2026步步高高考大二轮复习数学-专题突破　专题五　第1讲　直线与圆

第1讲直线与圆1.(2025·天津，T12)已知l1：x-y+6=0与x轴交于点A，与y轴交于点B，与(x+1)2+(y-3)2=r2(r>0)交于C，D两点，|AB|=3|CD|，则r=.

2.(2024·全国甲卷，理T12)已知b是a，c的等差中项，直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y-1=0交于A，B两点，则|AB|的最小值为()A.1 B.2 C.4 D.253.(2023·新课标Ⅱ卷，T15)已知直线x-my+1=0与☉C：(x-1)2+y2=4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为85”的m的一个值为.4.(2023·新课标Ⅰ卷，T6)过点(0，-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α，则sinα等于()A.1 B.154 C.104 5.(2025·全国Ⅰ卷，T7)已知圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=3x+2的距离为1的点有且仅有两个，则r的取值范围是()A.(0，1) B.(1，3)C.(3，+∞) D.(0，+∞)6.(多选)(2021·新高考全国Ⅰ卷，T11)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上，点A(4，0)，B(0，2)，则()A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2C.当∠PBA最小时，|PB|=32 D.当∠PBA最大时，|PB|=32命题热度：本讲是历年高考命题常考的内容，属于中低档题目，主要以选择题或填空题的形式进行考查，分值约为5~6分.考查方向：一是直线的方程、两直线的位置关系、距离问题；二是圆的方程，主要考查圆的方程的求解以及几何性质的应用；三是直线和圆的位置关系，主要考查位置关系的判断，由位置关系求解参数的值或范围，由弦长、半径和圆心距引发解三角形是重点；四是圆与圆的位置关系，主要考查位置关系的判断和公共弦等相关问题.1.答案2解析由题意得直线l1：x-y+6=0与x轴交于A(-6，0)，与y轴交于B(0，6)，所以|AB|=62+62=62，则|圆(x+1)2+(y-3)2=r2的半径为r，圆心(-1，3)到直线l1：x-y+6=0的距离为d=|-1-3+6|2=2，故|CD|=2r2-解得r=2(负值舍去).2.答案C解析因为b是a，c的等差中项，所以2b=a+c，c=2b-a，代入直线方程ax+by+c=0得ax+by+2b-a=0，即a(x-1)+b(y+2)=0，令x-1=0，故直线恒过(1，-2)，设P(1，-2)，圆化为标准方程得x2+(y+2)2=5，设圆心为C，画出直线与圆的图形，如图，由图可知，当PC⊥AB时，|AB|最小，又|PC|=1，|AC|=5，此时|AB|=2|AP|=2|AC=25-1=4.3.答案22解析设直线x-my+1=0为直线l，点C到直线l的距离为d，由弦长公式得|AB|=24-d所以S△ABC=12×d×24-d2解得d=455或d=又d=|1+1|1+所以21+m2=455解得m=±12或m=±24.答案B解析如图，设A(0，-2)，两切点分别为B，C，由x2+y2-4x-1=0得(x-2)2+y2=5，所以圆心坐标为(2，0)，半径r=5，所以圆心到A(0，-2)的距离为(2-0)2+(0+2由于圆心与A(0，-2)的连线平分∠BAC，所以sin∠BAC2=r22=所以cos∠BAC=1-2sin2∠BAC2=-1所以∠BAC为钝角，且∠BAC+α=π，所以sinα=sin∠BAC=1-cos2∠5.答案B解析由题意，在圆x2+(y+2)2=r2(r>0)中，圆心为E(0，-2)，半径为r，∵圆心E(0，-2)到直线y=3x+2的距离为d=|0×故由图可知，当r=1时，圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有1个点(A点)到直线y=3x+2的距离等于1；当r=3时，圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有3个点(B，C，D点)到直线y=3x+2的距离等于1，则当r的取值范围为(1，3)时，圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有2个点到直线y=3x+2的距离等于1.6.