广西壮族自治区柳州市柳江中学2026届高三下学期综合测试（三）数学试题（含答案）

2026届高三下学期数学综合测试(三)总分:150分一、单选题(共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项符合)1.已知全集U=R,A={A.{x∣4≤x≤2.复数5i−2A.i−2B.−2−i3.样本数据2,8,14,16,20的第60百分位数是()A.14B.15C.16D.184.已知α∈0,π,则“sinπ−αA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.设l,m是两条不同的直线，α,A.若l⊥m,m//α,则l⊥αC.若l⊥m,m⊥β,α⊥β,则6.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点，作PM⊥l于点M，若A.1B.2C.3D.47.已知数列an,bn为等差数列,其前n项和分别为Sn,TnA.157B.158C.98.若定义在R上的函数fx满足fx+1+fx−1A.-1B.0C.1D.2二、多选题(共3小题，每小题6分，共18分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.下列关于函数.fx=sin2xA.fx为奇函数B.x=π2是C.fx为周期函数,且最小正周期为D.fx的值域为10.已知2−x8A.a0=C.a1+11.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为5，其左、右焦点分别为F1，F2，点A在A.存在点A，使得直线AF2B.存在点A,使得∠C.存在点A,使得OAD.存在点A,使得点M的横坐标为2a三、填空题(共3小题，每小题5分，共15分)12.若向量a,b满足a=3,4,b=m,5,且13.已知圆台的上、下底面半径分别为r,2r,母线长为3r,若圆台的侧面积为9π14.有n个编号分别为1,2,…,n的盒子,第1个盒子中有2个白球1个黑球,其余盒子中均为1个白球1个黑球,现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子,再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是_____，从第四、解答题(本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程或者演算步骤)15.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a(1)求A的大小；(2)若△ABC为锐角三角形，求bc16.截至2025年底,我国新能源汽车保有量达到4397万辆,占汽车总产量的12%.某城市研究小组调查了300名汽车驾驶员对新能源汽车和燃油汽车的偏好程度，将调查结果整理成如下列联表.现统计得出样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%，女性驾驶员的样本占样本总数的415，偏好燃油汽车的男性驾驶员的样本有120偏好燃油汽车偏好新能源汽车合计男性驾驶员120女性驾驶员合计300(1)请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值α=0.01的独立性检验，分析对燃油汽车和新能源汽车的偏好是否与驾驶员性别有关联.(2)现从女性驾驶员中按对燃油汽车和新能源汽车的偏好用分层抽样法抽取8人做进一步访谈,然后从这8人中随机抽取3人填写调查问卷,记抽取的3人中偏好新能源汽车的人数为X,求X的分布列及数学期望.参考公式及数据:χ2α0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82817.如图①所示，四边形ABCQ是直角梯形，AQ//BC，AQAQ=2BC=2AB=4,D为线段AQ的中点.现沿着CD将△QCD折起,使Q点到达P点,如图②所示；连接PA、PB图①图②(1)求证:DM⊥PB(2)若二面角A−CD−P的大小为60∘，则在线段PC上是否存在一点N，使得直线PB与平面BDN所成角的正弦值为1418.