人教版九年级数学下册：三边成比例判定三角形相似（教案）

人教版九年级数学下册：三边成比例判定三角形相似（教案）

一、课程基本信息

课题：27.2.1相似三角形的判定（第2课时）——三边成比例的两个三角形相似

学科：初中数学

年级：九年级（下）

教材版本：人民教育出版社

课时安排：1课时（45分钟）

课型：新授课

二、教学设计理念与思路

（一）核心指导思想

本课设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本依据，立足于发展学生核心素养，尤其是几何直观、推理能力、模型观念和应用意识。教学跳出单一知识点传授的窠臼，以“大单元”视角进行重构，将本课置于“图形相似”这一知识脉络中，强调判定定理之间的内在逻辑联系与认知发展路径。设计遵循“情境—问题—探究—建构—应用—迁移”的认知闭环，倡导在真实、富有挑战性的数学任务中，促进学生主动进行深度学习和意义建构。

（二）跨学科视野与STEM融合

三角形相似是数学与现实世界联结的重要桥梁。本课设计有意渗透跨学科视角：

1.与物理学的联结：在导入与应用环节，暗含相似三角形在光学（小孔成像、反射定律）、力学（结构稳定性分析）中的应用原理。

2.与工程技术的联结：通过“不可达距离测量”、“地图绘制与比例尺”、“建筑与机械设计中的缩放”等情境，体现数学的工具性价值。

3.与信息技术融合：倡导使用GeoGebra等动态几何软件进行猜想验证与探究，培养学生数字化学习与探究能力，实现从静态论证到动态发现的思维跨越。

（三）学情分析

1.知识基础：学生已经掌握了比例的基本性质、相似多边形及相似三角形的定义（对应角相等，对应边成比例），并学习了第一个判定定理——“平行线分线段成比例”推论（“A字型”、“8字型”）及“两角分别相等”的判定方法。学生具备尺规作图和简单几何推理的能力。

2.认知特点：九年级学生抽象逻辑思维趋于成熟，但辩证思维和复杂演绎推理能力仍在发展中。他们已不满足于“是什么”，更渴望了解“为什么”以及“如何用”。对纯理论证明可能感到枯燥，但对有实际背景、可动手操作的探究活动兴趣浓厚。

3.潜在困难：“三边成比例”这一条件与学生直觉可能存在距离。如何从“边”的角度（而非熟悉的“角”的角度）判定相似，如何理解定理证明中辅助线的构造思路（通过“平移+缩放”构造中间三角形），以及如何灵活选择最优判定方法解决问题，将是本课的难点。

三、教学目标

（一）知识与技能

1.理解并掌握“三边成比例的两个三角形相似”这一判定定理。

2.能够准确叙述定理的内容，并能结合图形用几何符号语言进行表达。

3.理解该定理的证明思路与方法，体会转化（化为平行线模型）的数学思想。

4.能综合运用“两角相等”、“两边成比例且夹角相等”、“三边成比例”三种方法判定两个三角形相似，并能根据给定条件选择最简捷的判定方法。

（二）过程与方法

1.经历“观察特例—提出猜想—实验验证（测量/软件）—逻辑证明—归纳结论”的完整定理探索过程，积累数学活动经验。

2.通过类比“全等三角形的SSS判定法”，进行猜想，体会类比思想。

3.在定理证明中，通过分析辅助线的生成逻辑，学习“构造法”解决几何问题。

4.在问题解决中，经历“分析条件—选择策略—规范书写—反思优化”的思维训练。

（三）情感、态度与价值观

1.通过动手操作、软件探究和小组合作，激发数学学习兴趣，培养严谨求实的科学态度和合作交流意识。

2.通过了解定理在测量、绘图等领域的应用，认识数学的实用价值和文化价值，增强应用意识。

3.在克服证明和解题困难的过程中，锻炼坚韧的意志品质，体验数学思维的严谨与美妙。

四、教学重难点

1.教学重点：“三边成比例的两个三角形相似”判定定理的探索、证明及其初步应用。

2.教学难点：

1.3.定理证明中辅助线的构造思路及其合理性理解。

2.4.在复杂图形中，灵活、恰当地选择相似三角形的判定方法。

3.5.比例式与乘积式的等价转换在相似证明中的熟练运用。

五、教学策略与方法

1.主导策略：采用“探究式教学”与“启发式讲授”相结合。教师作为组织者、引导者和合作者，设计有层次的问题链，搭建认知脚手架。

2.主要方法：

1.3.情境创设法：创设源于生活、科技的真实情境，引发认知冲突和学习动机。

2.4.实验探究法：学生通过测量计算或动态几何软件操作，获得直观感知，形成猜想。

3.5.发现教学法：引导学生在探究中发现定理内容，在证明中领悟思想方法。

4.6.变式训练法：通过一题多变、多题归一，深化对定理的理解，提升应用能力。

5.7.合作学习法：在探究、讨论环节进行小组合作，促进思维碰撞和互补。

六、教学资源与环境

1.教师准备：多媒体课件（含GeoGebra动画演示）、三角板、圆规、课堂学习任务单。

2.学生准备：直尺、圆规、量角器、计算器、课前预习任务单。

3.教学环境：配备多媒体投影和交互式白板的教室，学生按4-6人异质小组就坐。

七、教学过程设计与实施（重点环节）

第一阶段：创设情境，温故孕新（预计时间：5分钟）

活动1：问题驱动，回顾旧知

1.提问1：我们已经学习了哪几种判定三角形相似的方法？请用文字和符号两种语言描述。

1.2.（预设学生回答：①平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似；②两角分别相等的两个三角形相似。）