答案ACD解析设圆(x-5)2+(y-5)2=16的圆心为M(5，5)，由题易知直线AB的方程为x4+y2=1，即x+2y-4=0，则圆心M到直线AB的距离d=|5+2×5-4|5=115>4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4+d=4+115，易知点P到直线AB的距离的最小值为d-4=115-4，115-4<1255-4=1，故过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|=|MB|2-|MN|2=52+(5-2)2-42=32，当∠PBA最大时，点P考点一直线、圆的方程例1(1)(多选)下列说法正确的是()A.已知直线x+y-a=0与直线3x-ay+3=0平行，则它们之间的距离是2B.“a=-1”是“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”的充要条件C.当点P(3，2)到直线mx-y+1-2m=0的距离最大时，m的值为-1D.已知直线l过定点P(1，0)，且与以A(2，-3)，B(-3，-2)为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是(-∞，-3]∪1答案ACD解析对于A，直线x+y-a=0与直线3x-ay+3=0平行，则1×(-a)-3=0，解得a=-3，直线3x+3y+3=0，即x+y+1=0，则直线x+y+3=0与直线x+y+1=0的距离为|3-1|1+1=2对于B，由两直线互相垂直得，a2×1+(-1)×(-a)=0，解得a=-1或a=0，可知“a=-1”是两直线垂直的充分不必要条件，选项B错误；对于C，将直线方程变形为m(x-2)+1-y=0，由x-2=0，则直线mx-y+1-2m=0过定点Q(2，1)，斜率为m，当直线mx-y+1-2m=0与PQ垂直时，点P(3，2)到直线mx-y+1-2m=0的距离最大，因为kPQ=2-13-2=1，所以m=-1，选项C对于D，如图，kPA=-3-02-1=-3kPB=-2-0-3-1=1由图可知，当k≥12或k≤-3时，直线l与线段AB有交点，故选项D正确(2)(多选)(2025·咸阳模拟)已知圆C的方程为x2+y2-8x+12=0，点M(x0，y0)是圆C上任意一点，O为坐标原点，则下列结论正确的是()A.圆C的半径为2B.满足|OM|=5.5的点M有两个C.x0+2y0的最大值为4+25D.若点P在x轴上，则使|OM|=2|PM|恒成立的点P有两个答案ABC解析对于A，圆的方程可化为(x-4)2+y2=4，所以圆心C(4，0)，半径为2，故A正确；对于B，由于|OC|=4，所以圆C上任意一点到原点的最大距离是4+2=6，最小距离是4-2=2，因此满足|OM|=5.5的点M有两个，故B正确；对于C，令x0+2y0=t，则x0=t-2y0，所以M(t-2y0，y0)，将点M(t-2y0，y0)代入圆C的方程并整理，得5y02+(16-4t)y0+(t2-8t+12)依题意有Δ=(16-4t)2-20(t2-8t+12)≥0，即t2-8t-4≤0，解得4-25≤t≤4+25，因此x0+2y0的最大值为4+25，故C正确；对于D，不妨设P(a，0)，由于|OM|=2PM，所以x02+整理得x02+y02-8a3因为点M(x0，y0)在圆C上，所以x02+y02-8则8a3-8x0+因为x0为点M的横坐标，且点M为圆C上任意一点，所以8解得a=3，所以符合要求的点P是唯一的，故D错误.[规律方法](1)解决直线方程问题的三个注意点①利用A1B2-A2B1=0后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.②要注意直线方程每种形式的局限性.③讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在.(2)解决圆的方程问题一般有两种方法①几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.②代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.跟踪演练1(1)(多选)已知直线l：y=kx+2k-3，则下列说法正确的是()A.直线l恒过定点(-2，-3)B.若直线l在x轴上的截距为1，则k=1C.若直线l与直线2x+y-1=0垂直，则k=-1D.