电路分析(第2版) 课件 chap3-7 二阶电路分析

3.7二阶电路分析1RLC串联电路的零输入响应微分方程：+uS–+uC–RLiC特征方程：s2+2

s+

02=0齐次方程：令衰减因子谐振频率则齐次方程2特征根:特征根即电路的固有频率，确定固有响应的形式。固有频率s1和s2可以有四种情况（1）当α>ω0时，s1，s2为不相等的负实数（2）当α=ω0时，s1，s2为相等的负实数（3）当0<α<ω0时，s1，s2为实部为负数的共轭复数（4）当α=0时，s1，s2为共轭纯虚数过阻尼临界阻尼欠阻尼，衰减振荡无阻尼，等幅振荡特征方程：s2+2

s+

02=0齐次方程:3过阻尼（1）当α>ω0即时:s2s1Re[s]jIm[s]0固有响应：若

=2.5，

0=2，uC(0)=1，uC’(0)=0，C=1F则s1=−1，s2=−4Ot1uC，iLuCiLtm特征根:齐次方程:4对iL求导可得tm值从初始时刻开始，电容通过电感和电阻放电，其中一部分电能转换为磁能被电感储存，另一部分被电阻消耗。由于串联回路中R2>4L/C，所以能量消耗比能量转换储存更迅速；到t=tm时，电流达到最大值，磁能不再增加，而是随着电流的衰减而逐渐释放，连同电能一起被电阻消耗掉。因此电容电压单调衰减，形成非振荡放电过程。+uC–RLiCOt1uC，iLuCiLtm5固有响应：若

=6，

0=6，uC(0)=1，uC’(0)=0，C=1F则s1=s2=−6Ot1uC，iLuCiLtms1

s2Re[s]jIm[s]0临界阻尼特征根:齐次方程:（1）当α=ω0即时:6过阻尼与临界阻尼：电路固有响应仍然是非振荡性的，但如果电阻稍稍减小，以致R2<4L/C，则响应将为振荡性。因此，符合条件R2=4L/C时的响应处于临近振荡状态，称为临界阻尼（criticallydamped）。7固有响应：若

