导数的应用-不等式问题 高频考点 专题练 2026年高考数学一轮复习备考

导数的应用--不等式问题高频考点专题练2026年高考数学一轮复习备考一、单选题1．已知定义在上的函数的导函数为，若对任意x，都有，且为奇函数，则不等式的解集是（

）．A． B． C． D．2．已知函数，对任意的，满足，是的导数，则下列不等式中成立的是（

）．A． B．C． D．3．若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中肯定错误的是（）A． B．C． D．4．已知函数，若在上恒成立，则的最大值为（

）A．0 B．1 C．2 D．35．已知数列满足，则（

）A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立二、多选题6．以下不等式成立的是（

）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，三、填空题7．设函数在上存在导函数，对于任意的实数x，有，当时，，若，则实数m的取值范围是．8．已知函数的定义域为，是的导函数，，若对任意的，有，则不等式的解集是．9．已知定义在上的可导函数满足，且，则当时，不等式的解集为．10．已知分别是定义域为的偶函数和奇函数，且，若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值是．11．设定义域为的函数的导函数为，对任意的有恒成立，且在上成立.若，则实数的取值范围为.12．若实数m，n，当时，恒有成立，则实数a的最小值为．13．函数满足恒成立，则的取值范围是.四、解答题14．已知，点在的图象上，过点的切线交轴于点，．(1)求与的关系式；(2)求证：数列单调递减；(3)求证：；(4)求证：；(5)求．15．已知函数．(1)若为定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；(2)当时，求函数的最大值；(3)当，且时，求证：．16．已知函数．(1)争辩的单调性；(2)证明：当时，．17．已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)函数在上恒成立，求最小的整数a．18．设函数.(1)若曲线在点处的切线方程为，求的值；(2)当时恒成立，求实数的取值范围；(3)证明：.19．已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．