若k≥3，则直线l的倾斜角的取值范围为π答案AB解析直线l：y=kx+2k-3=k(x+2)-3，令x+2=0，即x=-2，得y=-3，所以直线l恒过定点(-2，-3)，故A正确；若直线l在x轴上的截距为1，则直线l过点(1，0)，代入直线l的方程得0=k+2k-3，解得k=1，故B正确；若直线l与直线2x+y-1=0垂直，则k×(-2)=-1，解得k=12，故C设直线l的倾斜角为θ，则k=tanθ≥3，又θ∈[0，π)，所以由正切函数的单调性可知θ∈π3，π2(2)(2025·江西四月适应性联考)与直线y=33x和直线y=3x都相切且圆心在第一象限，圆心到原点的距离为2的圆的方程为.答案(x-1)2+(y-1)2=2-解析设圆心坐标为(a，b)(a>0，b>0)，由于所求圆与直线y=33x和直线y=3x故|3a-3化简得a2=b2，而a>0，b>0，则a=b，又圆心到原点的距离为2，即a2+b2=2，解得a=b=1，即圆心坐标为(1，1)，则半径为|3a-故所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2-3考点二直线、圆的位置关系考向1直线与圆的位置关系例2(多选)(2025·石家庄模拟)已知直线l：x+ay-3=0与圆C：x2+y2-8x+6y+16=0，则下列说法正确的是()A.当a=2时，直线l与圆C相交B.若直线l与圆C相切，则a=4C.圆C上一点P到直线l的最大距离为10+3D.若圆C上恰好有三个点到直线l的距离为2，则a=3答案AC解析当a=2时，直线l：x+2y-3=0，圆C的方程可化为(x-4)2+(y+3)2=9，所以圆心C(4，-3)，半径r=3，则圆心C到直线l的距离d=4+2×(-3)-312所以直线l与圆C相交，故A正确；因为直线l与圆C相切，所以圆心C到直线l的距离d=4-3a-31+a2=3，解得a因为直线l恒过定点(3，0)，所以圆心C到直线l的最大距离为(3-4)2+(0+3则圆C上一点P到直线l的最大距离为10+r=10+3，故C正确；因为圆C上恰好有三个点到直线l的距离为2，所以圆心C到直线l的距离d=4-3a-31+a2=1，解得a=0或a=考向2圆与圆的位置关系例3(多选)(2025·铜仁模拟)已知圆C1：x2+(y+2)2=4，圆C2：x2+y2-4y+a=0，则下列说法正确的是()A.a<4B.若a=0，则圆C1与圆C2有且仅有1个公共点C.若圆C1与圆C2的公共弦长为4，则a=-16D.当a=-32时，若动圆M与圆C1外切，同时与圆C2内切，则点M的轨迹方程为x24+答案ABC解析对于圆C2：x2+y2-4y+a=0，转化为标准方程x2+(y-2)2=4-a，因为半径为4-a>0，所以a<4，A若a=0，圆C1：x2+(y+2)2=4，圆心C1(0，-2)，半径r1=2，圆C2：x2+(y-2)2=4，圆心C2(0，2)，半径r2=2，两圆心间的距离C1C2=-2-2=4=r1+所以两圆有且仅有1个公共点，B正确；若圆C1与圆C2的公共弦长为4，因为圆C1的直径为4，所以公共弦为圆C1的直径，即两圆的公共弦所在的直线过圆C1的圆心(0，-2)，由x2+(y+2)2=4将(0，-2)代入8y-a=0得a=-16，C正确；当a=-32时，圆C2：x2+(y-2)2=36，圆心C2(0，2)，半径r2=6，圆C1：x2+(y+2)2=4，圆心C1(0，-2)，半径r1=2.设动圆M的半径为R，因为动圆M与圆C1外切，同时与圆C2内切，则MC1=R+2，MC所以MC1+MC2根据椭圆的定义可知点M的轨迹是以C1(0，-2)，C2(0，2)为焦点的椭圆，且2a=8，2c=4，可得a=4，c=2，b2=a2-c2=16-4=12，故其轨迹方程为y216+x212=1(y≠-4)[规律方法](1)与圆的弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理(2)两圆相交公共弦的方程可通过两圆的方程相减求得，进而在一个圆内，利用垂径定理求公共弦长.跟踪演练2(1)(2025·湖南名校联合体模拟)已知直线l：y=kx(k<0)与圆C：x2+y2-2x+4y+1=0相交于M，N两点，其中点C为圆心，若0<∠MCN≤2π3，则k的取值范围为(A.2-62C.-∞，答案B解析x2+y2-2x+4y+1=0化为(x-1)2+(y+2)2=4，所以圆心C(1，-2)，半径为2.0<∠MCN≤2π3⇔1≤d<2其中d为圆心C到直线l的距离.因为d=k+2所以1≤k+2k因为k<0，所以-34≤k<0(2)已知圆C：(x-4)2+(y-3)2=1和两点A(-m，0)，B(m，0)(m>0).若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为.