设函数fx(1)讨论fx(2)若fx有两个零点x1,x2①求实数a的取值范围；②证明:1x19.已知椭圆Γ:x2a2+y2b2(1)求椭圆Γ的方程；(2)设A,B,C均为椭圆(i)若直线AC、直线BC分别过Γ的左右焦点,记直线AC、AB、BC的斜率分别为k1,k2,k3(ii)若△ABC的重心是坐标原点O,证明:△ABC1.B根据集合的基本运算进行求解.因为B={所以∁UB={x∣所以A∩故选:B2.A应用复数的除法化简复数,再根据共轭复数的概念写出对应共轭复数即可.由5i−2=5−故选:A3.B根据百分位数计算公式计算即可.因为5×60%=3,所以这组数据的第60故选:B4.B若sinπ−α=12,则sinα=12,又α∈0所以当α∈0,π时,“sinπ若cosα=32,α∈0,π,则所以当α∈0,π时,“cosα综上,“sinπ−α=125.D对于A,若l⊥m,m//α,则l⊂α或l//α或l对于B,若l//β,α⊥β,则l⊂α或l//α或l对于C,若l⊥m,m⊥β,α⊥β,则l⊂α或l//α或lC错误;对于D,若l⊥β,m⊥β,则l//m,又因为m⊥α6.C利用抛物线的标准方程先确定F坐标,结合定义与正三角形的性质计算即可.由抛物线的定义可知PF=PM,且F1,0,l:x=−1,过F作则MD=1−−1=2=PM2故选:C7.C利用等差数列前n项和公式及等差数列性质将S7T7转化为a4b4,再利用n等差数列前n项和Sn所以S7由等差数列性质知a1所以S7又n+当n=2时，2+1a2当n=3时，3+1a3当n=4时，4+1a4令等差数列an的公差为d1,等差数列bn的公差为则3a4−2d1=5b4由②得,d1=4a4代入①中，整理得，4a4=9b4，所以故选:C.8.A由fx+1是奇函数可得fx关于1,0中心对称,结合fx+1+fx−1=f2,利用赋值法计算可得fx由fx+1是奇函数,则fx+1=−f−x由fx+1+fx−1=f2,令由fx+1=−f−x+1故fx+1+f故fx+3=−fx+1=fx−由f12=1ff则k=19.AD利用奇偶性定义判断A,利用函数对称性与周期性的定义判断BC;利用导数判断D.对于A,f∴fx为奇函数,故A对于B,ff∴fπ2+x≠fπ2−对于C,fx+π=sin2x+π+对于D,f令f′x=0,即4cos2x+2当cosx=−1时,当cosx=12时,sin∴fx的值域为−332,10.AD结合赋值法、导数运算以及二项式展开式的通项公式求得正确答案.由2−令x=0得a令x=1得a二项式2−x8展开式的通项公式为由此可知a1,a3,a所以令x=−1得−即a1+由2−两边求导得−8令x=1得a1+2a故选:AD11.ABD对于A,找到渐近线斜率即可判断;对于B,利用F1A上F2A,求出A点的横坐标,然后结合条件检验即可判断；对于C，将OA<AF2转化成两点间距离公式，求出A点的横坐标在符合题目范围内即可判断;对于D,利用点差法得设点Ax由题知离心率e=c2a2故有b=2a,c=5a,双曲线对于A选项，如果存在点A，使得直线AF2的斜率为直线AF2与渐近线平行，不会与双曲线有两个交点，故对于B选项:F1A=x0+c,y0可得F1A⋅F2而Ax0,y0故有:x02a2−联立①②两个等式可得:x0=355a，ykAF2=±4对于C选项:由OA<AF2,即:x02A在C的右支上可知:x0≥a,故存在点A,使得OA<AF对于D选项:设M2a而kOM⋅kAB=b2a2故yM​2=16a故不存在点A,使得点M的横坐标为2a,故D选项错误.下面为证明:kOMAB的中点为M,根据中点坐标公式可知Mx0+x12,y0+y而Ax0,y0x12a2−y化简得y02−y12故选:ABD12.15根据a//b,求出m因为a//b,则3×5−由于a//b,所以b在a方向上的投影向量即为则b在a方向上的投影向量的坐标为154故答案为:15413.14由圆台的侧面积公式求出r,再利用圆台的体积公式计算即可.