2026年高考数学一轮复习 圆锥曲线综合（含解析）

高考数学一轮复习圆锥曲线综合一．选择题（共8小题）1．（2025•湖北模拟）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点O1是A1C1与B1D1的交点，点Q是直线AO1上异于A的一点，点P是平面C1BD上的动点，满足直线PQ与直线AQ的夹角为π3，则动点PA．圆上 B．椭圆上 C．抛物线上 D．双曲线上2．（2025•北京校级模拟）设直线l经过抛物线x2＝8y的焦点，P为直线l上任意一点，过P总能作圆x2+y2＝1的切线，则直线l斜率k的最大值为（）A．33 B．3 C．2 3．（2025•牡丹江校级模拟）2025春节档国产影片《哪吒之魔童闹海》接连破全球票房记录，影片中哪吒与敖丙是不行分割的二人组，其中敖丙的武器“盘龙冰锤”相撞后形成了如图所示的曲线，可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线C过坐标原点O，C上的点到两定点F1（﹣a，0），F2（a，0）（a＞0）的距离之积为定值．当a＝3时，C上第一象限内的点P满足△PF1F2的面积为92，则|PA．6 B．183C．213 D．4．（2025•泸县校级模拟）点P（1，0），点Q是圆x2+y2＝4上的一个动点，则线段PQ的中点M的轨迹方程是（）A．(x−12)2C．x2+(y−5．（2025•崂山区校级模拟）已知圆M的圆心在曲线xy＝2（x＞0）上，圆M与直线x+2y+1＝0相切，则圆M面积最小值为（）A．5π B．25π C．5π6．（2025•罗湖区校级模拟）若抛物线y2＝8x的准线经过双曲线x2A．2 B．22 C．4 D．7．（2025春•南阳期中）已知双曲正弦函数sinℎx=ex−e−x2，双曲余弦函数cosℎx=ex+e−x2，若点A．[0，π4]∪[3π4C．[π4，8．（2025•昌江区校级模拟）已知点F是抛物线E：x2＝4y的焦点，点A是抛物线E上一点．过点A作圆O：x2+y2＝1的两条切线，切点分别为B，C，且分别交抛物线的准线于M，N两点，M，N位于y轴异侧（如图所示）．若|MN|=211，则|AFA．2 B．3 C．4 D．3二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025•江西模拟）已知A、B两点的坐标分别为（﹣1，0），（1，0），M为坐标平面内的动点，直线MA，MB的斜率分别为kMA，kMB，且满足kMA﹣kMB＝a（a为定值），设动点M的轨迹为C．则（）A．轨迹C关于原点对称 B．轨迹C关于直线对称 C．当a＝0时，轨迹C为一条直线 D．当a＞0时，轨迹C存在最高点（多选）10．（2025•崂山区校级模拟）平面直角坐标系xOy中，曲线E上任一点M，满足到点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离的倒数和为定值，即1|MA．对于不同的λ值，曲线E总是关于y轴对称 B．当λ=12时，曲线EC．当λ＝1时，|MF1|+|MF2|的取值范围为[4，2+22D．当λ＝3时，x轴上存在4个不同的点在曲线E上（多选）11．（2025•鼓楼区校级模拟）已知a＞0，F1（﹣a，0），F2（a，0），若平面内动点P（x，y）满足|PF1||PA．双纽线是轴对称图形 B．△PF1F2的面积的最大值为a2C．|PF1|+|PF2|＝2a D．直线y＝0.9x与双纽线有三个交点（多选）12．（2024秋•宜春校级期末）“大鹏曲线”的方程为C：x24−y|y|=1，其图像由于形似一只展翅高飞的大鹏而得名．直线y＝ax+b与C的交点可能个数的集合记为D（A．该曲线关于y轴对称 B．D（a，2）＝{0，1，2} C．D（a，﹣3a）＝{0，1，2} D．“D（a，b）＝{3}”的充要条件是“|a|＞12且三．填空题（共4小题）13．（2025•开封模拟）已知圆O：x2+y2＝r2（r＞0）经过椭圆C：x2a2+y214．