电路分析(第2版) 课件 第三章 时域分析法

1第三章时域分析法3.1电容元件与电感元件一、元件定义两块金属板用绝缘介质隔开，就可构成一个电容器，是一种能存储电荷，存储电场能量的器件。++++----uq电容元件（capacitor）：只具有存储电荷和电场能量的特性，不考虑介质损耗等因素。是一种电荷与电压相约束的理想器件2电容定义：二端元件在任意时刻t，电荷q(t)同其端电压u(t)之间的关系可以用u−q平面上的一条曲线确定。电容元件符号u(t)q(t)+––+u、q取关联参考方向正电荷位于正电位的极板u0q电容元件u-q特性3

电流流过导线时，在周围形成磁场。导线绕成线圈以增强磁场，称为电感器或电感线圈，是一种能储存磁场能量的器件。i电感线圈与磁通电感元件（inductor）：只具有存储磁能的能力，不考虑介质损耗等因素。是一种电流与磁链相约束的理想器件4电感定义：二端元件在任意时刻t，电流i(t)同其磁通

(t)之间的关系可以用−i

平面上的一条曲线确定。

(t)i(t)+–电感元件符号i0

电感元件

−i特性

标以+、−，若电流入“+”号，表示电流和磁通满足右手法则

−i关联方向由右手螺旋法则确定：四指→i，拇指→

i电感线圈和磁通

5线性非时变电容和电感非时变电容：

f(u,q)=0非时变电感：

f(i,

)=0线性非时变电容：

q=Cu（q、u为关联参考方向）线性非时变电感：

=Li（

、i为关联参考方向）单位：C：电容量，简称电容，基本单位为法拉（简称法，F或f）

C(库伦)

=

F(法拉)

×V(伏特)

L：电感量，简称电感，基本单位为亨利（简称亨，H或h）

Wb(韦伯)

=

H(亨利)

×A(安培)uq+––iC+

i+–u+–L6实际电容器模型介质非理想绝缘体，存在漏电现象。电容器的较精确模型，应考虑电阻的效应。电容器模型由电容元件并联电阻元件组成。电容器额定参数：电容器除了标明电容量C，还需标明额定工作电压。电容器两端电压越高，聚集的电荷越多，建立的电场电压越大。但电容器介质的耐压有限，过高电压将击穿介质而成为导体！电解电容器：为进一步增大电容量，在介质内部填充固定的电解质，电解质决定了介质的耐压和漏电流，并与所加电压极性有关。这些电容器称为电解电容器，电解电容器除标明电容量和耐压外，还需标明“+”和“–”极性。实际电容模型7实际电感器模型非理想导体，存在能量损耗。电感器的较精确模型，应考虑电阻的效应。电感器模型由电感元件串联电阻元件组成。电感器额定参数：电感器除标明电感量外，还需标明额定工作电流。流过电感器的电流越大，对应内阻发热越多，可能烧毁绝缘层，甚至烧毁整个电感器。过大电流将毁坏电感器！磁芯电感器：为进一步增大电感量，在线圈内部填充铁氧体等磁性材料，这些电感器称为磁芯电感器，磁芯电感器在同样的电流下能产生比没有磁芯时大千百倍的磁链。8电容的串并联等效

1、串联:2个电容串联:C1C2Cnqqq+u1−+u2−+un

−+u

−Cq+u

−9

2、并联C1C2Cnq1q2q3+u−Cq+u−10电容VCR设电容的电压uc与电流ic为关联参考方向，ic流入uc的正极标注为q的+极板。表明当ic为正值时，正电荷向这个极板聚集，因而电荷q的变化率为正，有ucq+–++–icC

ic(t)=dqdt电压u和q取关联参考方向：q=Cuc因此或若u、i为非关联参考方向，以上公式应加负号11电感VCR设电感的电压uL与电流iL为关联参考方向，当iL为正且增加时，

也增加。根据电磁感应定律，当uL与

关联时，即满足右手螺旋法则：拇指→

，四指→u(+→–)，有uL(t)=d

dt电压i和

取关联参考方向：

=LiL因此或

iL+–uL+–L若u、i为非关联参考方向，以上公式应加负号12公式小结（u-i为关联方向）q=C·uC

=L·iLuc+–icC电容iL+–uLL电感13公式小结（u-i非为关联方向）q=C·uC

=L·iLuc+–icC电容iL+–uLL电感14元件特性之一

电容的隔直流的特性

电感的阻交流、通直流的特性uc+–icC电容iL+–uLL电感15元件特性之二

电容电压的连续性和记忆性

电感电流的连续性和记忆性uc+–icC电容iL+–uLL电感16二电容电压和电感电流的连续性换路——开关的动作，电源值的跃变电路在t0时刻换路，以t0−、t0+表示换路瞬间的前后，即t在t0时的左、右极限。

t0−=

t0

−

dt，t0+=t0

+dt，若f(t0+)=f(t0−)，则f(t)在t0处连续+5V－+2V－+u－t=0u(0−)=5Vu(0+)=2Vus=20Vt<8s−10Vt>8sus(8−)=20Vus(8+)=−10V17电容电压的连续性

