2026步步高高考大二轮复习数学-思维提升　培优点10　抽象函数的性质

培优点10抽象函数的性质[考情分析]抽象函数问题是近几年高考的热点问题，考查数学素养和创新思维.抽象函数问题是指没有给出具体的解析式，只给出它的一些特征、性质或一些特殊的关系式的函数，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力.考点一抽象函数的奇偶性、周期性与对称性例1(多选)(2025·海口模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(2+x)+f(2-x)=6，函数F(x)=f(1+x)-(1+x)为偶函数，则()A.函数f(x)图象的一个对称中心为(2，3)B.f(0)=2C.函数f(x)为周期函数，且一个周期为4D.f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=14答案AD解析对于A，由f(2+x)+f(2-x)=6知函数f(x)图象的一个对称中心为(2，3)，故A正确；对于B，因为函数f(x)的图象关于点(2，3)对称，则f(2)=3，由函数F(x)=f(1+x)-(1+x)为偶函数，故f(1+x)-(1+x)=f(1-x)-(1-x)，即f(1+x)=f(1-x)+2x，令x=-1，则f(0)=f(2)-2=3-2=1，故B错误；对于C，由函数f(x)图象的一个对称中心为(2，3)，f(0)=1，则f(4)=5，即f(0)≠f(4)，故函数f(x)的周期不是4，故C错误；对于D，由f(2+x)+f(2-x)=6，令x=1，有f(3)+f(1)=6，又f(2)=3，f(4)=5，故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=14，故D正确.[规律方法]函数性质的综合问题经常利用函数的奇偶性、对称性、周期性中的两个性质去推导第三个性质，再将3个性质综合运用即可实现问题求解.跟踪演练1已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+1)+f(x-1)=2，f(x+2)为偶函数，若f(0)=2，则115Σk=1f(k)等于(A.116 B.115 C.114 D.113答案C解析由f(x+1)+f(x-1)=2，得f(x+2)+f(x)=2，即f(x+2)=2-f(x)，所以f(x+4)=2-f(x+2)=2-[2-f(x)]=f(x)，所以函数f(x)的周期为4，又f(x+2)为偶函数，则f(x+2)=f(-x+2)，所以f(x)=f(4-x)=f(-x)，所以函数f(x)也为偶函数，又f(x+1)+f(x-1)=2，所以f(3)+f(1)=2，f(4)+f(2)=2，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4，又f(2)+f(0)=2，f(0)=2，所以f(2)=0，所以115Σk=1f(k)=[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]×28+f(1)+f(2)+f(3)=4×考点二两个混合型函数的抽象函数例2(2022·全国乙卷)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2-x)=5，g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称，g(2)=4，则22Σk=1f(k)等于(A.-21 B.-22 C.-23 D.-24答案D解析由y=g(x)的图象关于直线x=2对称，可得g(2+x)=g(2-x).在f(x)+g(2-x)=5中，用-x替换x，可得f(-x)+g(2+x)=5，可得f(-x)=f(x).在g(x)-f(x-4)=7中，用2-x替换x，得g(2-x)=f(-x-2)+7，代入f(x)+g(2-x)=5中，得f(x)+f(-x-2)=-2，可得f(x)+f(x+2)=-2，所以f(x+2)+f(x+4)=-2，所以f(x+4)=f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数.由f(x)+g(2-x)=5可得f(0)+g(2)=5，又g(2)=4，所以可得f(0)=1，又f(x)+f(x+2)=-2，所以f(0)+f(2)=-2，f(-1)+f(1)=-2，得f(2)=-3，f(1)=f(-1)=-1，又f(3)=f(-1)=-1，f(4)=f(0)=1，所以22Σk=1f(k)=6f(1)+6f(2)+5f(3)+5f(4)=6×(-1)+6×(-3)+5×(-1)+5×1=-24.故选[规律方法]解决双函数的抽象函数问题，关键是找到两个函数之间的联系，然后通过赋值、解方程分别找到每一个函数之间的内在联系，从而得到每一个函数的性质.跟踪演练2(多选)已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(1+x)-g(x)=2，则()A.g(x)的图象关于直线x=2对称B.g(x)是以4为周期的周期函数C.f(x)的图象关于点(1，2)对称D.2025Σk=1f(2k-1答案BC解析对于C，由f(1+x)-g(x)=2， ①得f(1-x)-g(-x)=2，因为g(x)为奇函数，所以g(-x)=-g(x)，故f(1-x)+g(x)=2， ②①+②，得f(1+x)+f(1-x)=4，所以f(x)的图象关于点(1，2)对称，且f(x)+f(2-x)=4，故C正确；对于D，因为f(x)是偶函数，所以f(x)=4-f(2-x)=4-f(x-2)，所以f(x)+f(x-2)=4，f(x-2)+f(x-4)=4，故f(x)=f(x-4)，所以f(x)的周期为4，在f(1+x)+f(1-x)=4中，令x=0，得f(1)=2，所以f(1)+f(3)=f(1)+f(-1)=2f(1)=4，结合f(x)的周期性得，f(5)+f(7)=…=f(4045)+f(4047)=f(1)+f(3)=4，f(4049)=f(1)=2，所以2025Σk=1f(2k-1)=2025×2=4050，故对于A，①-②，得g(x)=f(1+所以g(2+x)+g(2-x)=f(3+x=f(x=0，所以g(x)的图象关于点(2，0)对称，而不是关于直线x=2对称，故A错误；对于B，由g(2+x)+g(2-x)=0得g(x)+g(4-x)=0，因为g(x)是奇函数，所以g(x)=-g(4-x)=g(x-4)，所以g(x)是以4为周期的周期函数，故B正确.