性两个易错点，提升思维的严密性。

  （三）本课时小结与评价

  引导学生从知识（公式、特征、步骤）、方法（整体思想、数形结合）、易错点三个方面进行梳理。布置分层作业：基础题（直接应用公式）、提高题（需调整符号或二次分解）、思考题（如：(

a

+

b

)

2

−

(

a

−

b

)

2

(a+b)^2-(a-b)^2

(a+b)2−(a−b)2如何分解？）。利用学习单的反思区，让学生记录本节课的收获和仍存的疑问。

  第二课时：完全平方公式的再认识与逆用

  （一）教学焦点

  类比平方差公式的学习路径，独立探究完全平方公式的逆用。掌握识别完全平方式的三项结构特征，特别是中间项的符号与系数规律，并能规范分解。

  （二）教学过程实录

  环节一：类比迁移，提出猜想（预计时间：10分钟）

  复习回顾：上节课我们学习了平方差公式的逆用。请写出平方差公式及其逆用的表达式。

  提出问题链：

  1.除了平方差公式，我们还学过哪个重要的乘法公式？（完全平方公式）

  2.请写出完全平方公式的两种形式：(

a

+

b

)

2

=

(a+b)^2=

(a+b)2=?;(

a

−

b

)

2

=

(a-b)^2=

(a−b)2=?。

  （学生板书：a

2

+

2

a

b

+

b

2

a^2+2ab+b^2

a2+2ab+b2;a

2

−

2

a

b

+

b

2

a^2-2ab+b^2

a2−2ab+b2）

  3.类比平方差公式的逆用，你对这两个等式有什么新的猜想？

  （学生猜想：a

2

+

2

a

b

+

b

2

=

(

a

+

b

)

2

a^2+2ab+b^2=(a+b)^2

a2+2ab+b2=(a+b)2;a

2

−

2

a

b

+

b

2

=

(

a

−

b

)

2

a^2-2ab+b^2=(a-b)^2

a2−2ab+b2=(a−b)2）。

  4.如何验证你的猜想？（学生提出：用整式乘法验证右边等于左边，或寻找其他方法）。

  设计意图：利用类比思想，引导学生主动构建新知与旧知的联系，自己提出研究问题，激发探究主动性。

  环节二：合作探究，验证猜想（预计时间：15分钟）

  任务一：代数验证与结构分析。

  学生独立验证猜想（计算(

a

+

b

)

2

(a+b)^2

(a+b)2和(

a

−

b

)

2

(a-b)^2

(a−b)2）。验证后，教师引导学生聚焦多项式本身的结构。

  思考与讨论：一个多项式要能写成(

a

+

b

)

2

(a+b)^2

(a+b)2或(

a

−

b

)

2

(a-b)^2

(a−b)2的形式，必须具备怎样的特征？

  小组合作，观察a

2

+

2

a

b

+

b

2

a^2+2ab+b^2

a2+2ab+b2和a

2

−

2

a

b

+

b

2

a^2-2ab+b^2

a2−2ab+b2，从项数、各项符号、系数、指数等方面总结规律。

  小组汇报，教师提炼板书“完全平方式”的特征：

  -三项式。

  -首末两项是正的平方项（分别可视为a

2

a^2

a2和b

2

b^2

b2）。

  -中间项是首末两项“底数”乘积的2倍，其符号决定了是和的平方还是差的平方（即与括号内一次项符号相同）。

  记忆口诀：“首平方，尾平方，首尾两倍在中央；中央符号看前方。”（“前方”指括号内一次项的符号）

  任务二：几何解释（可选，时间允许则进行）。

  挑战：能否用图形面积解释a

2

+

2

a

b

+

b

2

=

(

a

+

b

)

2

a^2+2ab+b^2=(a+b)^2

a2+2ab+b2=(a+b)2？

  学生利用正方形和长方形纸片拼图。大正方形边长为(

a

+

b

)

(a+b)