=4，

02=200，uC(0)=1，uC’(0)=0，C=1F则s1=−4+j13.56，s2=−4−j13.56其中为振荡角频率s1Re[s]jIm[s]0s2−

d−

dOt1uC，iLuCiL欠阻尼特征根:齐次方程:（3）当α<ω0即时:8uC(t)是衰减振荡的，振幅Ke–

t

随时间作指数衰减。

0<α<ω0

（0<R2<4L/C）引起的衰减振荡情况称为欠阻尼（under-damped）。上式改写为OtuC(t)Ke–

t

包络线周期=

d2

U0−Ke–

t

包络线9衰减因子：

=R/2L

称为衰减因子，

越大，衰减振荡的振幅衰减得越快，反之越慢。振荡角频率：

d

称为振荡角频率，

d

越大，衰减振荡的速度就越快，周期T越小，反之速度越慢、周期T越大。包络线：按±Ke–

t

变化的曲线，将振荡信号包裹在中间，其衰减速度取决于

。OtuC(t)Ke–

t

包络线周期=

d2

U0−Ke–

t

包络线10固有响应：

uC(t)=K1cos

0t+K2sin

0t

若

=0，

02=8，uC(0)=1，uC’(0)=0，C=1F则s1=j2.83,s2=−j2.83（4）当α=0，即R=0时：s1,2=±j

0s1Re[s]jIm[s]0s2

0-

00t1uC，iLuCiL无阻尼特征根:齐次方程:11OtuC(t)U0周期=

02

K–K

=0，包络线±Ke–

t

变成±K

，因此振荡信号变成幅度恒定的等幅振荡。能量在L、C之间无损失地交替转换储存。谐振角频率：当电路等幅振荡时的角频率

0

=1/LC，称为谐振角频率，是电路的固有频率（s=±j

0）。特点：瞬时储能w(t)=初始储能w(0)固有响应：

uC(t)=K1cos

0t+K2sin

0t

12LR+uC–1

0.25HiL1FC例1：已知uC(0)=–1V，iL(0)=0，求iL(t)，t≥0。解：电路属于临界阻尼状态。iL(t)=K1e–2t

+K2te–2tA，t≥0iL(0)=K1

=0可得K1

=0，K2=4因此iL(t)=4te–2t

At≥013电路属于临界阻尼状态：Ot0.74iL(A)0.5LR+uC–1

0.25HiL1FCiL(t)=4te–2t

At≥014例2：已知uC(0)=2V，iL(0)=1A；求uC(t)，iL(t)，t≥0。解：代入初始条件：K1=6，K2=–4即uC(t)=6e–2t

–4e–4t

V，iL(t)=4e–4t

–

3e–2t

A，t≥0Ot6e–2t–4e–4tOt1iL(A)uC(V)24e–4t–3e–2tLR+uC–3

0.5HiL0.25FC15例3：已知uC(0)=1V，iL(0)=1A；求uC(t)，t≥0。解：uC(t)=e–

t

(K1cos

dt+K2sin

dt)，t≥0uC(0)=K1

=1，u’C(0)=–

K1

+

dK2=iL(0)C=1K1

=1，K2=3LR+uC–1

1HiL1FC16Ot–22uC(t)12e–½t–2e–½tLR+uC–1

1HiL1FC17例4：已知uC(0)=1V，iL(0)=1A；求uC(t)，iL(t)，t≥0。uC(t)=K1cos

dt+K2sin

dt+uC–1/16HiL4FLC解：uC(0)=K1

=1，u’C(0)=

dK2=iL(0)C=1/4K1

=1，K2=1/818例5：已知R2<4L/C，uC(0)=0，iL(0)=0。求uC(t)，t≥0。+uC–iLRLC+US–解：（1）固有响应uCh(t)s1,2=–

±j

d为欠阻尼19（3）完全响应uC(t)：uCp(t)=US（2）直流稳态响应uCp(t)：L短路，C开路（1）固有响应uCh(t)uC(0)=0US+K1=0u’C(0)=iL(0)/C=0−

K1+

dK2=0+uC–iLRLC+US–20US0tuCp+=0tuCh−USUSUS0tuC+uC–iLRLC+US–21RLC并联电路分析KCL：iL(t)+iG(t)

+iC(t)

=isc(t)u=LdiLdtiG=Gu=GLdiLdtiC=Cdudt=LCd2iLdt2VCR：得RLC串联电路方程对偶isc(t)LCiG(t)iL(t)iC(t)G22令根据

、

0的4种情况，求得特征根（固有频率）和固有响应：得齐次方程isc(t)LCiG(t)iL(t)iC(t)G23

例6：L=1H，C=1F，uC(0)=0，iL(0)=0，求iL，t≥0。若（1）G=10S；（2）G=2S；（3）G=0.1S。解：（1）

=5>

0=1：过阻尼强制响应：iLNR=1AiL(0)=0=1+K1+K2i’L(0)=u(0)/L=0=s1K1+s2K2得K1

=s2s1

–

s2K2

=s1

–

s2s1=–5+24=√6√65

–24√6√6完全解的形式固有响应：

0=1，

=G/(2C)=G/21ALCiG(t)iL(t)iC(t)G24（2）

=1=

0=1：临界阻尼iL(0)=0=1+K1i’L(0)=u(0)/L=0=–K1+K2得完全解的形式K1=K2=–11ALCiG(t)iL(t)iC(t)G强制响应：iLNR=1A固有响应：

0=1，

=G/(2C)=G/225（3）

=0.05<

0=1：欠阻尼iL(0)=0=1+K1i’L(0)=0=–0.05K1+K2得完全解的形式K1=–1，K2=–0.05Ott1iL1ALCiG(t)iL(t)iC(t)G强制响应：iLNR=1A固有响应：

0=1，

=G/(2C)=G/226

总结（1）电路的固有响应取决于电路的固有频率s

。固有频率可以是实数、复数或虚数，决定了零输入响应是非振荡过程（过阻尼、临界阻尼）、衰减振荡过程