广西桂林市国龙外国语学校2026届高三下学期3月月考数学试卷（含解析）

广西桂林市国龙外国语学校2026年3月高三月考数学试卷一、选择题(每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知sinθ⋅tanθ<0,则角A.第一、二象限角B.第二、三象限角C.第二、四象限角D.第三、四象限角2.若复数z=1i，它的共轭复数为z，则A.2B.2C.1D.13.已知集合A={x∣−1<A.{x∣1<x<4.已知双曲线C:x2a2−y2b2=A.3B.2C.3D.45.已知命题p:x∈x x−1x+1<0,命题A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.若正整数a,b满足20262025=2027a+b,其中0A.2024B.2025C.2026D.20277.已知随机变量X,Y均服从两点分布,且PX=1=12A.25B.35C.78.已知函数fx=sinx,将fx图象上点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变),再将所得图象向右平移π12个单位长度,得到函数gx的图象.若∀α∈−5π12,−π4A.π4,π3B.π二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.)9.已知函数fx=A.fxB.fxC.直线2x−y+2=0D.若fax≥fln10.已知数列an满足a1=A.数列1an是等差数列C.数列1an的前n项和Tn=nn11.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0()A.当∠F1PF2=2π3B.存在过点M1,1的直线与双曲线C相交于A,B两点,且点MC.△PF1F2的内切圆与x轴切于点D.过点P分别作两条渐近线的垂线,垂足为D,E,则两垂足距离最短为三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.)12.已知点A2,y1在抛物线y2=8x上，13.已知定义在R上的函数fx满足f1013=2026,对任意的实数x1、x2,且x14.已知球O的半径为2,圆锥OO1的底面圆周在球O的球面上，AB是圆O1的一条弦，且二面角O−AB−O1为45∘四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，向量m(1)求A；(2)若BD=2DC，AD=416.如图，在四棱锥P−ABCD中，AD=CD=PD=2AB=4，PD⊥平面ABCD，AB//CD,(1)若点G满足PC=4PG，求证:直线AG与直线(2)求二面角B−AF17.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为22，上下顶点分别为A,B，且(1)求椭圆C的方程；(2)若直线AM与直线y=4相交于点P,求证:B18.已知函数fx(1)若f1=−1，求函数(2)若关于x的不等式gx≤0恒成立，求整数(3)当0<a<1时，函数gx恰有两个不同的零点x1,x219.羽毛球比赛中,首局比赛由裁判员采用抛球的方法决定谁先发球,在每回合争夺中,赢方得1分且获得发球权.每一局中,获胜规则如下:①率先得到21分的一方赢得该局比赛;②如果双方得分出现20:20,需要领先对方2分才算该局获胜;③如果双方得分出现29:29,先取得30分的一方该局获胜.现甲、乙两名运动员进行对抗赛,在每回合争夺中,若甲发球时,甲得分的概率为p;乙发球时,甲得分的概率为q.(I)若p=q=23,记“甲以21:ii≤19,i∈N(II)根据对以往甲、乙两名运动员的比赛进行数据分析,得到如下2×2列联表部分数据.若不考虑其它因素对比赛的影响,并以表中两人发球时甲得分的频率作为p甲得分乙得分总计甲发球50100乙发球6090总计190①完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“比赛得分与接、发球有关”？②已知在某局比赛中，双方战成27:27，且轮到乙发球，记双方再战X回合此局比赛结束，求X的分布列与期望.参考公式:K2=nad−临界值表供参考:P0.150.100.050.0100.001k2.0722.7063.8416.63510.8281.B由已知θ≠若sinθ>0,则θ是第一、二象限角;若sinθ<0若tanθ>0,则θ是第一、三象限角;若tanθ<0因为sinθ⋅tanθ<0,所以sinθ情况一:sinθ>0且tanθ<0情况二:sinθ<0且tanθ>0综上,角θ是第二、三象限角.2.C根据复数的除法可得z=−i,即可得−z由题意知复数z=1i=−i则z⋅3.DB=x∣x2−5x+44.B【解析】先得到双曲线C的渐近线,然后根据渐近线与圆相切,利用点到直线的距离等于半径,得到a和c的关系,求出离心率,得到答案.双曲线C:x2a因为两条渐近线均与圆x−a所以点a,0到直线y=b即d=又因为c整理得到c=故双曲线C的离心率为e=故选:B.