(a+b)，其面积可分割为一个边长为a

a

a的正方形、一个边长为b

b

b的正方形和两个长为a

a

a、宽为b

b

b的长方形之和。直观呈现公式。

  设计意图：验证活动巩固逻辑基础。结构分析是本节课核心，通过小组合作深入观察，自主归纳出完全平方式的关键特征，培养观察、概括能力。几何解释作为辅助，加深理解。

  环节三：概念明晰，把握关键（预计时间：8分钟）

  1.定义引入：我们把a

2

±

2

a

b

+

b

2

a^2\pm2ab+b^2

a2±2ab+b2这种形式的式子叫做完全平方式。

  2.辨析要点：

  -公式中的a

,

b

a,b

a,b同样可以是数、单项式或多项式整体。

  -中间项的系数必须是“2”，不能多也不能少。指数为1。

  -判断时，先找“平方项”，确定可能的a

a

a和b

b

b，再验证“2ab”项是否存在且符号正确。

  3.快速判断练习（口答）：

  下列多项式是完全平方式吗？若是，指出相当于公式中的a

a

a和b

b

b，并说明是哪种完全平方。

  （1）x

2

+

4

x

+

4

x^2+4x+4

x2+4x+4（是，a

=

x

,

b

=

2

a=x,b=2

a=x,b=2，(

x

+

2

)

2

(x+2)^2

(x+2)2）

  （2）m

2

−

6

m

+

9

m^2-6m+9

m2−6m+9（是，a

=

m

,

b

=

3

a=m,b=3

a=m,b=3，(

m

−

3

)

2

(m-3)^2

(m−3)2）

  （3）4

y

2

−

20

y

+

25

4y^2-20y+25

4y2−20y+25（是，a

=

2

y

,

b

=

5

a=2y,b=5

a=2y,b=5，(

2

y

−

5

)

2

(2y-5)^2

(2y−5)2）

  （4）x

2

+

2

x

y

−

y

2

x^2+2xy-y^2

x2+2xy−y2（不是，中间项符号与末项符号不匹配）

  （5）9

a

2

+

6

a

b

+

b

2

9a^2+6ab+b^2

9a2+6ab+b2（是，a

=

3

a

,

b

=

b

a=3a,b=b

a=3a,b=b，(

3

a

+

b

)

2

(3a+b)^2

(3a+b)2）

  设计意图：通过即时辨析，将结构特征理论应用于快速判断，训练学生的模式识别能力，巩固对特征细节（特别是系数2和符号）的掌握。

  环节四：范例导学，形成技能（预计时间：12分钟）

  例题1：分解因式：（1）x

2

+

10

x

+

25

x^2+10x+25

x2+10x+25（2）4

x

2

−

12

x

y

+

9

y

2

4x^2-12xy+9y^2

4x2−12xy+9y2

  师生共析步骤：

  （1）识别：三项。首项x

2

x^2

x2是平方项，末项25

=

5

2

25=5^2

25=52是平方项，皆正。中间项10

x

=

2

⋅

x

⋅

5

10x=2\cdotx\cdot5

10x=2⋅x⋅5，符号为正。故为完全平方式，a

=

x

,

b

=

5

a=x,b=5

a=x,b=5。

  解：x

2

+

10

x

+

25

=

x

2

+

2

⋅

x

⋅

5

+

5

2

=

(

x

+

5

)

2

x^2+10x+25=x^2+2\cdotx\cdot5+5^2=(x+5)^2

x2+10x+25=x2+2⋅x⋅5+52=(x+5)2。

  （2）识别：首项4

x

2

=

(

2

x

)

2

4x^2=(2x)^2

4x2=(2x)2，末项9

y

2

=

(

3

y

)

2

9y^2=(3y)^2

9y2=(3y)2，皆正。中间项−

12

x

y

=

−

2

⋅

(

2

x

)

⋅

(

3

y

)

-12xy=-2\cdot(2x)\cdot(3y)

−12xy=−2⋅(2x)⋅(3y)，符号为负。故为完全平方式，a

=

2

x

,

b

=

3

y

a=2x,b=3y

a=2x,b=3y。

  解：4

x

2

−

12

x

y

+

9

y

2

=

(

2

x

)