（2025•重庆校级模拟）设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，P为正方体表面上一点，且点P到直线AA1的距离与它到平面ABCD的距离相等，记动点P的轨迹为曲线W，则曲线W的周长是．15．（2025春•金山区校级期中）已知椭圆中心在原点，长轴长为4，以双曲线x22−16．（2025春•湖北期中）设O为原点，双曲线Ω的方程是x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0），离心率e=3．直线x+2y﹣m＝0与双曲线Ω的两条渐近线分别交于A，B，与圆x2+y2＝a2相切于点N．若AM→四．解答题（共4小题）17．（2025•陕西模拟）函数与圆锥曲线是我们高中最常见的学问板块，现进行探究：（1）化简x2+(y+3)2+（2）已知曲线C：|x|+y＝1，试争辩曲线C的范围．（3）已知抛物线C：y2＝ax（a＞0）上一点P(t，12)到焦点F的距离为2t，抛物线上一点A的纵坐标为1，过点Q（﹣4，2）的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点（均与点A不重合），连接PN，PM，若PN，PM所成角为直角，求A关于直线MN18．（2025•河南模拟）已知动圆过定点P（2，0），且在y轴上截得的弦长为4．动圆圆心的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）设过点F（1，0）的直线交曲线E于A，B两点，过点M（﹣1，0）的直线MA与E的另一个交点为C，点A在M与C之间．（i）证明：线段BC垂直于x轴；（ii）记△FBC的面积为S1，△MFC的面积为S2，求5S2﹣S1的取值范围．19．（2024秋•青海期末）已知动点M到点（﹣10，0）的距离比它到直线x﹣12＝0的距离小2，记动点M的轨迹为C．（1）求C的方程；（2）直线l与C相交于A，B两点，若线段AB的中点坐标为（﹣6，﹣4），求直线l的方程．20．（2025•彭山区校级开学）已知圆C的圆心为C（3，0），且过点A(1，5（1）求圆C的半径及标准方程；（3）若O为坐标原点，点P（x，y）满足|PO|＝2|PC|，求点P的轨迹方程．

高考数学一轮复习圆锥曲线综合参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2025•湖北模拟）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点O1是A1C1与B1D1的交点，点Q是直线AO1上异于A的一点，点P是平面C1BD上的动点，满足直线PQ与直线AQ的夹角为π3，则动点PA．圆上 B．椭圆上 C．抛物线上 D．双曲线上【考点】轨迹方程．【专题】计算题；整体思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】D【分析】由题意得P在以Q为顶点的对顶圆锥上，对顶圆锥的轴线为AO1，进一步即可求解．【解答】解：依据题目可知：直线PQ与直线AQ的夹角为π3所以P在以Q为顶点的对顶圆锥上，即对顶圆锥的轴线为AO1，AO1∥平面C1BD，因此动点P的运动轨迹在双曲线上．故选：D．【点评】本题考查轨迹方程，属于基础题．2．（2025•北京校级模拟）设直线l经过抛物线x2＝8y的焦点，P为直线l上任意一点，过P总能作圆x2+y2＝1的切线，则直线l斜率k的最大值为（）A．33 B．3 C．2 【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】B【分析】由题意可得直线与圆的位置关系，依据抛物线方程，可得焦点坐标，从而设出直线方程，利用点到直线距离公式，建立不等式，可得答案．【解答】解：依据题意，P为直线l上任意一点，过P总能作圆x2+y2＝1的切线，则直线l与圆x2+y2＝1不相交，故圆心（0，0）到直线l的距离d大于等于半径r，即d≥r＝1，抛物线x2＝8y，其焦点（0，2），易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y＝kx+2，由d=|k⋅0−0+2|k2+1，则2k2所以直线l的斜率k的最大值为3．