答案6解析以AB为直径的圆O的方程为x2+y2=m2，圆心为原点，半径为r1=m，圆C：(x-4)2+(y-3)2=1的圆心为(4，3)，半径为r2=1.要使圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则圆O与圆C有公共点，所以|r1-r2|≤|OC|≤|r1+r2|，即|m-1|≤42+32≤所以m-1|≤5，m+1所以m的最大值为6.考点三隐圆例4(1)已知点A(-3，0)，B(3，0)，若圆(x-a+1)2+(y-a-2)2=1上存在点M满足MA·MB=-5，则实数a的值不可能为()A.2 B.1 C.0 D.-2答案A解析设M(x，y)，因为MA·MB=-5，MA=(-3-x，-y)，MB=(3-x，-y)，所以MA·MB=(-3-x)(3-x)+(-y)2=x2-9+y2=-5，即x2+y2=4，所以点M的轨迹是圆，方程为x2+y2=4.由题意知，圆x2+y2=4与圆(x-a+1)2+(y-a-2)2=1有公共点，所以2-1≤(a-1)2+(a+2)2≤2+1，解得(2)(多选)已知动点M与两个定点O(0，0)，P(3，0)的距离的比为12，动点M的轨迹为曲线C，则(A.动点M的轨迹方程为(x+1)2+y2=4B.直线x-y+2=0与曲线C交于A，B两点，则AB的长为14C.曲线C与曲线D：(x-1)2+y2=4的公切线有2条D.已知点E(-1，1)，点N为曲线C上任意一点，则2NO-NE的最大值为17答案ACD解析设M(x，y)，由MOMP=12可得x2化简得x2+y2+2x-3=0，即(x+1)2+y2=4.故动点M的轨迹方程为(x+1)2+y2=4，A正确；(x+1)2+y2=4的圆心为(-1，0)，半径为r=2，所以圆心到直线x-y+2=0的距离d=-1-0+22=2所以AB=2r2-d2=24-1曲线D的圆心为(1，0)，半径为2，因为两圆心间的距离为(1+1)2+02=2由题意得动点N与点O(0，0)，点P(3，0)的距离的比为12，所以2NO-NE=NP-NE≤PE=17，D正确[规律方法]发现隐圆的主要方法(1)由定义可以判断(动点到定点的距离为定值).(2)由两定点A，B，动点P满足PA·PB=λ(λ是常数)，求出点P的轨迹方程确定圆.(3)由两定点A，B，动点P满足|PA|2+|PB|2是定值确定圆.(4)由两定点A，B，动点P满足|PA||PB|=λ(λ>0且λ≠1)确定圆(阿波罗尼斯圆)跟踪演练3(多选)在平面直角坐标系中，存在三点A(-1，0)，B(1，0)，C(0，7)，动点P满足|PA|=2|PB|，则()A.点P的轨迹方程为(x-3)2+y2=8B.当△PAB面积最大时，|PA|=26C.当∠PAB最大时，|PA|=26D.点P到直线AC距离的最小值为4答案ABD解析设P(x，y)，由|PA|=2|PB|得|PA|2=2|PB|2，即(x+1)2+y2=2[(x-1)2+y2]，化简得(x-3)2+y2=8，即点P的轨迹方程为(x-3)2+y2=8，A正确；∵直线AB过圆(x-3)2+y2=8的圆心，∴点P到直线AB的距离的最大值为圆(x-3)2+y2=8的半径r，即为22，∵|AB|=2，∴△PAB的面积最大为12×2×22=22此时P(3，±22)，∴|PA|=(3+1)2+(22)当∠PAB最大时，则PA为圆(x-3)2+y2=8的切线，∴|PA|=(3+1)2-8=22直线AC的方程为7x-y+7=0，则圆心(3，0)到直线AC的距离为|7×3-0+7∴点P到直线AC距离的最小值为1425-22=425专题强化练[分值：85分]一、单项选择题(每小题5分，共40分)1.(2025·乌鲁木齐适应性检测)直线l：2x+3y-1=0的一个方向向量为()A.(3，2) B.(3，-2)C.(2，3) D.(2，-3)答案B解析由直线方程为2x+3y-1=0，则(3，-2)是直线的一个方向向量.2.(2025·新余模拟)已知直线(m+1)x+3y+1=0与直线4x+my+1=0平行，则m的值为()A.3 B.