2

−

2

⋅

(

2

x

)

⋅

(

3

y

)

+

(

3

y

)

2

=

(

2

x

−

3

y

)

2

4x^2-12xy+9y^2=(2x)^2-2\cdot(2x)\cdot(3y)+(3y)^2=(2x-3y)^2

4x2−12xy+9y2=(2x)2−2⋅(2x)⋅(3y)+(3y)2=(2x−3y)2。

  强调步骤：一找平方项定a

,

b

a,b

a,b，二验中间项（系数、符号），三代公式。

  例题2：分解因式：（1）−

x

2

+

6

x

y

−

9

y

2

-x^2+6xy-9y^2

−x2+6xy−9y2（2）(

m

+

n

)

2

−

4

(

m

+

n

)

+

4

(m+n)^2-4(m+n)+4

(m+n)2−4(m+n)+4

  学生尝试，教师点拨：

  （1）策略：首项为负，可先提取负号。原式=−

(

x

2

−

6

x

y

+

9

y

2

)

=

−

[

x

2

−

2

⋅

x

⋅

(

3

y

)

+

(

3

y

)

2

]

=

−

(

x

−

3

y

)

2

-(x^2-6xy+9y^2)=-[x^2-2\cdotx\cdot(3y)+(3y)^2]=-(x-3y)^2

−(x2−6xy+9y2)=−[x2−2⋅x⋅(3y)+(3y)2]=−(x−3y)2。

  （2）策略：将(

m

+

n

)

(m+n)

(m+n)视为整体a

a

a，常数4视为b

2

b^2

b2(b

=

2

b=2

b=2)。验证中间项：−

4

(

m

+

n

)

=

−

2

⋅

(

m

+

n

)

⋅

2

-4(m+n)=-2\cdot(m+n)\cdot2

−4(m+n)=−2⋅(m+n)⋅2，符合。原式=[

(

m

+

n

)

−

2

]

2

=

(

m

+

n

−

2

)

2

[(m+n)-2]^2=(m+n-2)^2

[(m+n)−2]2=(m+n−2)2。

  设计意图：例题1规范基本操作。例题2提升复杂度，涉及符号处理和“整体”思想的深化应用，培养学生灵活运用公式的能力。

  （三）本课时小结与评价

  对比平方差公式法与完全平方公式法，从项数、符号特征、结果形式等方面列表比较（可师生共同完成）。强调判断时的思维顺序。布置作业：包含直接应用、需整体看待、需先提取负号等类型的题目。引入简单的综合题雏形，如：2

x

3

−

8

x

2x^3-8x

2x3−8x（为下节课“一提二套”铺垫）。

  第三课时：公式法的综合运用与辨析（“一提二套”）

  （一）教学焦点

  在熟练掌握两个公式独立运用的基础上，面对更一般的多项式，建立“先提公因式，再考虑公式法”的分解策略（即“一提二套”）。能准确判断分解的先后顺序和彻底性。

  （二）教学过程实录

  环节一：诊断回顾，导入综合（预计时间：8分钟）

  1.快速热身：分解因式（限时完成）

  （1）9

a

2

−

b

2

9a^2-b^2

9a2−b2（2）x

2

y

2

−

4

x^2y^2-4

x2y2−4（3）−

4

m

2

+

4

m

n

−

n

2

-4m^2+4mn-n^2

−4m2+4mn−n2（4）(

p

−

q

)

2

+

6

(

q

−

p

)

+

9

(p-q)^2+6(q-p)+9

(p−q)2+6(q−p)+9

  （第4题需注意(

q

−

p

)

=

−

(

p

−

q

)

(q-p)=-(p-q)

(q−p)=−(p−q)，可转化为(

p

−

q

)

2

−

6

(

p

−

q

)

+

9

(p-q)^2-6(p-q)+9

(p−q)2−6(p−q)+9，再用完全平方公式）。

  2.思考：以上多项式都是直接应用公式。观察多项式2

x

3

−

8

x

2x^3-8x

2x3−8x，它能直接套用我们学过的公式吗？为什么？你有什么想法？

  （学生发现两项，但2

x

3

2x^3

2x3不是平方项。但有公因式2

x

2x

2x。提取后得2

x

(

x

2

−

4

)