故选：B．【点评】本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，涉及抛物线的几何性质，属于基础题．3．（2025•牡丹江校级模拟）2025春节档国产影片《哪吒之魔童闹海》接连破全球票房记录，影片中哪吒与敖丙是不行分割的二人组，其中敖丙的武器“盘龙冰锤”相撞后形成了如图所示的曲线，可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线C过坐标原点O，C上的点到两定点F1（﹣a，0），F2（a，0）（a＞0）的距离之积为定值．当a＝3时，C上第一象限内的点P满足△PF1F2的面积为92，则|PA．6 B．183C．213 D．【考点】曲线与方程．【专题】方程思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】B【分析】依据题设有|OF1||OF2|=a2=9，设P（x，y）结合定义得（x2+y2）2＝18（x2﹣y2），利用三角形面积公式有∠F1PF2＝90°，即P是曲线（x2+y2）2＝18（x2﹣y2）与以F1F2直线的圆的交点，联立曲线与圆x【解答】解：由曲线C过坐标原点O，C上的点到两定点F1（﹣a，0），F2（a，0）（a＞0）的距离之积为定值，可得原点在曲线上，|OF设P（x，y），x＞0，y＞0，可得(x+3)化简可得（x2+y2+9）2﹣36x2＝81，所以（x2+y2）2＝18（x2﹣y2），由S△PF1F2=12|PF1||P所以∠F1PF2＝90°，易知P是曲线（x2+y2）2＝18（x2﹣y2）与以F1F2直径的圆的交点，联立(x2+y2所以|PF故选：B．【点评】本题考查曲线与方程的关系，以及圆的性质，考查方程思想和运算力量，属于中档题．4．（2025•泸县校级模拟）点P（1，0），点Q是圆x2+y2＝4上的一个动点，则线段PQ的中点M的轨迹方程是（）A．(x−12)2C．x2+(y−【考点】轨迹方程．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】A【分析】依据相关点法，即可求解．【解答】解：设点M的坐标为M（x，y），∵P（1，0），线段PQ的中点为M，∴Q（2x﹣1，2y），又点Q在圆x2+y2＝4上，∴（2x﹣1）2+（2y）2＝4，即(x−1故选：A．【点评】本题考查依据相关点法求解轨迹方程，属基础题．5．（2025•崂山区校级模拟）已知圆M的圆心在曲线xy＝2（x＞0）上，圆M与直线x+2y+1＝0相切，则圆M面积最小值为（）A．5π B．25π C．5π【考点】曲线与方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】C【分析】依据题意可设M(a，2a)(a＞0)【解答】解：依据题意，圆M的圆心在曲线xy＝2（x＞0）上，不妨设M(a，2又由于圆M与直线x+2y+1＝0相切，则圆M的半径为点M到直线x+2y+1＝0的距离，即r=|a+当且仅当a=4a，即即圆M的半径的最小值rmin=5，所以圆M故选：C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及不等式的性质和应用，属于基础题．6．（2025•罗湖区校级模拟）若抛物线y2＝8x的准线经过双曲线x2A．2 B．22 C．4 D．【考点】圆锥曲线的综合．【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】A【分析】依据题意得出即2=2+b2，且c【解答】解：由于y2＝8x，所以准线为x＝﹣2，由题意抛物线y2＝8x的准线经过双曲线x2即2=2+解得b2＝2，且c＝2，故a=c所以双曲线离心率为ca故选：A．【点评】本题考查双曲线与抛物线方程即性质的应用，属于基础题．7．（2025春•南阳期中）已知双曲正弦函数sinℎx=ex−e−x2，双曲余弦函数cosℎx=ex+e−x2，若点A．[0，π4]∪[3π4C．[π4，【考点】曲线与方程．