设电容电压和电流为uC和iC

若iC(t0)<∞（有界），则uC(t0+)=uC(t0−)（连续）证明iC(t0)<∞

uC(t+)=uC(t−)称为“电容电压不能跃变”。动态电路分析中的常用结论，需注意应用的前提条件。当电容电流为无界时不能运用！＝uC(t0−)18电感电流的连续性

设电感电压和电流为uL和iL

若uL(t0)<∞（有界），则iL(t0+)=iL(t0−)（连续）证明uL(t0)<∞iL(t+)=iL(t−)称为“电感电流不能跃变”。动态电路分析中的常用结论，需注意应用的前提条件。当电感电压为无界时不能运用！＝iL(t0−)19例1：若2H电感的电压波形如图所示，已知i(0)=0，绘出电流波形。解：0u(V)t(s)11234–10<t<1s：0i(A)t(s)1/41234–1/41/2i(1)=1/4A1<t<2s：i(2)=−1/4A200i(A)t(s)1/41234–1/41/22<t<3s：i(3)=1/4A3<t<4s：i(4)=1/2A0u(V)t(s)11234–1电感电流不能突变21１、即使电容电流不连续，电压却是连续的：电容电压的连续性质的表现。2、电容特性不能用u−i平面的曲线来描述0i(A)t(ms)–51024680u(KV)t(ms)202468u(0)=0C=1Fu+–iC22电容电压取决于电流的全部历史，“记忆了”电流，记忆元件。若只知道t≥0的电容电流或电感电压，则下式更有实际意义。iC(

)d

=uC(0)+u1(t)

t≥0C1

tuC(t)=uC(0)0+

uC(0)和iL(0)为初始值电感电流取决于电压的全部历史，“记忆了”电压，记忆元件。uL(

)d

=iL(0)+i1(t)

t≥0L1

tiL(t)=iL(0)0+23因此，在t1到t2期间供给电容的能量只与时间端点的电压值u(t1)和u(t2)有关，与此间其它电压值无关。wC(t1,t2)表示了t1到t2期间电容储能状况的改变，式中第一项是t2时刻电容的储能：wC(t2)=12Cu2(t2)p(

)d

wC(t1,t2)=t1t2u(

)i(

)d

t1t2=u(

)C

t1t2=d

dud

=12Cu2u(t2)u(t1)=12C[u2(t2)–u2(t1)]Cudu

=u(t1)u(t2)电容储能公式：设在t1到t2期间对电容C充电，充电电压为u(t)，电流为i(t)，则在此期间电容储存的能量为式中第二项是t1时刻电容的储能：wC(t1)=12Cu2(t1)三功率和能量24电容储能公式：电容电压反映了电容的储能状态。电容C在时刻

t

的储能只与该时刻的电压有关，即wC(t)=12Cu2(t)电感储能公式：电感电流反映了电感的储能状态。根据对偶性，可以证明：电感L

在时刻

t

的储能只与该时刻的电流有关，即wL(t)=12Li2(t)25例3：已知t≥0时u=e–tV，t1时刻u=0.4V。试求这一时刻：（1）iL的变化率？（2）电感的磁通？（3）电感的储能？（4）从电感磁场放出能量的速率？（5）电阻消耗能量的速率？解：先求iL(t)iLL=1H+–uR=1

iL(t)=u/R=e–tA

另解：其中故=1+(e–t–1)=e–tA———26（1）t=t1时电流变化率：（2）磁通：（3）储能：

(t1)=LiL(t1)=Le–t1=0.4Wb12L(0.4)2=0.08J（5）电阻耗能的速率，即功率（4）磁场能量的变化率，即功率为=−u(t1)i(t1)=−0.16WdwLdtpR=iL2(t)•R=e–2t

t=t1

=(0.4)2=0.16Wu=e–t，iL(t)=e–t

，

u(t1)=0.4ViLL=1H+–uR=1

wL(t1)=12LiL2(t1)=3.2动态电路方程及其解一电路的状态27含储能元件的电路：电路方程是微分方程

响应的建立需要时间uR(V)t02+10V−+uR−8

St=02

i+uC−+10V−8

St=02FiuC(V)t010uC(0)二电路的状态变量281、状态变量是反映电路动态特性的一组数量最少的变量。2、若已知t0时的状态变量和t≥t0

时的输入，就能确定在t≥t0时电路中的全部变量。3、能反映电路储能状态的变量：电容电压uC和电感电流iL状态变量：电容电压uC、电感电流iL三电路方程的建立29例1：建立电路方程解：is=iR+iC由KVL:uR−uC=0由VCR:uR=RiR1、建立方程的依据——两类约束由KCL:时间常数30例2：建立电路方程解：由KVL:us=uR1+uR2+uL

