电路分析(第2版) 课件 chap4-1 正弦信号及其表示方法

1第四章相量法

——正弦稳态分析4.1正弦信号及其表示方法正弦量的三要素相位差正弦量的有效值23一正弦量的三要素

tu(t)02

tTUm−Um−

正弦信号：随时间按正弦规律变化的信号（以cos函数表示）u(t)=Umcos(

t+

)瞬时值振幅|最大值初相位

|单位rad/度角频率

|单位rad/s4角频率

u(t)=Umcos(

t+

)2

=T=2

f

频率

与f的区别在于量纲和单位:

角频率

：

量纲是每秒弧度(rad/s)

频率f：量纲是赫兹(Hz,cycle/s)

tu(t)02

tTUm−Um−

5

t02

tTUm−Um−

初相位

u(t)=Umcos(

t+

)，

>0

>0：超前于

=0的正弦；

<0：滞后于

=0的正弦

tu(t)=Umcos(

t)02

tTUm−Um把sin变换为cos：Imsin(

t+

)=Imcos(

t+

−90)初相位：零时刻的正弦相位，决定了正弦波初始值大小

u(0)=Umcos

Umsin(

t)−Umsin(

t)−Imsin(

t+

)=Imcos(

t+

+90)6二、同频率正弦的相位差—初相位之差设u1=U1mcos(

t+

1)，u2=U2mcos(

t+

2)则u1与u2的相位差：

12

=

1−

2u1超前u2

的相位

12/

为u1超前u2

的时间3种特别的相位差同相:

=0

正交:

=±90

反相:

=±180

7同频率正弦的相位差规定相位差值

满足：|

|≤180

当|

|>180

时,令

=

±360

例：已知求i1与i2的相位差解:

i1滞后i28t(ms)051015202530100－100u(t)(V)(1)求T、f、

(2)求u(t)(3)以sin表示已知波形解：(1)T=20msf=1/T=50Hz

=2

f=100rad/s(2)设u(t)=100cos(100

t+

)∵u(2.5×10-3)=100=100cos(0.25

+

)∴

＝−0.25

或−45∴u(t)=100cos(100

t−

45)(3)u(t)=100sin(100

t−

45+90)=100sin(100

t

+45)9三、正弦量的有效值周期电流i

的有效值定义若周期电流i与直流电流I分别流过相同电阻R，在周期T内，两者做功相同，则I为i的有效值周期信号大小的表示？∵T内做功=

瞬时值：随时间变化，不方便平均值：正弦平均值为0，不恰当最大值：只表示某一瞬间的值，不全面

有效值：做功的平均效果，√同理，周期电压u的有效值∴周期电流i的有效值0TRi2(t)dt=RI2T01TTi2(t)dtI=01TTu2(t)dtU=10将i=Imcos(t+

i)代入，有常识：我们平时说的交流电压或电流都是有效值

220V表示日常生活用电的相电压，振幅为有效值380V的线电压，振幅为537V注意：电压表、电流表的读数是有效值正弦信号的有效值表示：i(t)=Imcos(t+

i)=2Icos(t+

i)u(t)=Umcos(t+

u)=2Ucos(t+

u)2T001TTImcos2(

t+

)dt=I=2Im2T[cos(2

t+2

)+1]dt同理220×2=311V01TTi2(t)dtI=4.2相量法的基本概念正弦量与相量正弦量的相量运算11CharlesProteusSteinmetz1865~1923German-bornAmericanelectricalengineer12/v_show/id_XNTg0NjQwODgzMg==.htmlThomasAlvaEdison1847~1931NikolaTesla1856~1943WardenclyffeTower无线传输电能/2020/10/12/VIDEOK6Pj05ZPoDV0kBD9QQR201012.shtml电能的交流传输、直流传输、无线传输科学是不断发展、不断革新的，科学技术本身没有对与错，只有优缺点13u(t)=Umcos(

t+

)三角函数表示法的缺点：运算不方便i1i2i3

i1=3cos(2t+10

)

i2=4cos(2t−20

)求i3。解：i3=i1+i2=3cos(2t+10

)+4cos(2t−20

)

＝Acos(2t+

)

A=……？？？…….(麻烦)

=……？？？…….(麻烦)

tu(t)02

tTUm-Um-

14=Re[Umej

ej

t]=Re[Umej

t]=Re[Um/

t]相量：表示正弦信号的模和初始相位的复数Um=Umej

=Um

/

•u(t)=Umcos(

t+

)=Re[Umej(

t+

)]为u(t)的相量根据欧拉公式：ej

=cos

+jsin

定义••

t=0+1+jUm•一、复数表示法——相量15Um=Umej

=Um

/

•为u(t)的相量定义:UmUm

0+1+j相量图:u(t)=Umcos(

t+

)=Re[Umej

t]•从cos到相量Um=Um/

•u(t)=Umcos(

t+

)从相量到cos说明：Ph[sin(

t+

)]=−j=/−90

/−90

Ph[Sin(

t)]=u(t)=Re[Umej

t]=Umcos(

t+

)•16O+1

+jUmUm•Umcos

jUmsin

Um=Umej

=Um

/

•Um=Umcos

+jUmsin

•例1：已知正弦电压的相量分别为Um1=253–j25V和•Um2=−50+j503V，设角频率为

，求u1(t)和u2(t)•Um1=253−j25=50−30°VUm2=−50+j503=100120°V••解：u1(t)=Um1cos(

t+

1)=50cos(

t−30º)Vu2(t)=Um2cos(

t+

2)=100cos(

t+120º)V有17例2已知i=10cos(2t+45o)A，求波形图、相量图和复数表示式解：(1)(3)i(t)=Re[10/45o

/2t

]

t0/410－10i/A-/43/47/4(2)Im=10/45oA·Im=10cos(45o)+j10sin(45o)=5√2(1+j)A·Im·45o10A+1+j05√25√218i2(t)=–10cos(314t−30