-4C.3或-4 D.3或4答案B解析由题意得m(m+1)-12=m2+m-12=(m+4)(m-3)=0，可得m=-4或m=3，当m=-4时，直线3x-3y-1=0与直线4x-4y+1=0平行，符合题意；当m=3时，直线4x+3y+1=0与直线4x+3y+1=0重合，不符合题意；∴m=-4.3.(2025·绍兴模拟)直线x=2被圆(x-1)2+(y-2)2=5截得的弦长为()A.2 B.4 C.23 D.25答案B解析圆(x-1)2+(y-2)2=5的圆心为(1，2)，半径r=5，又圆心(1，2)到直线x=2的距离d=2-1=1，所以弦长为2r2-d24.(2025·佛山质检)在平面直角坐标系中，曲线C：x4+y3=1的周长为(A.12 B.14 C.16 D.20答案D解析曲线C：x4+y3x≥0或x≤0其中x≥0，y≥0，x4+y3=1其长度为42+32所以曲线C：x4+y3=1的周长为4×5.(2025·包头模拟)若(x+2)2+(y+1)2=2，则x+y+1xA.-1 B.0 C.1 D.2答案B解析令P(x，y)，又x+y+1x令y+1x=k，整理得kx-y由题意可得-2k+1-11+k2≤2，整理得k2-1≤0，解得-1所以0≤x+y+1x≤2，故6.(2025·宁波模拟)已知点M(a，0)，N(2，3)到同一直线的距离分别为2，3，若这样的直线恰有2条，则a的取值范围为()A.(-2，0) B.(-2，6)C.(0，6) D.(2，6)答案B解析以M(a，0)为圆心，2为半径的圆为(x-a)2+y2=4，以N(2，3)为圆心，3为半径的圆为(x-2)2+(y-3)2=9，若符合题意的直线恰有2条，则上述两圆相交，而|MN|=(2-a所以1<|MN|<5，即1<(2-a)可得1<(2-a)2+9<25，所以-4<2-a<4，解得-2<a<6.7.(2025·安庆模拟)已知点P在圆x-522+y2=94上，A(-2，0)，M(1，1)，则13A.1 B.2 C.22 D.10答案B解析设P(x，y)，B(a，0)，13|PA|=|PB|则13(x整理得x2+y2-9a+24x+已知点P的轨迹方程展开整理得x2+y2-5x+4=0，则9a+24=5，9a2-48=4所以13|PA|+|PM|=|PB|+|PM|≥MB=(2-1)2当P在线段BM上时等号成立，所以13|PA|+|PM|的最小值为28.(2025·沈阳模拟)函数f(x)=22x+x2-8x+25(0≤x≤4A.4 B.733 C.答案C解析因为f(x)=22x+(当x=0时，f(0)=5；当0<x≤4时，如图所示.设P(x，3)，C(0，3)，A(4，0)，∠PCB=45°，PB⊥CB于点B，则f(x)=PCsin∠PCB+PA=PB+PA，由图可知，PB+PA的最小值为点A到直线BC的距离d.易知直线BC的方程为y=x+3，即x-y+3=0，所以d=|4-0+3|12故f(x)的最小值为72二、多项选择题(每小题6分，共18分)9.(2025·潍坊模拟)已知点P(2，2)，圆C：x2+y2=18，则()A.点P在圆C内B.点P与圆C上的点之间的最大距离为62C.以点P为中点的弦所在直线的方程为x+y-4=0D.过点P的直线被圆C截得弦长的最小值为10答案AC解析对于A，因为22+22=8<18，所以点P在圆C内，故A正确；对于B，由PC=22+22=22，圆C的半径知点P与圆C上的点之间的最大距离为22+32=52，故B错误；对于C，由kPC=2-02-0=1可知以点P为中点的弦所在直线的斜率为k=-1，故以点P为中点的弦所在直线的方程为y-2=-(x-2)，即x+y-4=0，故C正确；对于D，由圆的性质可知，当PC与过点P的弦垂直时，所得弦长最短，此时弦长为2r2-|PC|2=218-8=210.下列说法错误的是()A.“a=-1”是“直线x-ay+3=0与直线ax-y+1=0互相垂直”的充要条件B.直线xcosα-y+3=0的倾斜角θ的取值范围是0，πC.若圆C1：x2+y2-6x+4y+12=0与圆C2：x2+y2-14x-2y+a=0有且只有一个公共点，则a=34D.