由VCR:uR1=R1iL

uR2=R2iL时间常数31例3：建立电路方程+uL-+uS

-+

uC

-+

uR

-LRCiLiCiR解：iL=iR+iC由KVL:uL+uC=uS

uR−uC=0由VCR:uR=RiR以uC为变量，KCL改写成：KVL改写成：由KCL:32以iL，uC为变量，KCL改写成：KVL改写成：整理：状态方程反映了电路状态的演变情况，状态变量的变化率是当前状态和当前输入的函数2、状态方程：由状态变量及其一阶导数和激励函数构成的方程+uL-+uS

-+

uC

-+

uR

-LRCiLiCiR四固有响应和强迫响应、暂态响应和稳态响应331、方程的解设一阶或二阶微分方程：初始条件：y(0)，y’(0)线性微分方程解的结构:y(t)=yh(t)+yp(t)其中:yh(t)为齐次解，yp(t)为特解34齐次解yh(t)

齐次方程：设解为：y=Kest

则代入方程：b2s2y+b1sy+b0y=0特征方程：b2s2+b1s+b0=035（1）一阶方程：b2=0

特征根或固有频率：s=−b0/b1齐次解yh(t)，设解为：y=Kest

特征方程：b2s2+b1s+b0=0∴齐次解

yh(t)=Kest

36（2）二阶方程：特征根为s1、s2（4种情况）

a、两个不相等的实根s1，s2：yh(t)=K1es1t

+K2es2t

b、两个相等的实根s：yh(t)=(K1+K2t)est

c、两个共轭复根：s1=

+j

，s2=

−j

yh(t)=(K1sint

+K2cost)e

td、两个共轭虚根：s1=j

，s2=−j

yh(t)=K1sint

+K2cost

齐次解yh(t)，设解为：y=Kest

特征方程：b2s2+b1s+b0=037特解yp：

形式与激励x(t)相同

输入函数x(t)的形式特解yp(t)的形式PcosbtQ1sinbt+Q2cosbtPQP0+P1t+P2t2Q0+Q1t+Q2t2Pe

t

（≠特征根，一阶）Qe

tPe

t

（

=特征根，一阶）Qte

t将yp(t)代入方程，求各系数（Q或Q0、Q1…）381、齐次解yh(t)：由特征方程、特征根求得yh(t)2、特解yp(t)：形式与激励x(t)相同，

将yp(t)代入方程，求各系数3、求yh(t)中的常数K或K1，K2：以初始条件代入y(t)=yh(t)+yp(t)小结例4：已知uC(0)=U0，求uC（t>0）39RUS+uC－CuC(0)=U0Si解：（1）列方程（2）齐次解：特征方程：RCs+1=0特征根：s=−1/RC令

=RC：s=−1/

40（3）特解：令uCp=Q得：uCp=US（4）求常数K：uC=uCh+uCp=Ke−t/

+US代入初始条件:uC(0)

=K+US=U0∴K=U0

−

US∴uC=(U0

−

US)e−t/

+US(t

≥0)RUS+uC－CuC(0)=U0Si例5：求uC，iL。已知iL(0+)=2A，uC(0+)=5V41解：（1）列方程：Ri+uL+uC=

US1

10V+uC－2FS0.5HiL由KVL由VCR42（2）齐次解：特征方程：s2+2s+1=0

s1=s2=−1

∴uCh=(K1+K2t)e−t

（3）特解：设uCp=Q

∴

uCp=101

10V+uC－2FS0.5HiL43

齐次解：uCh=(K1+K2t)e−t

特解：uCp=10（4）常数：uC=uCh＋uCp=(K1+K2t)e−t

＋

10

代入：uC(0)

=K1＋

10=5∴

K1=−5

又u’C(t)

=−(K1+K2t)e−t

+K2e−t

u’C(0)