2.3.追问：这两种方法的共同特点是什么？（都是从“角”的相等关系入手来判定。）

4.提问2：回想三角形全等的判定，我们有哪些方法？其中，从“边”的角度判定有哪些？

1.5.（预设：SSS,SAS,ASA,AAS,HL。从边角角度：SSS,SAS。）

6.类比提问：既然全等有“SSS”法，那么对于相似，是否存在一个类似于“只要三边对应成比例，就能判定两个三角形相似”的方法呢？今天我们就来探索这个问题。

设计意图：通过对比全等与相似的判定，引导学生进行类比联想，自然地将研究视角从“角”转向“边”，明确本节课的探究方向，同时建立起新旧知识的联系。

第二阶段：动手探究，形成猜想（预计时间：8分钟）

活动2：分组实验，收集数据

1.任务布置：

1.2.教师在屏幕上出示两组三角形：

组1：△ABC(AB=6,BC=8,CA=10)；△A’B’C’(A’B’=3,B’C’=4,C’A’=5)。

组2：△DEF(DE=5,EF=7,FD=9)；△D’E’F’(D’E’=10,E’F’=14,F’D’=18)。

2.3.学生任务：①用直尺（或借助给定数据）验证两组三角形的三边是否分别成比例；②用量角器测量每组两个三角形的三个内角，看是否分别相等。

4.学生活动：学生以小组为单位进行测量、计算、记录和讨论。

5.汇报交流：

1.6.小组代表汇报测量和计算结果。

2.7.（预设结论：第一组，AB/A’B’=BC/B’C’=CA/C’A’=2，且∠A≈∠A’，∠B≈∠B’，∠C≈∠C’。第二组，DE/D’E’=EF/E’F’=FD/F’D’=0.5，且对应角也大约相等。）

3.8.教师利用GeoGebra动态演示，精确验证学生的发现，消除测量误差影响。

活动3：提出猜想

教师引导：通过刚才的实验，我们发现，当两个三角形的三边对应成比例时，它们的对应角似乎也相等。由此，我们可以提出一个大胆的猜想：

猜想：如果两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似。

设计意图：通过动手测量和计算，学生获得直接的、感性的认识。GeoGebra的精确验证，将感性认识提升为可靠的数学观察，为猜想的提出奠定坚实基础。这一过程再现了数学发现从实验到归纳的初始阶段。

第三阶段：逻辑证明，建构定理（预计时间：15分钟）

活动4：分析证明思路，突破难点

1.问题聚焦：如何证明这个猜想？我们需要证明什么？

1.2.（引导学生明确：已知：在△ABC和△A’B’C’中，AB/A’B’=BC/B’C’=CA/C’A’=k。求证：△ABC∽△A’B’C’。即需证：∠A=∠A’，∠B=∠B’，∠C=∠C’。）

3.思路启发：目前我们最有力的相似判定工具是什么？（“两角相等”或“平行线截三角形”）。能否将“三边成比例”的条件，转化为我们能用的条件？

4.关键点拨（教师引导探究）：

1.5.我们可以尝试在△ABC上“构造”一个与△A’B’C’全等的三角形，然后证明这个构造的三角形与△ABC相似。

2.6.构造设想：如图，在线段AB（或其延长线）上截取AD=A’B’，过点D作DE∥BC，交AC于点E。根据“平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似”，我们能得到什么？（△ADE∽△ABC）

3.7.追问：△ADE与△A’B’C’是什么关系？我们的目标是证明△ADE≌△A’B’C’。需要哪些条件？

4.8.引导学生利用已知比例式和相似性质推导：

∵△ADE∽△ABC，∴AD/AB=AE/AC=DE/BC。

又∵AD=A’B’，且AB/A’B’=AC/A’C’=k，

∴AB/AD=k，即AD/AB=1/k。

由此可得AE/AC=1/k，∴AE=AC/k。

而AC/A’C’=k，∴A’C’=AC/k。∴AE=A’C’。

同理可证DE=B’C’。

5.9.至此，通过“SSS”可证△ADE≌△A’B’C’。

6.10.因此，△ABC∽△ADE≌△A’B’C’，故△ABC∽△A’B’C’。

活动5：完成规范证明，归纳定理

1.师生合作，结合图形，将上述分析过程整理成严谨的几何证明，教师板书关键步骤。

2.归纳定理：师生共同总结定理内容及其几何语言。

1.3.定理：三边成比例的两个三角形相似。

2.4.几何语言：在△ABC和△A’B’C’中，

∵AB/A’B’=BC/B’C’=CA/C’A’，

∴△ABC∽△A’B’C’。

5.思想方法升华：

1.6.证明的核心思想是“转化”。将未知的“相似”问题，通过构造中间三角形（△ADE），转化为已知的“平行线模型相似”和“全等”问题。

2.7.辅助线的本质是实现“比例的转移”和“图形的嫁接”。

设计意图：这是本节课的核心与难点。通过层层递进的问题引导，学生经历分析、思考、探索辅助线作法的思维过程，而不是被动接受。将证明思路的“发现”与证明过程的“表述”分开，重点攻克“怎么想到的”这一思维障碍，真正提升学生的几何推理和问题解决能力。