若直线l过点M(-2，3)且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为x+y=1答案ACD解析对于A，当a=-1时，直线x+y+3=0与直线-x-y+1=0互相平行，即“a=-1”不是“直线x-ay+3=0与直线ax-y+1=0互相垂直”的充要条件，所以A错误；对于B，由直线xcosα-y+3=0的倾斜角θ满足tanθ=cosα∈[-1，1]，因为θ∈[0，π)，可得0≤θ≤π4或3π4≤θ<π，所以θ∈0，π4对于C，圆C1：x2+y2-6x+4y+12=0的圆心为C1(3，-2)，半径r=1，圆C2：x2+y2-14x-2y+a=0的圆心为C2(7，1)，半径R=50-a(a<50)因为两圆有且只有一个公共点，则两圆外切或内切，则(3-7)2+(-2-1)2=5=1+50-a解得a=34或a=14，所以C错误；对于D，由直线l过点M(-2，3)，当直线l在两坐标轴上的截距相等，且不为0时，设直线l的方程为xa+ya可得-2a+3a=1，解得a=1，此时直线方程为x+y当直线l过原点时，满足在两坐标轴上的截距相等，此时直线l的方程为y=-32x，所以D错误11.(2025·渭南质检)设直线系M：xcosθ+(y-2)sinθ=3(0≤θ<2π)，则下列四个命题为真命题的是()A.M中所有直线均经过一个定点B.存在定点P不在M中的任一条直线上C.M中的直线所能围成的正三角形面积都相等D.对于任意整数n(n≥3)，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上答案BD解析对于A，令x消去θ可得x2+(y-2)2=9，圆心(0，2)到直线系M中每条直线的距离d=3cos2故直线系M表示圆x2+(y-2)2=9的切线的集合，故A错误；对于B，对任意θ，存在定点(0，2)不在直线系M中的任一条直线上，故B正确；对于C，直线系M中的直线所能围成的正三角形边长不一定相等，故面积也不一定相等，如图中的等边△ABC和等边△ADE，故C错误；对于D，由于圆x2+(y-2)2=9的外切正n边形(n≥3)，其所有边均在直线系M中的直线上，故D正确.三、填空题(每小题5分，共15分)12.(2025·安徽A10联盟质检)已知圆C：x2+y2-mx-4=0上存在两点关于直线x-y-3=0对称，则圆C的半径为.

答案13解析因为圆上存在两点关于直线x-y-3=0对称，所以直线x-y-3=0过圆心m2从而m2-3=0，解得m=6则圆C的方程为(x-3)2+y2=13，故圆C的半径为13.13.(2025·红河州、文山州、普洱市、临沧市检测)已知直线l：mx+ny=3(m>0，n>0)，若直线l被圆x2+y2-2x-2y=0所截得的弦长为22，则mn的最大值为.

答案9解析因为圆(x-1)2+(y-1)2=2的半径r=2，圆心(1，1)，直线l被圆所截得的弦长为22，所以圆心(1，1)在直线mx+ny=3上，即m+n=3，又因为mn≤m+n2当且仅当m=n=32时，等号成立所以mn的最大值为9414.(2025·齐鲁名校联考)已知三个正数r1，r2，r3构成公比为q(q>1)的等比数列，圆Ci：(x-ri)2+y2=ri2(i=1，2，3)，过圆C3上一点P分别作圆C1，C2的切线，切点分别为Q，R，若PR答案3解析不妨设r1=1，r2=q，r3=q2，则三个圆心分别为C1(1，0)，C2(q，0)，C3(q2，0)，根据勾股定理得PQ2=PC12-1，PR2=所以PR2PQ2=P因为点P在圆(x-q2)2+y故可设点P(q2cosθ+q2，q2sinθ)，其中θ≠π，则(q2cos整理得2q3(即qq+1=34，解得(每小题6分，共12分)15.(多选)(2025·新余模拟)数学之美，古来共谈.如图甲，在平面直角坐标系中有☉O：x2+y2=1与x轴分别交于A，B两点，P为☉O上的动点，以AP为直径的☉E的位置随P点位置的变化而变化，当P点逆时针转过一周时，☉E扫过的区域是图乙所示的美丽的“心形”(记作M)，则下列说法正确的是()A.若∠PAB=π6，则☉E与x轴公共点的坐标为(-1，0)和B.图乙中M内的点到y轴距离的最大值为1.25C.若以O为圆心的圆可以完全覆盖区域M，则该圆的半径最小为2D.图乙中M与y轴的公共部分上的点到x轴距离的最大值为2+2答案ABD解析对于A，设☉E与x轴交于A，A