=−K1

+K2=1∴

K2=−4∴uC=10−(5

+4t)e−t

V（t

≥0）

iL=C·duC/dt=(2+8t)e−t

A（t

≥0）1

10V+uC－2FS0.5HiL2解的分解44

uC=

(U0

−

US)e−t/

+

US齐次解暂态响应transientresponse,TR

特解稳态响应steady-stateresponse,SSRUS+uC－CuC(0)=U0Si

由激励决定的又称强制响应（forced-response，FR）

由电路决定的（齐次方程，特征根）又称固有响应（naturalresponse，NR）45若

U0=4，US=12uC124t0−8uCTRuCSS暂态/固有响应的作用：调整初始值与稳态值之间的差距RUS+uC－CuC(0)=U0Si

uC=

(U0

−

US)e−t/

+

US齐次解暂态响应transientresponse,TR

特解稳态响应steady-stateresponse,SS46uC=−(5

+4t)e−t

+10iL=(2+8t)e−t1

10V+uC－2FS0.5HiLiL(0+)=2A，uC(0+)=5V齐次解暂态响应固有响应

特解稳态响应强制响应3一阶网络的暂态/稳态响应47

uC=uCTR+

uCSS

uC=

Ke−t/

+US

一阶电路的暂态响应：

uCTR=Ke−t/

iLTR=Ke−t/

（一阶RC电路：=RC；一阶RL电路：=GL）二阶电路的暂态响应：

4种形式，由特征方程求特征根得到RUS+uC－CuC(0)=U0Si48

直流激励下的稳态响应：电容：uCSS=uC(∞)

直流稳态

uC(∞)恒定

iC

=0

电容等效为开路电感：iLSS=iL(∞)

直流稳态

iL(∞)恒定

uL

=0

电感等效为短路RUS+uC－CuC(0)=U0Si

uC=uCTR+

uCSS

uC=

Ke−t/

+US例6：在t=0时开关闭合。求t≥0时的iL和uL。49解：初始值：iL(0-)=iL(0+)=0

il(t)由暂态响应和稳态响应组成。iLSS=

iL(∞)=4A稳态响应暂态响应=GL=0.1；iLTR=Ke–10t

iL(t)

=iLTR+iLSS=

Ke–10t

+4代入初始条件：iL(0)

=K+4=0∴

iL(t)=4–4e–10t

At≥0

uL(t)=0.2diL/dt=8e–10t

t≥02

8V0.2HiL+uL－得

K=−44一阶网络的固有频率与固有响应50特征根：RCs+1=0

s=−1/RC

C含源电阻网络R+uC－C+Us－L含源电阻网络RiLL+Us－特征根：Ls+R=0

s=−R/L

固有响应：uCNR=Kest

iLNR=Kest51电容电路中，令

=RC，为时间常数量纲：RC=Rq/u=q/(u/R)=q/i=t

（时间，秒s）电感电路中，令

=L/R=GL，为时间常数量纲：L/R=(

/i)/R=

/(Ri)=

/u=t

（时间，秒s）

∴s=−1/

，具有频率量纲，为固有频率R+uC－C+Us－特征根：RCs+1=0

s=−1/RC

RiLL+Us－特征根：Ls+R=0

s=−R/L

电路特征方程的特征根

——电路的固有频率520Ktys1s2s1<s2<0(

1<

2)s3=0s4>0固有响应uCNR=Kest

，iLNR=Kest

时间常数

，固有频率

s=−1/

决定了固有响应y

衰减的快慢y=Kest

53电容电路：uC=US+Kest

（s=−1/

）若uC(0)

=0

则K=−US

uC=(1−

e−t/

)·US(t≥0)t0

2

3

4

5

∞uC00.63uS0.87uS0.95uS0.98uS0.99uSuS当t=(3~5)

时，uC已达稳态

0UStuCR+uC－C+Us－54

uC=

(U0

−

US)e−t/

+

US齐次解暂态响应transientresponse,TR

特解稳态响应steady-stateresponse,SSRUS+uC－CuC(0)=U0Si

由激励决定的又称强制响应（forced-response，FR）

由电路决定的（齐次方程，特征根）又称固有响应（naturalresponse，NR）3.5一阶电路的三要素公式

uC=

(UC(0)−

UC(∞))e−t/

+

UC(∞)55

uC=

(U0

−

US)e−t/

+

USRUS+uC－CuC(0)=U0Si3.5一阶电路的三要素公式

uC=

(UC(0)−

UC(∞))e−t/

+

UC(∞)TRSSx(t)=[x(0)–x(∞)]e–t/

+x(∞)三要素：初始值x(0+)、稳态值x(

)和时间常数

一响应的一般形式56状态变量：非状态变量：f(t)=[f(0+)–f(∞)]e–t/

+f(∞)证明：设外激励为直流W，根据置换定理和叠加定理f(t)=k1W+k2x(t)=k1W+k2{[x(0+)–x(∞)]e–t/

+x(∞)}=k1W+k2x(∞)+k2[x(0+)–x(∞)]e–t/

∵f(∞)=k1W+k2x(∞)f(0+)=k1W+k2x(0+)

f(0+)–f(∞)=k2x(0+)–k2x(∞)