2x(x^2-4)

2x(x2−4)，括号内可用平方差公式）。

  教师引入：当多项式不能直接套用公式时，我们首先要检查是否有公因式。这就是因式分解的一般步骤中的第一步。

  设计意图：通过热身巩固前两课基础，通过一个简单反例引出“直接套公式”的局限性，自然引出综合运用的必要性。

  环节二：策略建构，程序明确（预计时间：15分钟）

  提出核心策略：因式分解的“三步曲”——

  第一步：提。检查多项式的各项，看是否有公因式（数字系数最大公约数、公共字母及其最低次幂）。如果有，必须先提取公因式。

  第二步：套。观察提取公因式后得到的括号内的多项式，看项数：

  -若为两项，考虑是否能用平方差公式。

  -若为三项，考虑是否能用完全平方公式。

  -若不符合公式特征，且项数多于三项，则考虑其他方法（如分组分解法，本章后续内容）。

  第三步：查。检查每个因式是否还能继续分解（在指定数集内），直到不能再分解为止。同时检查书写是否规范（如单项式因式写在前面，括号内首项系数通常为正等）。

  口诀记忆：“一提二套三检查”。

  例题精讲：

  例1：分解因式3

a

x

2

−

3

a

y

4

3ax^2-3ay^4

3ax2−3ay4。

  师生共析：

  提：各项系数有最大公约数3，都有字母a，无其他公共字母。公因式为3

a

3a

3a。

  提取：3

a

x

2

−

3

a

y

4

=

3

a

(

x

2

−

y

4

)

3ax^2-3ay^4=3a(x^2-y^4)

3ax2−3ay4=3a(x2−y4)。

  套：括号内为两项：x

2

x^2

x2和y

4

y^4

y4。y

4

=

(

y

2

)

2

y^4=(y^2)^2

y4=(y2)2，所以是平方差公式，a

=

x

,

b

=

y

2

a=x,b=y^2

a=x,b=y2。

  套用：3

a

[

x

2

−

(

y

2

)

2

]

=

3

a

(

x

+

y

2

)

(

x

−

y

2

)

3a[x^2-(y^2)^2]=3a(x+y^2)(x-y^2)

3a[x2−(y2)2]=3a(x+y2)(x−y2)。

  查：各因式3

a

,

(

x

+

y

2

)

,

(

x

−

y

2

)

3a,(x+y^2),(x-y^2)

3a,(x+y2),(x−y2)均不能再分解。书写规范。

  例2：分解因式−

2

x

2

y

−

8

x

y

−

8

y

-2x^2y-8xy-8y

−2x2y−8xy−8y。

  学生尝试，可能出现的错误：直接提取2

y

2y

2y后未处理负号；或提取−

2

y

-2y

−2y后，括号内完全平方式识别错误。

  引导分析：

  提：观察系数和字母。系数有公因数-2，字母有公因式y。为简化括号内首项符号，建议提取负公因式−

2

y

-2y

−2y。原式=−

2

y

(

x

2

+

4

x

+

4

)

-2y(x^2+4x+4)

−2y(x2+4x+4)。

  套：括号内三项：x

2

,

4

x

,

4

x^2,4x,4

x2,4x,4。x

2

x^2

x2和4

(

=

2

2

)

4(=2^2)

4(=22)是平方项，中间项4

x

=

2

⋅

x

⋅

2

4x=2\cdotx\cdot2

4x=2⋅x⋅2，符号为正，是完全平方式。故=−

2

y

(

x

+

2

)

2

-2y(x+2)^2

−2y(x+2)2。

  查：因式−

2

y

-2y

−2y和(

x

+

2

)

2

(x+2)^2

(x+2)2均不能再分解。也可写成−

2

y

(

x

+

2

)