)=10cos(314t+150)u(t)的振幅相量u(t)的有效值相量例3

已知i1(t)=5cos(314t+60

)A，i2(t)=−10sin(314t+60

)A，i3(t)=–4cos(314t+60

)A。写出三个电流的相量，并作相量图。i3(t)=4cos(314t−120

)Au(t)=Umcos(t+

u)=2Ucos(t+

u)Um=Um

u

=U

u

=2U2如无特别说明，相量指有效值相量60

150

-120

xjyI3I1I2解19例4已知U1=50–30

V，U2=220150

V，f=50Hz。试写出它们所代表的正弦电压。

故u1(t)=502cos(100

t–30

)V

u2(t)=2202cos(100

t+150

)V解由给定的相量可知：

U1=50，U1m=502，

1=–30

U2=220，U2m=2202，

2=150

又

=2

f=100

20对于同频率的正弦：u1(t)+u2(t)u1(t)=u2(t)U1=U2

••••

U1+

U2ddtu(t)•j

U唯一性线性微分积分二、正弦量的相量运算21引理I唯一性引理两个同频正弦信号相等•Re[Aej

t]=Re[Bej

t]•A=B

••引理II线性引理各同频正弦信号线性组合的相量=各信号相量的线性组合U1m，••u1(t)u2(t)U2m若••u1(t)+u2(t)

U1m+

U2m则引理III微分引理。正弦导数的相量=原信号相量与j

的乘积则ddtx(t)•j

X两个信号的相量相等证证•u1(t)+u2(t)=

Re[U1mej

t]+

Re[U2mej

t]=Re[(

U1m+

U2m)

ej

t]••••x(t)X，若dtdtdxd=Re[Xej

t]=Re[Xej

t]=Re[j

Xej

t]...dtd22例：正弦激励RC一阶电路O

t

iiS(t)已知iS(t)=Ismcos(

t+

i

)，求uC(t)(t≥0)is(t)C+–uC(t)Rt=0解:齐次解:特解:设uCp=Ucmcos(

t+

u)CduCdt+uCR=Ismcos(

t+

i

)uC(0)=0uCh=Ke−t/RC23特解:代入方程:由：得：直接求解较麻烦CduCdt+uCR=Ismcos(

t+

i

)设uCp=Ucmcos(

t+

u)−ωCUCmsin(

t+

u)+UCmRcos(

t+

u)=Ismcos(

t+

i

)Acos

−Bsin=A2+B2cos(+arctg)

ABUCm

1+(

CR)2

cos(t+u+arctg

CR)

=RIsmcos(

t+

i

)

1+(

CR)2UCm=RIsm

u=i

−

arctg

CR故：24设uCp=Ucmcos(

t+

u)用相量法求微分方程特解特解:由唯一性：由线性：由微分：Ism=Ism/

i故：CduCdt+uCR=Ismcos(

t+

i

)Ucm=Ucm/

uPh[CduCdt+uCR]=IsmCPh[duCdt]+1Rph[uC]=IsmCj

UCm+1RUCm=IsmUCm=

i

−

arctg

CR1+j

CRRIsm=1+(

CR)2RIsm25∴K=−Ucmcos(

u)求K：uC(0)=uCh(0)+uCp(0)=K+Ucmcos(

u)=0完全解:CduCdt+uCR=Ismcos(

t+

i

)uC(0)=0齐次解:特解:设uCp=Ucmcos(

t+

u)uCh=Ke−t/RC1+(

CR)2UCm=RIsm

u=i

−

arctg

CRuC(t)=UCmcos(

t+

u)−UCmcos

ue−t/RC完全解26完全响应波形uCp

稳态响应tuCh

暂态响应tuC完全响应tuC(t)=UCmcos(

t+

u)−UCmcos

ue−t/RCUcmcos(

u)−UCmcos

u27用相量法求微分方程特解的条件当激励频率为

时，±j

不是方程的特征根即S1,2≠

±j

若S1,2=

±j

，则方程的特解为Xp=t(Acost+Bsint)

此时相量法不适用28正弦稳态响应1.激励u(t)=Umcos(t+

u

)2.j

不是电路的一个固有频率则响应固有响应强制响应3.若Re[Sk]<0，k=1,…,n电路渐近稳定t→∞正弦稳态响应x(t)=Xmcos(t+

x)(t→∞)x(t)=xp(t)+xh(t)=Xmcos(t+

x)+K1eSt+…+KneSt1n29附：复数相关知识Ox

jyaAa1a2A=a1+ja2=Re(A)+jIm(A)1.直角坐标表示法A=aej

=a/

2.极坐标表示法A=a1+ja2=

acos

+jasin

=a(cos

+jsin

)3.两种表示法的转换

a2A=a/

=

a