∴f(t)=f(∞)+[f(0+)–f(∞)]e–t/

证毕x(t)=[x(0+)–x(∞)]e–t/

+x(∞)57三要素法：在直流一阶电路中的所有电流和电压f(t)都可以在求得它们的初始值f(0+)、稳态值f(

)和时间常数

后，直接写出:一般要求

满足0<

<。但实际上，

<0也能使用本方法，因此只要

≠0即可。f(t)=[f(0+)–f(∞)]e–t/

+f(∞)二三要素的计算58L+us–R1R2S1、时间常数

：（1）求t>0（换路后）时动态元件两端的戴维宁等效电阻R0（2）

=R0C（电容）或

=G0L（电感）时间常数

是开关换路（这里是闭合）后的时间常数

=L/R2592、稳态值f()

求t=

（换路后）的直流稳态值（C开路、L短路）iL(0)=0，iL(

)=5AuC(0)=10V，uC(

)=0+10V–2

S3

1H1F+uC–iL603、初始值f(0+)

f(0+)=k1W+k2x(0+)两步（1）求状态变量初始值

x(0+)：

t<0（换路前）的稳态值x(0-)（C开路、L短路）

若x(0+)=x(0−)不违反KVL、KCL，则x(0+)=x(0−)

否则，用电荷守恒、磁链守恒计算x(0+)（跃变）（2）求非状态变量初始值f(0+)：作t=0+（换路后）等效电路；

以独立源置换x(0+)，求f(0+)61例1：开关断开前电路已稳定，求在开关断开后各电压电流的初始值。解：先求uC(0)，再求其它初始值。10V+–20k

30k

0.1Ft=0−

等效电路10V+–20k

30k

+–uC(0−)10V+–20k

30k

6V+–iC(0+)i1(0+)t=0+

等效电路i+uR−uC(0–)=10×3030+20=6V

故

uC(0+)=6Vi1(0+)=0i(0+)=iC(0+)=(10–6)/20=0.2mAuR(0+)=Ri(0+)=4V62例2：求电路在开关闭合后各电压、电流的初始值。在开关闭合前电路已经稳定。解：先求iL(0)。10V+–R1=4

0.1HR=1

iLiL(0–)=101+4=2At=0–等效电路10V+–R1=4

R=1

iL(0–)=2Ai1(0–)=0故iL(0+)=2Ai1(0+)=8Ai(0+)=10AuR(0+)=10VuR1(0+)=8V10V+–R1=4

R=1

t=0+等效电路iL(0+)i1(0+)63从波形图找三要素：f(t)=[f(0+)–f(∞)]e–t/

+f(∞)t0f(0)f(∞)f(t)τt0f(0)f(∞)f(t)τ64例3：（1）已知i(0)=–5A，i(

)=10A，

=2s，试绘出i(t)按指数变化的波形图，并写出i(t)的表达式。（2）已知i(0)=–5A，i(

)=–15A，

=3s，重复（1）中要求。解：（1）

i(t)=[i(0)–i(

)]e–t/

+i(

)=10–15e–t/2

Oi(A)t(s)10–524684.48（2）i(t)=[i(0)–i(

)]e–t/

+i(

)=–15+10e–t/3

Oi(A)t(s)–15–53–11.32691265例4：电路在t=0时刻开关由a转向b。绘出i(t)、iL(t)的波形图，并写出表达式。设换路前电路已稳定。3ViL(t)1

1

2

i(t)3Hba3V解：（1）求

。开关转向b以后，戴维宁等效电阻为

R0=1+2/3=5/3

时间常数：

=L/R0=9/5s（2）求iL(

)和i(

)此时电感相当于短路。1

1

2

i(

)3Vt=

时的等效电路iL(

)i(

)=95A，iL(

)=65A663i(0+)+2∙(6/5)=3i(0+)=0.2A51

1

2

i(0+)A3Vt=0+时的等效电路6（3）求iL(0+)和i(0+)。

换路前电路已稳定，电感相当于短路，故iL(0+)=iL(0–)=–56A3ViL(t)1

1

2

i(t)3Hba3V时间常数：

=L/R0=9/5si(

)=95A，iL(

)=65A67Oi(A)t(s)95651565–

iL(t)i(t)得：iL(t)=1.2–2.4e–5t/9Ai(t)=1.8–1.6e–5t/9Ai(0+)=0.2AiL(0+)=–56A时间常数：

=L/R0=9/5si(

)=95A，iL(

)=65A68例5：开关在t=0时闭合，（1）

=10，（2）

=–5，求iL解：戴维宁等效求uOC：因i1=4

故uOC=

i1+4i1=4

+16

42H–

i1+iLi14Au=4+

∴R0=u/i1=4+

4–

i1+iLi1+u–2H+

16+4

–iL4+求R0：电流源开路，设i1=169

=2/(4+

)