由题意知,πr+2r3r=则圆台的高为3r2则该圆台的体积为13故答案为:1414.5记事件Ai表示从第iPA2=PA1PA记事件Ai表示从第ii=1,P所以PAPAP进而可得PA又PA所以PAn−12是首项为16所以PAn−12故答案为:5915.1(2)1(1)根据正弦定理可得到a2=b2+c2−bc(2)根据三角形内角和为π，且△ABC为锐角三角形，从而可得出C的取值范围，再将bc转化为关于tan(1)由asinA则根据正弦定理有a2−c2=又由余弦定理有a2=b2+所以在△ABC中，得A=(2)由△ABC为锐角三角形,且A=则有0<C<π20<2π3−C<π所以根据正弦定理有bc16.(1)列联表为偏好燃油汽车偏好新能源汽车合计男性驾驶员120100220女性驾驶员305080合计150150300有关联，解释见解析，(2)随机变量X的分布列为X0123P5155615528期望为15(1)根据已知数据可计算得到补全列联表所需的数据,进而补全列联表,并计算得到χ2≈(2)根据分层抽样原则可确定样本中偏好新能源汽车的人数和偏好燃油车的人数，由此可得X所有可能的取值,根据超几何分布概率公式可求得X每个取值对应的概率,由此可得分布列;由数学期望计算公式可求得期望值.(1)因为样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%，故样本中偏好燃油汽车的人数为300×因为样本中女性驾驶员的样本占样本总数的415,故样本中女性驾驶员的人数为300×415偏好燃油汽车偏好新能源汽车合计男性驾驶员120100220女性驾驶员305080合计150150300零假设H0为:根据列联表数据,计算得χ2根据小概率值α=0.01的独立性检验,可以推断H0男性驾驶员中偏好新能源汽车的频率为100220≈0.455,女性驾驶员中偏好新能源汽车的频率为5080(2)由题意，抽取的8人中偏好燃油汽车的人数为3080×8=3随机变量X的可能值为0,1,2,3.P所以,随机变量X的分布列为X0123P11556155X的数学期望EX17.(1)根据线面垂直,面面垂直的判定与性质得证;(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求出线面角解出参数，再由棱锥体积公式得解；(1)在图①中，由题知四边形ABCD为正方形，且CD=DQ则在②中，CD⊥PD，CD⊥AD，且又PD,AD⊂平面PAD,则CD⊥又AB//CD,∴AB⊥又DM⊂平面PAD又PD=AD，且M为PA的中点，则DM又AB∩PA=A,则DM⊥平面PAB,又PB⊂平面可得DM⊥(2)由(1)知CD⊥平面PAD,CD⊂平面ABCD，则平面ABCD⊥由题知二面角A−CD−P的平面角为∠ADP则△PAD是等边三角形,则PA取AD的中点为O,连接PO,则PO⊥又平面ABCD∩平面PAD=AD,PO所以PO⊥平面ABCD,且PO则可以建立如图所示的空间直角坐标系;则O0则DB=设CN=λCP=λ,−设平面BDN的一个法向量为m=x则m⋅DN=λx+令y=3λ,则记直线PB与平面BDN所成角为θ,则sinθ即3λ−122因此CN=23CP18.(1)求导得f′x=xex−2a,分为a≤0,0<a<1(2)①分为a=0,a<0,0<a<12,a=12和a>12五种情况，结合函数的单调性分别讨论，即可求出答案；②由①知，x1<0<x2，即x1x2<0，要证1x(1)f′(i)当a≤0时,当x∈−∞,0时,当x∈0,+∞时,(ii)当0<a当x∈−∞,ln2a时,当x∈ln2a,0当x∈0,+∞时,(iii)当a=12时,f′x≥(iv)当a>1当x∈−∞,0时,当x∈0,ln2a时,当x∈ln2a,+∞时,综上所述，当a≤0时，fx在−∞,0上单调递减，在当0<a<12时，fx在ln当a=12时,fx在当a>12时,fx在0,ln2a(2)①f0=−(i)当a=0时,fx=x−1ex,令fx=x(ii)a<0时,fx在−∞,0上单调递减,在则fx又f1取b<−1且b则fb所以fx有两个零点,其中x1(iii)当0<afx在0,+∞当x≤0时,所以fx(iv)当a=12时,fx在R上单调递增,(v)当a>1当x≤0时,又fx在0,ln2a上单调递减，在ln2a,+