2026步步高高考大二轮复习数学-思维提升　培优点14　切线夹逼证明函数不等式

培优点14切线夹逼证明函数不等式[考情分析]双变量的证明问题一直是教学中的难点，我们接触较多的是极值点偏移问题，但有关函数中两零点间距离的证明问题，对学生而言存在一定难度，这类问题的设计背景来源于解析几何中的弦长公式|AB|=1+k2|x1-x2|，函数的形式多变例已知函数f(x)=1-x(1)求函数f(x)的零点x0，以及曲线y=f(x)在x=x0处的切线方程；(2)设方程f(x)=m(m>0)有两个实根x1，x2，求证：|x1-x2|<2-m1+1(1)解令f(x)=1-x2ex=0，得x=±1，所以函数f(x)的零点x0=±1，又f'(x)=x2-2x-1ex，则f'(-1)=2e，f'(1)=-2e，则曲线y=f(x)在点(-1，0)，(1，0)处的切线方程分别为y=2e(x(2)证明画出函数f(x)=1-x2ex的图象，易知x1，x2∈(-1又f(0)=1，f'(0)=-1，所以曲线y=f(x)在点(-1，0)，(0，1)处的切线方程分别为y=2e(x+1)和y=-x+1.令g(x)=2e(x+1)，h(x)=-x+1.先证f(x)<g(x)(-1<x<1)，再证f(x)≤h(x)(-1<x<1).构造函数F(x)=f(x)-g(x)=1-x2ex-2e(x+1)(-1<易证当-1<x<1时，F'(x)=x2-2x-1ex-2e<0，所以F(x)在故F(x)=1-x2ex-2e(x+1)<F(即f(x)<g(x)(-1<x<1).f(x)-h(x)=1-x2e=(x-1)[ex-(令φ(x)=ex-(x+1)(-1<x<1)，φ'(x)=ex-1，令φ'(x)<0，得-1<x<0，令φ'(x)>0，得0<x<1，则φ(x)在(-1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，所以当-1<x<1时，φ(x)≥φ(0)=0，又当-1<x<1时，x-1<0，ex>0，所以f(x)-h(x)≤0，即f(x)≤h(x)(-1<x<1)，不妨设-1<x1<x2<1，方程g(x)=m的根为x'1，可得x'1=m2e-1因为g(x)在(-1，1)上单调递增，且g(x1)>f(x1)=m=g(x'1)，所以x1>x'1.类似地，设方程h(x)=m的根为x'2，可得x'2=1-m.因为h(x)在(-1，1)上单调递减，且h(x2)≥f(x2)=m=h(x'2)，所以x2≤x'2.由此可得x2-x1<x'2-x'1=1-m-m2e-1=2-m综上，|x1-x2|<2-m1+1[规律方法]当方程的根无法求解时，可以联想到弦长公式的求法|AB|=1+k2|x1-x2|，设而不求，尝试转化，借助第(1)问，利用切线夹逼，这是一种以直代曲的思想(定积分的思想)跟踪演练已知函数f(x)=xlnx.(1)对于任意的x>0，证明：f(x)≥-2x-e-3；(2)若f(x)=b有两个实根x1，x2(x1≠x2)，求证：|x1-x2|<32b+1+1证明(1)令g(x)=f(x)+2x+e-3=xlnx+2x+e-3，g'(x)=lnx+3，显然g'(x)=0时，x=e-3，当x∈(0，e-3)时，g'(x)<0，∴函数g(x)在(0，e-3)上单调递减；当x∈(e-3，+∞)时，g'(x)>0，∴函数g(x)在(e-3，+∞)上单调递增，∴g(x)≥g(e-3)=-3e-3+2e-3+e-3=0.∴对于任意的x>0，f(x)≥-2x-e-3.(2)当x=1时，f(1)=0，由函数f(x)=xlnx在点(1，0)处切线的斜率k=f'(1)=1，可得在(1，0)处的切线方程为y=x-1，作出直线y=x-1与f(x)=xlnx的图象，如图，根据图象可得x1，x2∈(0，1)，易证f(x)>x-1(0<x<1)，记直线y=-2x-e-3，y=x-1分别与y=b交于点(x'1，b)，(x'2，b)，可得x'1=-b-e-32，x'2=b+1，不妨设x1<x2，则x'1≤x1，x故|x1-x2|=x2-x1<x'2-x'1=(b+1)--b2-12e故|x1-x2|<32b+1+1专题强化练[分值：34分]1.