【专题】计算题；整体思想；函数的性质及应用．【答案】C【分析】sinhx的导数为coshx，coshx≥1时，即tanα≥1，α∈[π【解答】解：设f(x)=ex−即tanα≥1，所以α∈[π故选：C．【点评】本题考查曲线与方程，属于基础题..8．（2025•昌江区校级模拟）已知点F是抛物线E：x2＝4y的焦点，点A是抛物线E上一点．过点A作圆O：x2+y2＝1的两条切线，切点分别为B，C，且分别交抛物线的准线于M，N两点，M，N位于y轴异侧（如图所示）．若|MN|=211，则|AFA．2 B．3 C．4 D．3【考点】圆与圆锥曲线的综合；抛物线的焦点弦及焦半径．【答案】B【分析】设MN与圆O相切于点D，由切线长定理可得△AMN的周长为2|MN|+2|AO|2−1，可得S△AMN=|MN|+|AO|2−1，设A（x0，y0），由题意得y0＞1，可得|MN|+【解答】解：设MN与圆O相切于点D，如图，切线长相等可得：|AB|＝|AC|，|ND|＝|NC|，|MB|＝|MD|，所以△AMN的周长为2|MN|+2|AB|=2|MN|+2|AO|所以S△AMN=1设A（x0，y0），由题意得y0＞1，由于S△AMN=12|MN|⋅(所以|MN|=2由|MN|=211，则2y02+4y0−1y故选：B．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，圆的方程的应用，切线长定理与三角形的面积的应用，是中档题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025•江西模拟）已知A、B两点的坐标分别为（﹣1，0），（1，0），M为坐标平面内的动点，直线MA，MB的斜率分别为kMA，kMB，且满足kMA﹣kMB＝a（a为定值），设动点M的轨迹为C．则（）A．轨迹C关于原点对称 B．轨迹C关于直线对称 C．当a＝0时，轨迹C为一条直线 D．当a＞0时，轨迹C存在最高点【考点】轨迹方程．【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；规律思维．【答案】BD【分析】设M（x，y），依据题意写出斜率之差的方程，化简可得M的轨迹为挖去两个点的关于y轴对称的抛物线，由此可以分析各个选项的正误．【解答】解：设M（x，y），则kMA−kMB=yx+1−yx−1即y=−a2x2+a2当a＝0时，y＝0（x≠±1），即一条直线挖去了两个点，故C错误；当a＞0时，轨迹为y=−a2x故选：BD．【点评】本题考查轨迹方程问题，属于简洁题．（多选）10．（2025•崂山区校级模拟）平面直角坐标系xOy中，曲线E上任一点M，满足到点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离的倒数和为定值，即1|MA．对于不同的λ值，曲线E总是关于y轴对称 B．当λ=12时，曲线EC．当λ＝1时，|MF1|+|MF2|的取值范围为[4，2+22D．当λ＝3时，x轴上存在4个不同的点在曲线E上【考点】曲线与方程．【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；规律思维．【答案】ACD【分析】对于A，设M关于y轴的对称点为M1，通过分析得到1|对于B，当λ=12时，通过检验对于C，当λ＝1时，结合题设得|MF2|=|MF1||MF1|−1＞0及2对于D，当λ＝3时，设曲线E在x轴上的点为（x，0），由题设得1(x+1)2+1(x−1)【解答】解：对于选项A，由于F1（﹣1，0），F2（1，0），可知O（0，0）为线段F1F2的中点，又由于M满足1|MF1|+1|MF那么可得|MF1|＝|M1F2|，|MF2|＝|M1F1|，可得1|因此曲线E关于y轴对称，所以选项A正确；对于选项B，当λ=12时，将原点O（0，0）代入，那么可得1|O对于选项C，当λ＝1时，|MF2|=|M由于||MF1|﹣|MF2||≤|F1F2|＝2，所以||MF1|−|MF令t=|MF1|−1∈[依据对勾函数可知函数f(t)=t+1t+2在(1，且f（1）＝4，f(2−1)=f(2因此|MF1|+|M对于选项D，当λ＝3时，设曲线E在x轴上的点为（x，0），依据题意得1(x+1由于曲线图象关于y轴对称，考虑x＞0的情形，当0＜x＜1时，方程化为3x2＝1，解得x=3当x＞1时，方程化为3x2﹣2x﹣3＝0，解得x=1+因此x＞0时，x轴上有2个点，所以x轴上存在4个不同的点在曲线E上，所以选项D正确．