【点睛】本题考查求双曲线渐近线,根据直线与圆相切求参数关系,求双曲线的离心率,属于简单题.5.D将分式不等式转化为一元二次不等式求解,再根据集合之间的包含关系判断.x−1x+1<0等价于{因为{x∣−1<x<1}和{x∣6.C由题意可得20262025=2027−120252026==对照20262025=2027a+b7.D利用全概率公式,由PX=1,Y=由于X服从两点分布,且PX因此PX由全概率公式得PY即23所以PX=0,Y故选:D8.B由函数图象平移及伸缩变换得到gx=sin2x−π6将fx图象上点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变),再将所得图象向右平移π可得:gx当α∈−5π12,−则gα因为存在唯一实数β∈0,m即0,32是gβ的子集,且由gx=singg所以实数m的取值范围为π4故选:B9.BD求出f′x=lnx+1x+1,令gx=lnx+1x+1,根据gx的单调性得f′x>0可判断A;结合fx在0,+∞上单调性及f1=0可判断B;令f′x由题意得函数的定义域为{x对于A,f′x=lnx+1x+当x∈0,1时,g′x<0所以gx在0,1上单调递减,在所以gxmin=g1所以fx在0,+∞上单调递增,所以fx没有极值点,故对于B,因为fx在0,+∞上单调递增,f1=0,所以故B正确;对于C,令f′x=lnx+1x+1所以切线方程为y=2x−1,即2x−对于D,因为fx在0,+∞上单调递增,fax≥f可得x>1,所以令hx=lnxx当x∈1,e时,h′x>0,当所以hx在1,e上单调递增,在e,+∞所以hxmax=he故选:BD.10.AC根据等差数列的定义即可判断A;根据等差数列的通项公式即可判断B;根据等差数列的前n项和公式即可判断C;根据等差数列的单调性即可判断D.对于A,由a1=3,1所以数列1an是以1a1=13为首项,对于B,由A知1an=13+13n−对于C,由数列1an是以1a1=1知Tn=13+n对于D,因为1an+1−1an=111.ACD先求出双曲线的标准方程,再围绕双曲线的几何性质和相关定理,逐一分析四个选项:选项A:先利用双曲线定义得到PF1−PF2=2a,再结合余弦定理求出P选项B:先用点差法求出直线斜率,再写出直线方程并联立双曲线方程,最后通过判别式Δ<0选项C:先利用切线长相等的性质,再结合双曲线定义PF1−P选项D:先写出点到渐近线的距离公式,再结合双曲线方程化简,得到距离乘积为定值,最后利用余弦定理和不等式求出最短距离.由ba=34a2−9b2=1所以c=a2+b对于A:当∠F1由PF1−PF所以S△PF1对于B:设Ax则x12−y又M1,1为线段AB的中点,所以所以y2−y1x2−x1直线与曲线方程联立x2−y23因为Δ<0,此方程无解,所以不存在符合条件的直线,故B对于C:设ΔPF1F2的内切圆为圆H,与则PS=又因为PF1−PF所以F1S−F2T=2,即对于D:设Px0,y0,不妨设点D则PD=3x0−由余弦定理,DE因为x0≥1,所以DE2≥3−94=34(当故选:ACD.12.2因为点A2,y1在抛物线y2故OA=13.2026设Fx=fx−x,即可判断Fx的单调性,不等式设Fx=fx−x,因为对任意的实数x1,x2且所以Fx在R上是减函数,因为f1013=2026不等式fx所以x−1013>1013,解得x>2026,即不等式故答案为:202614.4设圆锥OO1的底面半径为r,取AB的中点C,则∠OCO1=45∘,利用AB=2r2−d设圆锥OO1的底面半径为r,OO1=d如图,取AB的中点C,连接OC,则OC⊥则∠OCO1是二面角O−AB则O1所以AB=24−2d2,由则三棱锥O−ABV令fd令2d34−3d当x∈0,233时,f′d>所以fd在0,233则当三棱锥O−ABO1则r=263，此时，圆锥OO故答案为:4615.(1)A(2)6(1)根据向量垂直的坐标形式可得acosC−2b−(2)根据向量的线性运算可得AD=13AB+23AC，从而可得(1)因为m⊥n，所以m⋅n=0由正弦定理得sinA所以sinA因为A+B+C=所以sinB=2sinBcosA,而B为三角形内角,故因为0<A<π2(2)因为BD=2DC，所以所以AD=AB所以AD2因为AD=4,且所以16=当且仅当2b=c则△ABC的面积S=12bcsinA=316.(1)建立空间直角坐标系,根据空间向量共面的充要条件即可证明四点共面;(2)分别求出平面AEF与平面PAB的法向量，根据面面夹角公式求解即可.(1)因为PD⊥平面ABCD，AD，CD⊂平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥CD.因为底面所以以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.因为A4所以AE=因为AG=12AE+AF所以直线AG与直线EF共面.(2)∵设n=x,y,z是平面AEF的一个法向量,则n⋅AE=−4x+2z=设m=x1,y1,z令z1=1,则x1=设平面AEF与平面PAB的夹角为θ，因为cosθ由图可知,二面角B−AF所以二面角B−AF−E17.(1)根据椭圆的离心率为22和AB=4,由(2)设直线MN的方程为y=kx+1，与椭圆方程联立，由直线AM的方程为y−2=y1−2x1x(1)解:根据题意,2b解得a2所以椭圆C的方程为:x2(2)(2)由(1)知，A0,2，根据题意,直线MN的斜率一定存在,设直线MN的方程为y=由x2+2y2根据题意,Δ>0恒成立,设M则x1直线AM的方程为y−令y=4,得x=2x因为B0则直线BN,BP的斜率分别为k又x1=−2k=−=0所以kBN所以B,P18.(1)先求出a=2,再利用导数求出f(2)先利用分离参数法得到a≥2lnx+x+1x2+2x对x∈0,+∞恒成立.令hx=2lnx+x+1x2+2x,求导得到h′x=−2x+12lnx+xx(3)用分析法证明:当0<a<1时，把题意转化为只需证x1+x2>2a.先整理化简得到2a=x12−x(1)当f1=−1时,f−1则fx=2lnx令f′x=−2所以fx的单调增区间为0(2)依题意gx=fx−2ax+3≤0对x令hx=2ln令φx=2lnx+φ所以∃x0∈12,1对∀x∈0,x0,φx<对∀x∈x0,+∞,φx>0所以hx所以a≥又a∈Z,所以整数a(3)当0<a<1时，由(2)知gx在0