(17分)已知函数f(x)=4x-x4，x∈R.(1)求f(x)的单调区间；(4分)(2)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g(x)，求证：对于任意的实数x，都有f(x)≤g(x)；(6分)(3)若方程f(x)=a(a为实数)有两个实数根x1，x2，且x1<x2，求证：x2-x1≤-a3+413.((1)解由f(x)=4x-x4，可得f'(x)=4-4x3.当f'(x)>0，即x<1时，函数f(x)单调递增；当f'(x)<0，即x>1时，函数f(x)单调递减.所以f(x)的单调递增区间为(-∞，1)，单调递减区间为(1，+∞).(2)证明设点P的坐标为(x0，0)，则x0=413，f'(x0)曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=f'(x0)(x-x0)，即g(x)=f'(x0)(x-x0)，令函数F(x)=f(x)-g(x)，即F(x)=f(x)-f'(x0)(x-x0)，则F'(x)=f'(x)-f'(x0).因为F'(x0)=0，f'(x)=4-4x3是R上的减函数，所以当x∈(-∞，x0)时，F'(x)>0；当x∈(x0，+∞)时，F'(x)<0，所以F(x)在(-∞，x0)上单调递增，在(x0，+∞)上单调递减，则对于任意实数x，F(x)≤F(x0)=0，即对任意实数x，都有f(x)≤g(x).(3)证明由(2)知，g(x)=-12x-设方程g(x)=a的根为x'2，可得x'2=-a12+4因为g(x)在R上单调递减，又由(2)知g(x2)≥f(x2)=a=g(x'2)，因此x2≤x'2.类似地，设曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=h(x)，f'(0)=4，可得h(x)=4x，对于任意的x∈R，有f(x)-h(x)=-x4≤0，即f(x)≤h(x).设方程h(x)=a的根为x'1，可得x'1=a4因为h(x)=4x在R上单调递增，且h(x'1)=a=f(x1)≤h(x1)，因此x'1≤x1，如图所示，由此可得x2-x1≤x'2-x'1=-a3+42.(17分)已知f(x)=x-xlnx-1，记f(x)在x=1e处的切线方程为y=g(x)(1)证明：g(x)≥f(x)；(8分)(2)若方程f(x)=m有两个不相等的实根x1，x2(x1<x2)，证明：x1-x2>2m+2-e-1e.(9分证明(1)f(x)=x-xlnx-1的定义域为(0，+∞)，∵f'(x)=1-(lnx+1)=-lnx，∴f'1e=1f1e=1e+1e-1=∴f(x)在x=1ey-2e-1=x-则g(x)=x+1e-1令F(x)=g(x)-f(x)=x+1e-1-(x-xlnx-1)=1e+xlnx，x∈(0，+∞则F'(x)=1+lnx，令F'(x)=0，解得x=1e∴当0<x<1e时，F'(x)<0，F(x)在0当x>1e时，F'(x)>0，F(x)在1e，+∞上单调递增，∴F(x)min∴F(x)≥0在(0，+∞)上恒成立，即g(x)≥f(x).(2)由(1)知f'(x)=-lnx，令f'(x)=0，得x=1，∴当0<x<1时，f'(x)>0，f(x)在(0，1)上单调递增，当x>1时，f'(x)<0，f(x)在(1，+∞)上单调递减，∴f(x)max=f(1)=0，当x→0时，f(x)→-1；当x>e时，f(x)<f(e)=-1，∵方程f(x)=m有两个不相等的实根x1，x2(x1<x2)，∴-1<m<0，且0<x1<1<x2<e，∵f'(e)=-1，f(e)=-1，∴函数f(x)在x=e处的切线方程为y-(-1)=-(x-e)，即y=-x+e-1.下证f(x)≤-x+e-1，令h(x)=-x+e-1-f(x)=-x+e-1-(x-xlnx-1)=-2x+xlnx+e，x∈(0，+∞)，则h'(x)=-2+lnx+1=-1+lnx，令h'(x)=0，解得x=e，∴当0<x<e时，h'(x)<0，h(x)在(0，e)上单调递减，当x>e时，h'(x)>0，h(x)在(e