2

-2y(x+2)^2

−2y(x+2)2。

  设计意图：通过两个典型例题，完整展示“一提二套三查”的思维过程和书写流程，特别是例2中提取负公因式的技巧，强化程序性知识。

  环节三：变式训练，深化理解（预计时间：15分钟）

  小组合作，完成下列分解，并派代表讲解思路，重点说明“提”什么、“套”哪个公式。

  1.5

a

3

−

20

a

5a^3-20a

5a3−20a（提5

a

5a

5a，套平方差）

  2.(

x

−

y

)

3

−

(

x

−

y

)

(x-y)^3-(x-y)

(x−y)3−(x−y)（提(

x

−

y

)

(x-y)

(x−y)，套平方差）

  3.a

2

b

−

4

a

b

+

4

b

a^2b-4ab+4b

a2b−4ab+4b（提b

b

b，套完全平方）

  4.−

x

3

y

+

2

x

2

y

2

−

x

y

3

-x^3y+2x^2y^2-xy^3

−x3y+2x2y2−xy3（提−

x

y

-xy

−xy，套完全平方）

  5.2

(

a

−

b

)

2

−

8

(

a

−

b

)

c

+

8

c

2

2(a-b)^2-8(a-b)c+8c^2

2(a−b)2−8(a−b)c+8c2（提2，将(

a

−

b

)

(a-b)

(a−b)和c

c

c视为整体，套完全平方）

  在小组展示中，教师引导学生关注：

  -公因式的识别（数字系数、相同字母或多项式整体）。

  -提取公因式后，括号内多项式项数的变化。

  -公式选择（两项？三项？）和公式中“整体”的确定。

  -分解的彻底性（如第1题，a

2

−

4

a^2-4

a2−4需继续分解）。

  设计意图：通过一组由浅入深的变式练习，让学生在合作交流中反复操练综合运用策略，从不同角度巩固“一提二套”的程序，并提升复杂情境下的识别能力。

  环节四：错例辨析，规避陷阱（预计时间：7分钟）

  呈现典型错误，请学生诊断“病根”并改正：

  1.4

x

2

−

9

y

2

=

(

4

x

+

3

y

)

(

4

x

−

3

y

)

4x^2-9y^2=(4x+3y)(4x-3y)

4x2−9y2=(4x+3y)(4x−3y)（错误：未将系数写成平方形式，a

=

2

x

,

b

=

3

y

a=2x,b=3y

a=2x,b=3y）

  2.x

2

+

4

x

+

16

=

(

x

+

4

)

2

x^2+4x+16=(x+4)^2

x2+4x+16=(x+4)2（错误：中间项应为8

x

8x

8x，不是完全平方式）

  3.−

a

2

+

2

a

b

−

b

2

=

−

(

a

2

−

2

a

b

−

b

2

)

=

−

(

a

−

b

)

2

-a^2+2ab-b^2=-(a^2-2ab-b^2)=-(a-b)^2

−a2+2ab−b2=−(a2−2ab−b2)=−(a−b)2（错误：提取负号后，括号内符号错误，应为−

(

a

2

−

2

a

b

+

b

2

)

-(a^2-2ab+b^2)

−(a2−2ab+b2)）

  4.2

x

2

−

8

=

2

(

x

2

−

4

)

2x^2-8=2(x^2-4)

2x2−8=2(x2−4)（不完整：括号内可继续分解，应为2

(

x

+

2

)

(

x

−

2

)

2(x+2)(x-2)

2(x+2)(x−2)）

  设计意图：通过分析错误，反面强化正确认知，尤其是对公式结构特征的准确把握、提取公因式时符号的处理以及分解彻底性的要求，防患于未然。

  （三）本课时小结与评价

  总结因式分解的综合程序“一提、二套、三检查”，强调其普遍适用性。布置作业以综合运用为主，包含需连续使用公式（如a

4

−

b

4

a^4-b^4

a4−b4）的题目，为下节课拓展做准备。

  第四课时：因式分解（公式法）的拓展与应用

  （一）教学焦点

  拓展公式法的应用范围，包括高阶幂的分解、简单分组后应用公式等，并初步体验因式分解在简化计算、代数证明和解决简单实际问题中的价值。

  （二）教学过程实录

  环节一：高阶拓展，提升思维（预计时间：18分钟）

  探究活动1：平方差公式的连续应用。

  问题：如何分解因式x

4

−

y

4

x^4-y^4

x4−y4？

  学生可能有两种思路：

  思路1：视为(

x

2

)