第四阶段：初步应用，辨析理解（预计时间：10分钟）

活动6：基础应用与判定方法辨析

1.例题精讲（课本例1变式）：

1.2.根据下列条件，判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。

(1)AB=4cm,BC=6cm,CA=8cm;DE=12cm,EF=18cm,FD=24cm.

(2)AB=6,BC=9,CA=12;DE=10,EF=15,FD=20.

(3)AB=2,BC=√2,CA=√6;DE=√8,EF=2,FD=√12.

2.3.教学处理：(1)直接计算比值，巩固定理应用。(2)强调先排序（从小到大或从大到小排列三边），再计算比值，养成良好习惯。(3)引入无理数，复习比例的性质，并强调比值k可以等于1（此时为全等，是相似的特例）。

4.方法选择擂台赛（小组竞赛）：

1.5.出示多个条件组合，让学生抢答选择哪种判定方法最快捷。

①∠A=35°，∠B=75°；∠D=35°，∠E=75°。（两角）

②AB/DE=BC/EF=2，∠B=∠E。（两边夹角）

③AB/DE=AC/DF=BC/EF。（三边）

④AB∥DE，BC∥EF。（平行→角等）

2.6.引导学生总结选择策略：有角等优先用“两角相等”；有比例且夹角等用“两边夹角”；比例关系齐全且无明确角等时用“三边”；有平行线优先考虑平行模型。

设计意图：通过阶梯式例题，巩固定理的直接应用，并规范解题步骤。通过辨析活动，引导学生从“学会一个定理”上升到“能在方法库中优化选择”，形成解决相似判定问题的策略观，这是能力提升的关键一步。

第五阶段：综合迁移，链接生活（预计时间：5分钟）

活动7：真实问题解决

情境：某考古队在野外发现一处古塔基座遗址（呈三角形ABC），为保护遗址，需在图纸上按比例还原。因条件限制，仅能测量基座三边的长度分别为30m，45m，60m。绘图员手边有一块含三角形（三边为10cm,15cm,20cm）的模板。

问题：这块模板可以直接用来绘制遗址的相似图形吗？为什么？如果模板的三边是6cm,9cm,12cm呢？缩放比例是多少？

学生活动：独立思考后回答，阐述理由。

设计意图：将数学定理置于真实的考古测绘情境中，让学生体会数学的实用价值。问题本身简单，但蕴含了“数学建模”的初级思想：将实际问题抽象为数学问题（判定三角形是否相似），再利用数学知识（三边成比例定理）解决问题，最后解释现实意义。

第六阶段：课堂小结，反思提升（预计时间：2分钟）

引导学生从以下三个方面进行总结：

1.知识层面：我们今天学习了三角形相似的第三个判定定理——三边成比例的两个三角形相似。

2.方法层面：我们经历了“实验-猜想-证明”的定理探索过程；学习了通过“构造中间三角形”进行转化的证明方法；积累了根据条件灵活选择判定策略的经验。

3.思想层面：体会了类比、转化、从特殊到一般等数学思想。

八、板书设计

主板书区：

27.2.1相似三角形的判定（二）

一、猜想与定理

猜想：三边对应成比例→两三角形相似。

定理：在△ABC和△A’B’C’中，

∵AB/A’B’=BC/B’C’=CA/C’A’，

∴△ABC∽△A’B’C’。

二、定理的证明

已知：AB/A’B’=BC/B’C’=CA/C’A’=k。

求证：△ABC∽△A’B’C’。

证明思路图：（左侧画△ABC和△A’B’C’，右侧画证明辅助线构造图△ABC及其中间三角形ADE，用箭头标注“作…∥…”，“∽”，“≌”等关系，并标注关键推导出的边长等量关系）。

三、应用策略

判定方法“全家福”：

1.两角分别相等（AA）

2.两边成比例且夹角相等（SAS）

3.三边成比例（SSS）

（在每种方法旁简注优先选用条件）

副板书区：

用于例题演算、学生板演及课堂生成性内容的记录。

九、教学评价与反思设计

（一）过程性评价

1.课堂观察：关注学生在探究活动中的参与度、合作交流情况、提出问题的能力。

2.问答反馈：通过层层递进的提问，诊断学生对证明思路的理解程度。

3.任务单分析：课前预习任务单（回顾全等判定、比例性质）和课堂学习任务单（实验记录、例题练习）是了解学情的重要载体。

（二）阶段性评价