iL(0)=0，iL(∞)=4（1）

=10

=2/(4+10)=1/7

∴iL(t)=4–4e–7tA（t

≥0）（2）

=–5

=2/(4–5)=–2∴iL(t)=4–4et/2A（t

≥0）42H–

i1+iLi14A2H+

16+4

–iL4+70故

=

1，

uC(t)

=12−10e−t

V(t≥0)设i1=1，则u=4+4+2=10V

R0=10Ω例6：已知uC(0)

=2V，求uC(t)（t≥0）i1

=2，uOC=4i1+2i1=12VR0：

10Ω+uC－0.1F+12V－4Ω+uC－0.1F4Ω+2i1−2Ai1t=0解：（1）求戴维宁等效

uOC:i14Ω4Ω+2i1−2A+uOC－4Ω4Ω+2i1−i1+u－71图示电路处于稳定状态，iL(0)=2A，求uL。iL(t)

=2e−4t

V(t≥0)uL(t)

=−16e−4t

A(t≥0)72例6：开关在t=0时闭合，已知uC1(0−)=1V，uC2(0−)=0V。

求uC1。解：求

（t>0）：

C=(1×0.5)/(1+0.5)=1/3F

=1s求uC1(0+)：∵i=(uC1

–uC2)/3<∞

∴

uC1(0+)=uC1(0−)=1V求uC1(∞)：方法1

∵i(∞)=0∴uC1(∞)=uC2(∞)

又∵电荷守恒3+

uC1

–+

uC2

–1F0.5F

q=q1(0)+q2(0)=q1(∞)+q2(∞)

q=C1uC1(0)+C2uC2(0)=C1uC1(∞)+C2uC2(∞)=(C1+C2)uC1(∞)

q=1×1+0.5×0=1C∴uC1(∞)=1/(C1+C2)=2/3V

uC1(t)=(2/3)+(1/3)e−tV（t

≥0）73求uC1(∞)：方法2

∵i(∞)=0∴uC1(∞)=uC2(∞)∴2uC1(∞)+uC2(∞)=23uC1(∞)=2

uC1(∞)=2/3V3+

uC1

–+

uC2

–1F0.5F

=1suC1(0+)=1VuC1(t)=(2/3)+(1/3)e−tV（t

≥0）3.4动态电路的响应74零输入响应zeroinputresponse：电路在没有外加激励时的响应，仅由非零初始状态引起

零状态响应zerostateresponse：电路在零初始状态时的响应，仅由外输入引起完全响应=零输入响应+零状态响应1、零输入响应zeroinputresponse75

电路在没有外加激励时的响应，仅由非零初始状态引起在初始时刻如果已储能（电容电场储能、电感磁场储能），即可引起零输入响应。例：电路如图所示。在t<0时开关S1闭合，电容被充电到电压U0；在t=0时刻开关S1断开而同时开关S2闭合。Us=U0+–C+–U0RS1S2uC(0)

=U0

t≥0+–uC(t)i(t)CR76

定性分析：在t=0的瞬间，电容电压为多少？根据电容电压不能突变的基本准则，这一瞬间的电容电压仍然为U0。电流将从0变为U0/R。此后通过电阻放电，电压和电流逐渐减少为零。储存的电能被电阻消耗并转化为热能散发。初态uC(0+)=

U0i(0+)=U0/RuC↓i↓i>0稳态i(∞)=0uC(∞)=0uC(0)

=U0+–uC(t)i(t)CR77由三要素法：uC(∞)=0τ=RCuC(0)

=U0

得：uC(t)=U0e–t/RC

=U0e–t/

(t≥0)uC(0)

=U0

t≥0+–uC(t)i(t)CR(t>0)78t=0：由于电感电流不能突变，L仍具有初始电流

I0。随t

增加而iL逐渐衰减为零。电感储能转化为电阻热能被消耗S2Is=I0LRS1abc初态iL(0+)

=I0uL(0+)

=−RI0LuL=diLdt=−RiLiL↓|uL|↓uL<0稳态iL(∞)=0uL(∞)=0iL(t)+–uL(t)RL79由三要素法：iL(∞)=0τ=L/RiL(0)