参考答案题号123456答案BACBBABC1．B【分析】设，，结合已知利用导数法得函数在上为减函数，结合奇函数性质得，即可求解.【详解】设，，则，且，所以函数在上为减函数．又为奇函数，则有，所以．当时，，故不等式的解集是．故选：B2．A【分析】令，利用导数争辩单调性，利用单调性逐个选项比较大小即可.【详解】令，则，由得，当时，，即在上单调递增，对于A，由，则，所以，即，可知A正确；对于B，由，则，所以，即，可知B错误；对于C，由，则，所以，即，可知C错误；对于D，由，则，所以，即，可知D错误.故选：A3．C【详解】试题分析：令，则，因此，所以选C.考点：利用导数争辩不等式【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数争辩对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造帮助函数常依据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等4．B【分析】先分别参数，再构造函数，利用导函数确定函数单调性，从而得到函数最值，进而得出答案.【详解】由题意可转化为恒成立，令函数为偶函数，故考虑时，，令，即在上单调递增，则，则在上单调递增，在上单调递减，故，故，故选：B.5．B【分析】法1：利用数列归纳法可推断ACD正误，利用递推可推断数列的性质，故可推断B的正误.法2：构造，利用导数求得的正负状况，再利用数学归纳法推断得各选项所在区间，从而推断的单调性；对于A，构造，推断得，进而取推得不恒成立；对于B，证明所在区间同时证得后续结论；对于C，记，取推得不恒成立；对于D，构造，推断得，进而取推得不恒成立.【详解】法1：由于，故，对于A，若，可用数学归纳法证明：即，证明：当时，，此时不等关系成立；设当时，成立，则，故成立，由数学归纳法可得成立.而，，，故，故，故为减数列，留意故，结合，所以，故，故，若存在常数，使得恒成立，则，故，故，故恒成立仅对部分成立，故A不成立.对于B，若可用数学归纳法证明：即，证明：当时，，此时不等关系成立；设当时，成立，则，故成马上由数学归纳法可得成立.而，，，故，故，故为增数列，若，则恒成立，故B正确.对于C，当时，可用数学归纳法证明：即，证明：当时，，此时不等关系成立；设当时，成立，则，故成马上由数学归纳法可得成立.而，故，故为减数列，又，结合可得：，所以，若，若存在常数，使得恒成立，则恒成立，故，的个数有限，冲突，故C错误.对于D，当时，可用数学归纳法证明：即，证明：当时，，此时不等关系成立；设当时，成立，则，故成立由数学归纳法可得成立.而，故，故为增数列，又，结合可得：，所以，若存在常数，使得恒成立，则，故，故，这与n的个数有限冲突，故D错误.故选：B.法2：由于，令，则，令，得或；令，得；所以在和上单调递增，在上单调递减，令，则，即，解得或或，留意到，，所以结合的单调性可知在和上，在和上，对于A，由于，则，当时，，，则，假设当时，，当时，，则，综上：，即，由于在上，所以，则为递减数列，由于，令，则，由于开口向上，对称轴为，所以在上单调递减，故，所以在上单调递增，故，故，即，假设存在常数，使得恒成立，取，其中，且，由于，所以，上式相加得，，则，与恒成立冲突，故A错误；对于B，由于，当时，，，假设当时，，当时，由于，所以，则，所以，又当时，，即，假设当时，，当时，由于，所以，则，所以，综上：，由于在上，所以，所以为递增数列，此时，取，满足题意，故B正确；对于C，由于，则，留意到当时，，，猜想当时，，当与时，与满足，假设当时，，当时，所以，综上：，易知，则，故，所以，由于在上，所以，则为递减数列，假设存在常数，使得恒成立，记，取，其中，则，故，所以，即，所以，故不恒成立，故C错误；对于D，由于，当时，，则，假设当时，，当时，，则，综上：，由于在上，所以，所以为递增数列，由于，令，则，由于开口向上，对称轴为，所以在上单调递增，故，所以，故，即，假设存在常数，使得恒成立，取，其中，且，由于，所以，上式相加得，，则，与恒成立冲突，故D错误.故选：B.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是依据首项给出与通项性质相关的相应的命题，再依据所得命题结合放缩法得到通项所满足的不等式关系，从而可推断数列的上界或下界是否成立.6．ABC【分析】A选项，令，，，，求导，求出函数单调性，得到，，得到A正确；B选项，在A选项基础上，得到时，，，B正确；C选项，令，，求导得到函数单调递增，且，从而得到C正确，D选项，令，，求导得到函数单调性和值域，结合的单调性和取值范围，得到两函数图象，数形结合得到D错误.【详解】A选项，令，，则恒成立，故在上单调递增，则，令，，则，故在上单调递增，故，所以，即，A正确；B选项，由A选项知，时，单调递增，单调递减，则，所以，即，B正确；C选项，令，，则，，，，又在上恒成立，故在恒成立，故在上单调递增，又，故，即当时，，C正确；D选项，令，，则，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，其中，，在上单调递增，在上单调递减，且，，画出两函数图象如下：时，不满足，存在，使得当时，，即，D错误.故选：ABC【点睛】很多时候，我们需要证明，但不代表就要证明，由于大多数状况，的零点解不出来，设隐零点是一种方法，也可尝试凹凸反转，如要证明，可把拆分为两个函数，放在不等式的两边，即要证明，只要证明，凹凸反转的关键是如何分别出两个函数，通常考虑指数函数与对数函数分别，构造两个单峰函数，进行求解.7．【分析】依据已知等式和不等式构造新函数，利用新函数的奇偶性和单调性进行求解即可.【详解】设，则，为奇函数，．当时，，所以在上是减函数．由于，即，所以，从而．故答案为：8．【分析】将所求不等式转化为，通过争辩的单调性，结合，即可得到不等式解集.【详解】设，则，设，则，令，解得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，得，因而，单调递减，又，依题意，所求为，可得解集为.故答案为：.9．【分析】依据给定条件，构造函数并借助导数确定单调性，进而求解不等式.【详解】由，得，则，设，则为上的增函数，，．由，得，即，因此，得，即，又，解得，所以所求解集为.故答案为：10．/【分析】参变分别，将问题转化为函数最值问题，利用导数争辩单调性，结合换元法可解.