故选：ACD．【点评】本题考查曲线与方程，属于中档题．（多选）11．（2025•鼓楼区校级模拟）已知a＞0，F1（﹣a，0），F2（a，0），若平面内动点P（x，y）满足|PF1||PA．双纽线是轴对称图形 B．△PF1F2的面积的最大值为a2C．|PF1|+|PF2|＝2a D．直线y＝0.9x与双纽线有三个交点【考点】轨迹方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】AD【分析】对于A，利用两点的距离公式整理方程，将关于坐标轴对称的点代入，可得答案；对于B，利用一元二次方程根的存在性，求得动点坐标的范围，结合三角形面积公式，可得答案；对于C，依据三角形三边关系，可得答案；对于D，联立方程，因式分解求方程的根，可得答案．【解答】解：依据题意，F1（﹣a，0），F2（a，0），平面内动点P（x，y）满足|PF则|PF变形可得x4+y4﹣2a2x2+2a2y2+2x2y2＝0，即双纽线的方程为x4+y4﹣2a2x2+2a2y2+2x2y2＝0，依次分析选项：对于A，曲线方程为x4+y4﹣2a2x2+2a2y2+2x2y2＝0，由（x，y）关于x轴的对称点为（x，﹣y），明显当（x，y）满足方程时，（x，﹣y）也满足方程，则双纽线关于x轴对称，是轴对称图形，故A正确；对于B，由曲线方程x4+y4﹣2a2x2+2a2y2+2x2y2＝0，整理可得关于x2的方程（x2）2+（2y2﹣2a2）x2+y4+2a2y2＝0，由Δ＝（2y2﹣2a2）2﹣4（y4+2a2y2）≥0，解得−a由S△PF1F2对于C，当点P不在原点，则构成△PF1F2，则|PF1|+|PF2|＞|F1F2|＝2a，故C错误；对于D，将y＝0.9x代入方程x4+y4﹣2a2x2+2a2y2+2x2y2＝0，整理可得x2（1.812x2﹣0.38a2）＝0，解得x＝0或x=±1038181故选：AD．【点评】本题考查曲线和方程，涉及轨迹方程的求法，属于中档题．（多选）12．（2024秋•宜春校级期末）“大鹏曲线”的方程为C：x24−y|y|=1，其图像由于形似一只展翅高飞的大鹏而得名．直线y＝ax+b与C的交点可能个数的集合记为D（A．该曲线关于y轴对称 B．D（a，2）＝{0，1，2} C．D（a，﹣3a）＝{0，1，2} D．“D（a，b）＝{3}”的充要条件是“|a|＞12且【考点】曲线与方程．【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；规律思维；运算求解．【答案】AC【分析】依据椭圆及双曲线的性质可推断选项A；依据直线经过定点，利用直线方程与圆锥曲线方程联立结合圆锥曲线的性质可推断选项B，C；依据反例可推断选项D．【解答】解：当y≥0时，曲线方程为x2此时为双曲线，其渐近线方程为y=±1当y＜0时，曲线方程为x2对于选项A：由双曲线及椭圆的性质可得该曲线关于y轴对称，故选项A正确；对于选项B：由于y＝ax+2恒过点（0，2），当直线a=±12时，此时直线y＝ax+2与渐近线平行，直线与当|a|＞12时，直线与当|a|＜12时，直线与则D（a，2）＝{1，2}，故选项B错误；对于选项C：由于y＝ax﹣3a＝a（x﹣3）恒过点（3，0），联立y=a(x−3)x24+y2=1，消去y并整理得（1+4a2）x2﹣24此时Δ＝（﹣24a2）2﹣4（1+4a2）（36a2﹣4）＝﹣16（5a2﹣1），当a=5则直线与下半椭圆相切，当直线0≤a＜55时，直线与当a=55时，直线与当55＜a≤1当a＞12或a≤−1当−12＜a＜0则D（a，﹣3a）＝{0，1，2}，故选项C正确；对于选项D：取a＝1，b＝﹣3，由选项C可知直线与C的交点为1，则|a|＞12且不能得到D（a，b）＝{3}，故选项D错误．