2025-2026学年河南省郑州二十一中八年级（下）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年河南省郑州二十一中八年级（下）开学数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A. B. C. D.2.三边长分别为2、3、4的三角形不是直角三角形，这个论断的依据是（）A.勾股定理的逆定理 B.勾股定理

C.直角三角形两锐角互余 D.以上都不对3.祖冲之是把圆周率精确到小数点后7位，领先世界约1000年.数学活动课上，小红对圆周率的小数点后100位数字进行了统计：数字0123456789频数881211108981214则圆周率的小数点后100位数字的上四分位数、下四分位数为（）A.8，2 B.2，8 C.12，12 D.12，84.如图，小强在地面上N处站立，距离垂直于地面的墙8米，在距离小强2米的点B处放置平面镜，小强用激光笔从点M向点B发出一束光，光在经过点B反射后照射在墙上A处，此时激光笔的发光点M距离地面1.5米.以OB所在的水平线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy,点M的坐标为（8，1.5），则点A的坐标为（）A.（0，1.5） B.（0，3） C.（0，4.5） D.（0，6）5.下列命题中，假命题的个数有（）

（1）相等的角是对顶角

（2）如果a∥b,a∥c,那么b∥c

（3）同旁内角互补

（4）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直

（5）立方根等于它本身的数其算术平方根也等于它本身A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6.如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯.甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度h（单位：m）与下行时间x（单位：s）之间的函数关系为，乙离一楼地面的高度y（单位：m）与下行时间x（单位：s）的函数关系如图2所示.下列选项错误的是（）A.二楼离地面的高度为6米

B.乙从二楼沿步行楼梯到地面用时30秒

C.当下行10s,乙离地面的高度比甲离地面的高度大1米

D.乙先到达一楼地面7.若m=6n（m、n是正整数），且，则与实数的最大值最接近的数是（）A.3 B.4 C.5 D.68.学校组织七年级362名同学去东钱湖研学.现已预备了大客车和中巴车共10辆，其中大客车每辆可坐55人，中巴车每辆可坐8人，刚好坐满.若设预备了大客车x辆，中巴车y辆，依题意列方程组正确的是（）A. B.

C. D.9.如图是一块长方体木块，长BC=5cm,宽CD=4cm,高DD1=5cm,棱DD1上的点P处有一滴蜂蜜，DP=3cm,一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点B处，沿着长方体的表面爬行到点P处吃蜂蜜，那么蚂蚁需要爬行的最短路径的长是（）A.

B.

C.

D.10cm10.如图，在边长是4的菱形ABCD中，∠B=120°，点P从B出发，沿折线BC→CD→DA运动，设点P的运动路程为x,△APB的面积为y,则能反映y与x之间函数关系的图象大致是（）

​

A. B.

C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.这组数据1，3，5，2，8，13的中位数是______.12.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB、BD于M、N两点.若，则正方形ABCD的边长为

.

13.若两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少10，则这两个角的度数分别为

.14.A，B两地相距14千米，甲、乙两人都从A地去B地，图中l1和l2分别表示甲、乙两人所走路程s（千米）与时间t（小时）之间的关系.则乙出发

小时后，两人相距2千米.

15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=52°，D、E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE折叠得到△FDE，且满足EF∥AB，则∠EDF=

.

三、解答题：本题共7小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题10分)

（1）计算；

（2）解方程组：.17.(本小题10分)

为了解八年级各班男生引体向上情况，随机抽取八（1）班、八（2）班各5名同学进行测试，其有效次数分别为：八（1）班：7，10，8，10，10；八（2）班：9，9，8，9，10．现从平均数、众数、中位数、方差四个统计量对两个班男生的测试数据做如下分析：组别平均数众数中位数方差八（1）班9b9d八（2）班a9c0.4根据以上信息，回答下列问题：

（1）请直接写出a，b，c，d的值．

（2）请从众数和方差两个方面对八（1）、八（2）两班男生引体向上的成绩作出评价．

（3）如果男生引体向上有效次数10次的成绩为满分，不考虑其他因素，请以这10名同学的成绩为样本，估计八年级300名男生引体向上成绩达到满分的人数．18.(本小题10分)

如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上.

（1）在图中画出与△ABC关于直线MN成轴对称的△DEF；

（2）求△ABC的面积；

（3）在直线MN上找一点P，使PB+PC的长最短.19.(本小题10分)

综合与实践

数学活动课上，小明用尺规作图法探究直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

【动手操作】如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，小明同学设计如下作图步骤：作AC的垂直平分线交AB与点D，垂足为点E，连接CD.