=I0得：iL(t)=I0e–t/

（t≥0）uL(t)=LdiLdt=−RI0e–t/

（t>0）iL(0)

=I0iL(t)+–uL(t)RL80零输入响应总结：零输入响应在激励为零时，由非零初始状态产生。取决于电路的初始状态和电路的特性（

或固有频率s）。零输入响应从初始值开始，按指数规律衰减到零。零输入响应的一般形式fZIR(t)=f(0+)e–t/

（

t≥0）RC电路：

=RCRL电路：

=L/R=GL零输入响应的比例性若f(0+)→fZIR(t)

则αf(0+)→αfZIR(t)81例1：已知t=0时开关断开，求uab(t)，t≥0。10V+–1F+–4

9

uC3

1

8

abcd解：1、求uC(0+)：uC(0–)=10V，

uC(0+)=uC(0–)=10V2、求

（t>0）(4+8)×(3+1)(4+8)+(3+1)Rcd=9+=12

=RcdC=12×1=12s3、求uC(t)：uC(t)=10e–t/12V（t

≥0）824、用电压源置换电容10e–t/12

V+–4

9

3

1

8

abcii1i2uC(t)=10e–t/12V（t

≥0）10V+–1F+–4

9

uC3

1

8

abcd2、零状态响应zerostateresponse83以电容电路为例：t<0时，三个元件的电压均为零t≥0时：uCC=iC=IS–duCdtR初态uC(0+)=

0iC(0+)=ISiR(0+)=0uC↑iR↑iC↓iC>0稳态iC(∞)=0iR(∞)=ISuC(∞)=RIS+IsC–uC(t)Ri84由三要素法：uC(∞)=RISτ=RCuC(0+)=0得：

uC(t)=RIS−RISe–t/

=RIs(1

e–t/

)

（t≥0）IsC+–uC(t)R85零状态响应总结：1、直流作用下的零状态响应：在直流电源作用下，RC和RL电路内的储能元件的储能从无到有，按指数规律逐步增长到稳定2、零状态响应是状态变量从零初始值开始，增长到稳态值3、直流一阶电路状态变量的零状态响应的一般形式RC电路：uCZSR(t)=uC(∞)(1

e–t/

)

uC(∞)=电容的开路电压，

=RCRL电路：iLZSR(t)=iL(∞)(1

e–t/

)

iL(∞)=电感的短路电流，

=L/R=GL4、零状态响应的比例性与叠加性

若激励w

→ZSR(t)则αw→αZSR(t)若w1→ZSR1(t)，w2→ZSR2(t)则w1、w2→ZSR1(t)+ZSR2(t)3、零输入响应和零状态响应的叠加86由初始状态和输入共同作用所产生的响应称为完全响应（completeresponse）含储能元件的线性电路的叠加定理：

完全响应是零输入响应与零状态响应之和激励外输入初始状态零状态响应零输入响应+完全响应87完全响应=零输入响应+零状态响应uC(t)=uCZIR(t)+uCZSR(t)

iL(t)=iLZIR(t)+iLZSR(t)=+激励+−完全响应具有初始状态的网络零输入响应具有初始状态的网络激励+−零状态响应初始状态为零的网络88例2：设uC(0)=U0≠0，求uC(t)解一：三要素法uC(∞)=RISτ=RCuC(0+)=U0得：uC(t)=RIS+(U0

RIS)

e–t/

（t

≥

0）解二：τ=RC零输入响应：uCZIR=uC(0)e–t/

=U0e–t/

零状态响应：uCZSR=uC(∞)(1

et/

)=RIS(1

et/

)完全响应：uC(t)=U0e–t/

+

RIS(1

e–t/

)

（t≥0）Ct=0IS+uC−R89

uC(t)=(U0–RIS)e–t/

+RIS=U0e–t/

+RIS(1–e–t/

)直流激励下完全响应的2种分解方法TRSSZIRZSRx(t)=[x(0)–x(∞)]e–t/

+x(∞)=x(0)e–t/

+x(∞)(1–e–t/

)t0x(0)x(∞)x(0)–x(∞)TRSSx(t)t0x(0)x(∞)ZIRZSRx(t)Ct=0IS+uC−R90须按ZIR+ZSR解题的情况1、有多个不同性质的激励w1、w2……计算xZIR计算w1→xZSR1，w2→xZSR2……最后：x=xZIR+xZSR1+xZSR2+…2、某激励或初始值大小发生变化，重复计算计算xZIR和xZSR,