故选：AC．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了规律推理和运算力量，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．（2025•开封模拟）已知圆O：x2+y2＝r2（r＞0）经过椭圆C：x2a2+y2b2【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的离心率．【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】22【分析】由圆和椭圆的方程推得b＝c，再由a，b，c的关系和离心率公式，可得所求值．【解答】解：圆O：x2+y2＝r2（r＞0）经过椭圆C：x2a2+和焦点（﹣c，0），（c，0），可得b2＝r2＝c2，则e=c故答案为：22【点评】本题考查椭圆和圆的方程与性质，考查方程思想和运算力量，属于基础题．14．（2025•重庆校级模拟）设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，P为正方体表面上一点，且点P到直线AA1的距离与它到平面ABCD的距离相等，记动点P的轨迹为曲线W，则曲线W的周长是42+π【考点】轨迹方程；空间中点到平面的距离．【专题】计算题；整体思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】42【分析】依据给定条件，建立空间直角坐标系，求出点P的轨迹方程，再分类探讨轨迹并求出长度．【解答】解：依据题目，建立如图所示的空间直角坐标系，设点P（x，y，z），x，y，z∈[0，2]，A（2，0，0），A1（2，0，2），在AA1上任取点A2（2，0，z），A2P→=(x−2，y，0)，AA1→=(0，0，2)，A2P→⋅当z＝0时，x＝2，y＝0，点P的轨迹是一个点，轨迹长度为0；当z＝2时，（x﹣2）2+y2＝4，点P的轨迹是以A1为圆心，2为半径的14圆弧，轨迹长度为π当x＝0时，4+y2＝z2，所以y＝0，z＝2，点P的轨迹是一个点，轨迹长度为0；当x＝2时，y2＝z2，y＝z，点P的轨迹是线段AB1，轨迹长度为22当y＝0时，2﹣x＝z，点P的轨迹是线段AD1，轨迹长度为22当y＝2时，（x﹣2）2+4＝z2，则x＝z＝2，点P的轨迹是一个点，轨迹长度为0，因此曲线W的周长是42故答案为：42【点评】本题考查轨迹方程，属于中档题．15．（2025春•金山区校级期中）已知椭圆中心在原点，长轴长为4，以双曲线x22−y2【考点】圆锥曲线的综合．【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；规律思维；运算求解．【答案】x2【分析】双曲线的顶点为(−2，0)，(2【解答】解：易知双曲线x22−所以椭圆的焦点在x轴上，设所求椭圆的方程为x2由于该椭圆长轴长为4，所以2a＝4，解得a＝2，由于该椭圆以双曲线x2所以c=2此时b2＝a2﹣c2＝2，则所求椭圆的标准方程为x2故答案为：x2【点评】本题考查椭圆的方程，考查了规律推理和运算力量，属于基础题．16．（2025春•湖北期中）设O为原点，双曲线Ω的方程是x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0），离心率e=3．直线x+2y﹣m＝0与双曲线Ω的两条渐近线分别交于A，B，与圆x2+y2＝a2相切于点N．若AM→【考点】圆与圆锥曲线的综合；过圆上一点的圆的切线方程；双曲线的几何特征．【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程；规律思维．【答案】﹣4，14．【分析】利用点差法，可求直线OM的斜率，在△OMN中，利用勾股定理可求a的值．【解答】解：如图：设点A（x1，y1），B（x2，y2），渐近线方程为xa+y则x12a相减整理后得kABkAB=−12设AB与x轴交于C，∠MOC＝α，∠MCO＝β，则tanα＝﹣4，tanβ=1tan∠OMN=tan(π−α−β)=−tan(α+β)=−tanα+tanβ在直角△OMN中，|ON|＝a，|MN|=67a所以a2+(故答案为：﹣4；14．