2

−

(

y

2

)

2

(x^2)^2-(y^2)^2

(x2)2−(y2)2，用平方差公式：(

x

2

+

y

2

)

(

x

2

−

y

2

)

(x^2+y^2)(x^2-y^2)

(x2+y2)(x2−y2)。注意x

2

−

y

2

x^2-y^2

x2−y2可继续分解。

  思路2：视为(

x

2

)

2

−

(

y

2

)

2

(x^2)^2-(y^2)^2

(x2)2−(y2)2，同上。最终结果：(

x

2

+

y

2

)

(

x

+

y

)

(

x

−

y

)

(x^2+y^2)(x+y)(x-y)

(x2+y2)(x+y)(x−y)。

  追问：x

4

−

y

4

x^4-y^4

x4−y4能直接用完全平方公式吗？为什么？（不能，不符合三项特征）。

  变式：分解a

8

−

b

8

a^8-b^8

a8−b8。引导学生发现可以逐次应用平方差公式。

  探究活动2：完全平方公式的变形与拓展。

  思考：式子a

2

+

b

2

+

c

2

+

2

a

b

+

2

b

c

+

2

a

c

a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac

a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac与完全平方公式有何联系？

  学生观察，尝试分组：(

a

2

+

2

a

b

+

b

2

)

+

2

c

(

a

+

b

)

+

c

2

(a^2+2ab+b^2)+2c(a+b)+c^2

(a2+2ab+b2)+2c(a+b)+c2？或直接联想到(

a

+

b

+

c

)

2

(a+b+c)^2

(a+b+c)2的展开式。验证：计算(

a

+

b

+

c

)

2

(a+b+c)^2

(a+b+c)2。

  得出结论：a

2

+

b

2

+

c

2

+

2

a

b

+

2

b

c

+

2

a

c

=

(

a

+

b

+

c

)

2

a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)^2

a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2。这是完全平方公式在三项和情况下的推广。不作重点要求，但可开阔视野。

  探究活动3：简单的分组分解法（为后续学习铺垫）。

  问题：分解因式x

2

−

y

2

+

2

x

+

1

x^2-y^2+2x+1

x2−y2+2x+1。

  学生观察，无法直接提公因式或套公式。教师引导：注意到有x

2

+

2

x

+

1

x^2+2x+1

x2+2x+1，这构成完全平方式。故可分组：(

x

2

+

2

x

+

1

)

−

y

2

=

(

x

+

1

)

2

−

y

2

(x^2+2x+1)-y^2=(x+1)^2-y^2

(x2+2x+1)−y2=(x+1)2−y2，然后应用平方差公式。

  方法小结：有时需要先对多项式进行适当分组，使分组后的部分能应用公式，然后再整体分解。这称为“分组分解法”，是下阶段要系统学习的内容，此处仅作初步体验。

  设计意图：本环节旨在“跳一跳，摘桃子”，在掌握基本方法的基础上进行适度拓展，满足学有余力学生的需求，培养其探究精神和解决复杂问题的能力。

  环节二：实际应用，体现价值（预计时间：12分钟）

  应用1：简便计算。

  计算：（1）101

2

−

99

2

101^2-99^2

1012−992（2）2023

2

−

2022

×

2024

2023^2-2022\times2024

20232−2022×2024

  引导学生分析：（1）直接用平方差公式：(

101

+

99

)

(

101

−

99

)

=

200

×

2

=

400

(101+99)(101-99)=200\times2=400

(101+99)(101−99)=200×2=400。

  （2）将2022

×

2024

2022\times2024

2022×2024视为(

2023

−

1

)

(

2023

+

1

)

=

2023

2

−

1

(2023-1)(2023+1)=2023^2-1

(2023−1)(2023+1)=20232−1。则原式=2023

2

−

(

2023

2

−

1

)