第一种情况结果：x=xZIR+

xZSR

第二种情况结果：由ZIR或ZSR比例性得到91从完全响应分解各响应分量（直流一阶电路）1、ZIR和ZSR的分解计算x(0)=x(t)|t=0

xZIR=

x(0)e−t/τ

xZSR=x(t)−xZIR2、TR和SS的分解计算xSS=x(∞)=x(t)|t=∞

xTR

=x(t)−xSS92例3：已知iL(t)=4–2e–tA（t≥0），

uR(t)=1–0.25e–tV（t>0）。若初始值

变为iL(0)=10A，求uR(t)，iL(t)（t>0）L含源电阻网络+uR–iLR解：（1）先求状态变量iL(t)，从iL(t)分解ZIR和ZSR：

ZIR：iLZIR(t)=iL(0)e–t

=2e–tZSR:iLZSR(t)=iL−iLZIR

=4(1–e–t

)∴iL(t)=10e–t

+4(1–e–t

)=4+6e–t

（2）求uR(t)，根据叠加定理，设uR(t)=aw+biL

uR(t)=1–0.25e–t=aw+biL=aw+b(4–2e–t)aw+4b=1−2b=−0.25得：aw=0.5，b=1/8∴

uR(t)=0.5+(4+6e–t)/8=1+0.75e–t

93例4：已知uS波形，讨论当τ>>T和τ<<T时的uRC+uR－R+uS－+uC−解：（1）τ<<T

（具体为T≥3

）：

当0<t<T时，属零状态响应

uC=US(1–e–t/

)（0<t<T）

uR=US–uC=USe–t/

（0<t<T）

区间终点：uC(T)=US（完成充电）

uR(T)=0OtT2T3T•••us(t)Us当T<t<2T时，属零输入响应初始值：uC(T)=USuC=USe–(t−T)/

（T<t<2T）（完成放电）uR=–uC=–USe–(t−T)/

（T<t<2T）以后，周期性重复OtT2T3TuR(t)UsuCτ<<T：微分电路uC(0+)=094（2）τ>>T

（具体为T≤3

）：当0<t<T时，属零状态响应

uC=US(1–e–t/

)（0<t<T）

uR=US–uC=USe–t/

（0<t<T）

区间终点：uC(T)=U0（未完成充电）

uR(T)=US–U0OtT2T3T•••us(t)Us当T<t<2T时，属零输入响应初始值：uC(T)=U0uC=U0e–(t−T)/

（T<t<2T）（未完成放电）uR=–uC=–U0e–(t−T)/

（T<t<2T）OtT2T3TuR(t)UsuC经若干周期达到平衡：电容充多少放多少uR波形近似uSC+uR－R+uS－+uC−uC(0+)=095例5：继电器电路及其等效电路如图。继电器吸合电流为18mA，（1）晶体管由截止到导通后多少时间继电器吸合？（2）继电器吸合很久后，晶体管在截止瞬间，ce间电压uce为多少？继电器+24V－ecb截止+24V－导通1K

1H100K

继电器晶体管eci解：（1）晶体管导通前（截止）的电流

i(0−)=24/101=0.24mA

导通后电流的稳态值

i(∞)=24/1=24mA

导通后时间常数：τ=1/1000

导通后电流:I=iZIR+iZSR

i=0.24e–1000t+24(1−e–1000t)=24−23.76e–1000tmA

令i=18，得t=1.376ms96（1）已求得导通后电流:

i=24−23.76e–1000tmA（2）晶体管截止前的电流

i(0−)=24mA

截止瞬间电流不能跳变：

i(0+)=i(0−)=24mA

截止瞬间ce间电压uce：

uce(0+)=100i(0+)=2400V

必须加保护二极管继电器+24V－ecb截止+24V－导通1K

1H100K

继电器晶体管eci3.6阶跃函数和阶跃响应一、定义二、表示信号三、阶跃响应四、分段常量信号的完全响应97一阶跃函数的定义98单位阶跃函数

(t)：

(t)=0t<01t>0

(t–t0)=0t<t01t>t0Ot1(a)Ot1(b)(a)单位阶跃函数(b)延迟单位阶跃函数

(t)

(t–t0)

t0延时的单位阶跃函数99

(t0–t)=0t>t01t<t0Ot1(a)Ot1(b)

(-t)

(t0–t)

t0反转的单位阶跃函数二用阶跃函数表示信号

1008V网络Nt=0+–用单位阶跃函数表示直流电压在t=0时作用于网络（1）在t=0时刻对网络施加电源，相当于施加了阶跃函数的电源。网络N8

(t)V+–101Ist=0itIsi0Is

(t)

102（1）表示在t=0时刻对网络施加的电源（2）表示分段常量信号：相当于各延迟的阶跃函数之和。OtAA(t)Ot–A–A

(t–t0)

t0OtAf(t)

t