【点评】本题考查双曲线的几何性质以及直线与圆的位置关系，属于中档题．四．解答题（共4小题）17．（2025•陕西模拟）函数与圆锥曲线是我们高中最常见的学问板块，现进行探究：（1）化简x2+(y+3)2+（2）已知曲线C：|x|+y＝1，试争辩曲线C的范围．（3）已知抛物线C：y2＝ax（a＞0）上一点P(t，12)到焦点F的距离为2t，抛物线上一点A的纵坐标为1，过点Q（﹣4，2）的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点（均与点A不重合），连接PN，PM，若PN，PM所成角为直角，求A关于直线MN【考点】曲线与方程．【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；规律思维．【答案】（1）y225+（2）x∈R，y∈（﹣∞，1]．（3）R(1325，−【分析】（1）依据椭圆定义直接化简已知方程即可；分类争辩可得方程|x|+|y|＝1围成的图形为边长为2的正方形，由此可得结果；（2）分别争辩x≥0和x≤0的状况即可得到结果；（3）依据抛物线焦半径公式可构造方程求得a，进而得到抛物线方程，设直线MN：x＝ny+m，与抛物线方程联立可得韦达定理的结论，依据垂直关系可整理得到MN方程，由点关于直线对称点的求法可求得结果．【解答】解：（1）x2+(y+3)2+那么这是以（0，﹣3）和（0，3）为焦点，长轴长度为10的椭圆，那么焦距2c＝6，2a＝10，所以c＝3，a＝5，所以b2＝a2﹣c2＝16，所以x2+(y+3)依据|x|+|y|＝1得：x≥0y≥0x+y=1或x≥0y≤0x−y=1或因此方程表示（1，0）、（﹣1，0）、（0，1）、（0，﹣1）为顶点的正方形，如下图所示，那么正方形边长为2，周长为：4×2（2）当x≤0时，方程为﹣x+y＝1⇒y＝x+1，当x≥0时，方程为x+y＝1⇒y＝1﹣x，所以C由两条射线y＝1﹣x（x≥0）和y＝x+1（x≤0）组成，如下图所示，所以ymax＝1，无最小值，所以C的范围为x∈R，y∈（﹣∞，1]．（3）由于点P(t，12)到焦点F的距离为2t，所以t+a4所以(12)2=a×a4，又由于a＞0，所以a＝1，所以依据题意知：过点Q（﹣4，2）的直线斜率不为0，那么可设直线MN：x＝ny+m，N（x2，y2），M（x1，y1），由于Q∈直线MN，所以﹣4＝2n+m，所以m＝﹣2n﹣4；依据x=ny+my2=x得：y2﹣ny所以根的判别式Δ＝n2+4m＞0，依据韦达定理可得y1y2＝﹣m＝2n+4，y1+y2＝n，由于PN⊥PM，所以PM→所以x=(=(所以(2n+4)化简得：60n2+296n+357＝0，所以（10n+21）（6n+17）＝0，解得：n=−2110或当n=−2110时，m=(−2)×(−21设R（x0，y0），则y0−1x0−1当n=−176时，m=(−2)×(−176)−4=53，所以设R（x0，y0），那么y0−1x0−1综上所述：R(1325，−【点评】本题考查曲线与方程，属于难题．18．（2025•河南模拟）已知动圆过定点P（2，0），且在y轴上截得的弦长为4．动圆圆心的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）设过点F（1，0）的直线交曲线E于A，B两点，过点M（﹣1，0）的直线MA与E的另一个交点为C，点A在M与C之间．（i）证明：线段BC垂直于x轴；（ii）记△FBC的面积为S1，△MFC的面积为S2，求5S2﹣S1的取值范围．【考点】轨迹方程．【答案】（1）y2＝4x；（2）（i）证明见解析；（ii）(−∞，82【分析】（1）由题意，建立方程化简可得动圆圆心轨迹方程；（2）（i）设出直线方程，联立抛物线方程，写出韦达定理，由设出的点的坐标，表示出直线MA，MB的斜率，争辩其关系，可得答案；（ii）由点的坐标，表示出三角形的面积，化简函数解析式，利用导数求得最值，可得答案．【解答】解：（1）由题意，动圆