=

1

2023^2-(2023^2-1)=1

20232−(20232−1)=1。

  应用2：代数证明。

  证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。

  设两个连续奇数为2

n

+

1

2n+1

2n+1和2

n

−

1

2n-1

2n−1（n

n

n为整数）。

  则(

2

n

+

1

)

2

−

(

2

n

−

1

)

2

=

[

(

2

n

+

1

)

+

(

2

n

−

1

)

]

[

(

2

n

+

1

)

−

(

2

n

−

1

)

]

=

(

4

n

)

×

2

=

8

n

(2n+1)^2-(2n-1)^2=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)]=(4n)\times2=8n

(2n+1)2−(2n−1)2=[(2n+1)+(2n−1)][(2n+1)−(2n−1)]=(4n)×2=8n。

  因为n

n

n是整数，所以8

n

8n

8n是8的倍数。得证。

  应用3：几何背景问题。

  如图，一块正方形铁皮，边长为a

a

a（厘米），在其四个角各截去一个边长为b

b

b（厘米）的小正方形（b

<

a

/

2

b<a/2

b<a/2），然后折成一个无盖盒子。求这个盒子的容积（用含a

,

b

a,b

a,b的式子表示），并将式子因式分解。

  学生分析：盒子的底面是边长为(

a

−

2

b

)

(a-2b)

(a−2b)的正方形，高为b

b

b。

  容积V

=

(

a

−

2

b

)

2

⋅

b

=

b

(

a

−

2

b

)

2

V=(a-2b)^2\cdotb=b(a-2b)^2

V=(a−2b)2⋅b=b(a−2b)2。

  因式分解形式已在此。也可展开再尝试分解，但显然b

(

a

−

2

b

)

2

b(a-2b)^2

b(a−2b)2是最简洁的因式分解形式。

  设计意图：通过计算、证明、几何应用三个维度，展示因式分解作为代数工具的强大功能，让学生体会到数学学习的实用价值和思维乐趣，增强学习内驱力。

  环节三：综合练习，能力提升（预计时间：15分钟）

  独立完成或小组讨论以下综合性较强的题目：

  1.分解因式：(

x

2

+

4

)

2

−

16

x

2

(x^2+4)^2-16x^2

(x2+4)2−16x2。（提示：将16

x

2

16x^2

16x2视为(

4

x

)

2

(4x)^2

(4x)2，用平方差公式，结果可进一步分解）

  2.已知a

+

b

=

3

,

a

b

=

2

a+b=3,ab=2

a+b=3,ab=2，求a

3

b

+

2

a

2

b

2

+

a

b

3

a^3b+2a^2b^2+ab^3

a3b+2a2b2+ab3的值。（提示：先因式分解，再代入求值）

  3.证明：不论x

,

y

x,y

x,y取何值，代数式x

2

+

y

2

+

4

x

−

6

y

+

14

x^2+y^2+4x-6y+14

x2+y2+4x−6y+14的值总是正数。（提示：尝试将多项式配方，转化为完全平方式的和）

  教师巡视指导，对共性问题进行点拨。重点引导学生分析题目特征，选择合适策略，并体会因式分解在代数求值和证明中的桥梁作用。

  设计意图：设置挑战性任务，促进学生高阶思维的发展，将因式分解的知识与整体代入、配方法等思想结合，提升综合运用数学知识解决问题的能力。

  （三）本课时小结与评价

  总结本课拓展的几种类型（高次幂分解、公式推广、简单分组、实际应用）和其中体现的数学思想（整体、转化、数形结合）。鼓励学生整理自己的“因式分解方法工具箱”。布置拓展性作业和预习任务（分组分解法）。

  第五课时：单元整合与质量评估

  （一）教学焦点

  系统梳理本单元知识网络，通过结构化练习和单元测评，诊断学生学习成效，查漏补缺，并引导学生反思学习过程，提炼数学思想方法。

  （二）教学过程实录

  环节一：知识梳理，构建网络（预计时间：15分钟）