【详解】由于分别是定义域为的偶函数和奇函数，且①，所以，即②，联立①②解得，，由于在上都为增函数，所以在上单调递增，，故不等式令，由于当时，，单调递增，所以，又，所以，由于在上都为增函数，所以在上单调递增，所以，所以，即实数的最大值是.故答案为:【点睛】本题为不等式恒成立问题，先依据奇偶性求出解析式，然后参变分别，利用换元法化简，结合单调性求解即可.11．【分析】构建，结合题意分析的奇偶性和单调性，由题意可得原不等式化为，依据奇偶性和单调性解不等式即可.【详解】设，可知的定义域为，由于，即，则，则函数为偶函数，当时，，可知函数在单调递增，由偶函数性质可得函数在单调递减，由于，可得，即，可得，解得.所以实数的取值范围为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：依据题意构建函数，分析其奇偶性和单调性，进而解不等式.12．1【分析】分析得到，构造函数，则需要单调递增，求导，得到只需对任意的，．令，求导，得到其单调性，，故只需，即．【详解】．又，则．令，则需要单调递增，即，从而只需对任意的，．令，，则，单调递减，故，所以只需，即．故答案为：113．【分析】构造函数，利用函数的单调性求解即可.【详解】，设，在上单调递增，，令，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，又，则的取值范围为：故答案为：14．(1)(2)证明见解析(3)证明见解析(4)证明见解析(5)【分析】（1）求得切线方程，由切线过点，可得，结合已知可得结论；（2）由（1）可得，进而可证，可得结论；（3）计算可得，进而可得结论；（4）由（3）可得，进而计算可得结论；（5）由（4）可得，求极限即可.【详解】（1）由，可得，所以，所以过点的切线的方程为，又切线过点，所以，又，消得．（2）由（1）知，则，所以，所以数列单调递减．（3），所以．（4），即，所以．（5）由（4）知，从而．15．(1)．(2)(3)证明见解析【分析】（1）利用函数的导函数与单调性的关系，分类争辩进行求解即可；（2）利用函数的导函数与单调性的关系，结合函数最值的定义进行求解即可；（3）依据所求证不等式的形式，通过构造新函数、结合（2）的结论进行运算证明即可.【详解】（1），．若在上是增函数，则，即在恒成立，而，故．若在上是减函数，则，即在恒成立，而，故这样的m不存在．经检验，当时，对恒成立，所以．（2）当时，，则．当时，，为增函数；当时，，为减函数．故在时取得最大值，最大值为．（3）当时，令，则，在上总有，即在上单调递增，所以当时，，即．令，由（2）知在上单调递减，所以当时，，即．综上，得证．16．(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）先求导，再分类争辩与两种状况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可.方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证.【详解】（1）由于，定义域为，所以，当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减；当时，令，解得，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增；综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）方法一：由（1）得，，要证，即证，即证恒成立，令，则，令，则；令，则；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.方法二：令，则，由于在上单调递增，所以在上单调递增，又，所以当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，故，则，当且仅当时，等号成立，由于，当且仅当，即时，等号成立，所以要证，即证，即证，令，则，令，则；令，则；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.17．(1)单调增区间为，，单调减区间为(2)【分析】（1）对求导，得到，再利用导数与函数单调性间的关系，即可求解；（2）利用（1）中结果，求出在区间上最大值，即可求解.【详解】（1）由于，则，由于恒成立，由，得到或，由，得到，所以函数的单调增区间为，，减区间为.（2）由（1）知在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，又，，明显有，所以在区间上最大值为，又函数在上恒成立，所以，得到最小的整数.18．(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）利用导数的几何意义求解；（2）求出导函数，并设，求得，由于，因此依据，以及分类争辩是否恒成立，从而得参数范围；（3）由（2）不等式变形得，再用代后变形及放缩得，然后令后相加可证．【详解】（1），由题意曲线在点处的切线方程为，则，解得；（2），，，令（），则，当，即时，，即是上的增函数，因此，是增函数，所以，不合题意，舍去；当即时，，即是上的减函数，所以，所以是上的减函数，从而恒成立，当即时，，时，，在单调递增，时，，在单调递减，又，所以时，恒成立，即恒成立，此时在上单调递增，因此，与题意不合，舍去，综上．（3）由（2）知时，，即，从而，所以，又，所以，此不等式中分别令得，，，，将这个不等式相加得.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于第（3）小题，关键是利用（2）中不等式变形及不等式的性质得出，然后分别令后相加得证．19．（1）（2）【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点切线方程，即可得到坐标轴交点坐标，最终依据三角形面积公式得结果；（2）方法一：利用导数争辩函数的单调性，当a=1时，由得,符合题意；当a>1时，可证，从而存在零点，使得，得到，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得恒成立；当时，争辩.即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围.【详解】（1），，.，∴切点坐标为(1,1+e),∴函数在点(1,f(1)处的切线方程为