（1）请根据小明同学设计的步骤在图中完成作图过程（要求：用尺规作图并保留作图痕迹，不写作法）.

【证明结论】（2）证明；CD=AB；

【拓展应用】（3）若Rt△ABC的周长为24，∠C=90°，AC=8，求AB边上的中线长.20.(本小题10分)

【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°.当模型中有相等的线段时，则模型中就有可能存在全等三角形.

（1）①如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作线段DE，使AD⊥DE，BE⊥DE，则CD与BE的数量关系是______

.

②如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作线段CE，使BE⊥CE，过点A作AD⊥CE于点D，若AD=2.5，DE=1.6，则BE的长为______

.

【变式运用】

（2）如图3，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=∠CDA=90°，CD=2，求△BDC的面积.

【拓展迁移】

（3）如图4，在△ABC中，AB=AC，BC=6，S△ABC=15，以AC为边向右侧作一个等腰直角三角形ACD，连接BD，请直接写出△BCD的面积.

21.(本小题10分)

2024年成都国际汽车展览会上的多款新能源汽车受到人们的喜爱，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行尝试销售.据了解，2辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计70万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计115万元.

（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？

（2）若该公司计划用400万元且刚好用完，购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元.问：若购进A种型号的汽车a辆，求本次销售两种型号的汽车获得的总利润w（万元）与a（辆）之间的函数关系式.22.(本小题15分)

一次函数y1=ax+b（a≠0）恒过定点（1，0）．

（1）若一次函数y1=ax+b还经过（2，3）点，求y1的表达式；

（2）若有另一个一次函数y2=bx+a．

①点A（m,p）和点B（n,p）分别在一次函数y1和y2的图象上，求证：m+n=2；

②设函数y=y1-y2，当-2≤x≤4时，函数y有最大值6，求a的值．

1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】D

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】A

10.【答案】C

11.【答案】4

12.【答案】

13.【答案】5°，5°或132.5°，47.5°

14.【答案】1

15.【答案】71°

16.【答案】4

17.【答案】解：（1）八（1）班的测试数据中，10的次数最多，因此甲的众数是10，b=10，

八（2）班的平均数a=×（9+9+8+9+10）=9，

将八（2）班的测试数据从小到大排列为8，9，9，9，10，处在第3位的数是9，因此中位数是9，即c=9，

八（1）班的方差d=[（7-9）2+（8-9）2+3×（10-9）2]=1.6；

∴a=9，b=10，c=9，d=1.6；

（2）八（1）班的方差大于八（2）班的方差，因此八（2）班比较稳定，

八（1）班的众数大于八（2）班的众数，因此八（2）班成绩达到满分的人数较多；

（3）300×=120（人）．

答：估计八年级300名男生引体向上成绩达到满分的人数为120人．

18.【答案】与△ABC关于直线MN成轴对称的△DEF，如图1即为所求；

3

使PB+PC的长最短的点P，如图2即为所求．

19.【答案】画图见解答

证明见解答

AB边上的中线长为5

20.【答案】CD=BE;0.9

（2）2

（3）9或12或24

21.【答案】解：（1）设A种型号的汽车每辆进价x万元，B种型号的汽车每辆进价y万元，

由题意可得：，

解得，

答：A种型号的汽车每辆进价25万元，B种型号的汽车每辆进价20万元；

（2）由题意可得，

w=0.8a+0.6×=0.05a+12，

即本次销售两种型号的汽车获得的总利润w（万元）与a（辆）之间的函数关系式是w=0.05a+12．

22.【答案】（1）解：∵一次函数y1=ax+b经过点（1，0）和点（2，3），

∴a+b=0，2a+b=3，解得：a=3，b=-3，

∴y1的表达式为：y1=3x-3；

（2）①证明：∵一次函数y1=ax+b（a≠0）恒过定点（1，0），

∴a+b=0，

∴b=-a,

∴y1的表达式为：y1=ax-a,

∵y2=bx+a,

∴y2=-ax+a,

∵点A（m,p）在一次函数y1=ax-a的图象上，

∴p=ma-a,

∵点B（n,p）在一次函数y2=-ax+a的图象上，

∴p=-na+a,

∴ma-a=-na+a,

即ma+na=2a,

∵a≠0，

∴m+n=2；

②解：由①得y1=ax-a,y2=-ax+a,

∵y=y1-y2