考点三抽象函数与导数例3(多选)(2025·石家庄模拟)函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R，且满足f(2x)=f(2x+3)，f'(x+3)为奇函数，若2是f(x)的极值点，则()A.f(x)的周期为3B.f'(x)是偶函数C.f(x)是奇函数D.f'(x)在(0，6)上至少有7个零点答案AD解析因为f(2x)=f(2x+3)，得f(x)=f(x+3)，所以f(x)的周期为3，故A正确；f(x)=f(x+3)两边同时求导得f'(x)=f'(x+3)，所以f'(x)的周期为3.因为f'(x+3)为奇函数，所以f'(x+3)+f'(-x+3)=0，即f'(x)+f'(-x+6)=0，又因为f'(x)的周期为3，则f'(x)+f'(-x)=0，所以f'(x)是奇函数，故B错误；由f'(x)=-f'(-x)，可得f(x)=f(-x)+c，c为常数.又函数f(x)的定义域为R，所以当x=0时，f(0)=f(0)+c，可知c=0.即f(x)=f(-x)，则函数f(x)为偶函数，故C错误；因为2是f(x)的极值点，所以f'(2)=0，又函数f'(x)为周期为3的奇函数，故f'(-2)=0，f'(5)=f'(2)=0，f'(1)=f'(-2)=0，f'(4)=f'(1)=0，因为f'(x)=f'(x+3)，f'(x)=-f'(-x)，所以f'(x+3)=-f'(-x)，即f'(x)的图象关于点32，0对称，又f'(x)所以f'32=0，f'32=f'92=0，则f'(1)=f'32=f'(2)=f'(3)=f'(4)=f'92=f'即f'(x)在(0，6)上至少有7个零点，故D正确.[规律方法]与导数有关的抽象函数的性质，关键是原函数f(x)的性质和导函数f'(x)的性质之间的关系，如：在定义域R上，若函数f(x)为奇函数，则导函数f'(x)为偶函数；函数f(x)为偶函数，则导函数f'(x)为奇函数；若函数f(x)的图象关于直线x=a对称，则导函数f'(x)的图象关于点(a，0)对称；若函数f(x)的图象关于点(a，0)对称，则导函数f'(x)的图象关于直线x=a对称.跟踪演练3(多选)已知定义在R上的函数f(x)，g(x)的导函数分别为f'(x)，g'(x)，且f(x)=f(4-x)，f(1+x)-g(x)=4，f'(x)+g'(1+x)=0，则()A.g(x)的图象关于直线x=1对称B.g'(3)=1C.f'(x)的一个周期为4D.f'(n)g'(n)=0(n∈Z)答案ACD解析由f(x)=f(4-x)，得f(1+x)=f(3-x)， ①由f(1+x)-g(x)=4， ②得f(3-x)-g(2-x)=4， ③由①②③得，g(x)=g(2-x)，所以函数g(x)的图象关于直线x=1对称，故A正确；由g(x)=g(2-x)，得g'(x)=-g'(2-x)，令x=1，得g'(1)=0，由f(1+x)-g(x)=4，得f'(1+x)-g'(x)=0，令x=1，得f'(2)=g'(1)=0，所以f'(2+x)-g'(1+x)=0， ④又f'(x)+g'(1+x)=0， ⑤令x=2，得-f'(2)=g'(3)=0，故B错误；④⑤两式相加，得f'(2+x)+f'(x)=0，得f'(4+x)+f'(2+x)=0，所以f'(x)=f'(4+x)，即函数f'(x)的一个周期为4，故C正确；由f'(2+x)+f'(x)=0，令x=2，得f'(4)+f'(2)=0，所以f'(4)=0，所以f'(1)g'(1)=f'(2)g'(2)=f'(3)g'(3)=f'(4)g'(4)=…=f'(n)g'(n)=0(n∈Z)，故D正确.考点四抽象函数赋值与构造例4(多选)已知函数f(x)的定义域为R，若∀x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，f(1)=0，f(0)≠0，则()A.f(0)=1B.f12=C.f(x)为偶函数D.4为函数f(x)的一个周期答案ACD解析根据题意，f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，取x=y=0，得2f(0)=2[f(0)]2，因为f(0)≠0，所以f(0)=1，A正确；取x=12，y=1得f(1)+f(0)=2f1所以f12=±22，取x=0，y=x，得f(x)+f(-x)=2f(x)，即f(x)=f(-x)，所以f(x)为偶函数，C正确；取y=1，得f(x+1)=-f(x-1)，所以f(x+2)=-f(x)，f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，即4为函数f(x)的一个周期，D正确.[规律方法]双变量的抽象函数的性质问题常用的方法是赋值法，求函数值时，通常令等式中的变量取0，1，2，-1，-2等特殊值；判断函数奇偶性时，通常通过赋值使等式中出现-x，x；当然要结合所求灵活赋值，根据函数的性质进行求解.跟踪演练4(2025·青岛模拟)已知函数f(x)的定义域为R，f(x+y)-f(x-y)=2f(1-x)f(y)，f(1)=1，则f(2025)等于()A.-1 B.0 C.1 D.2答案C解析令x=0，则f(y)-f(-y)=2f(1)f(y)=2f(y)，∴f(y)=-f(-y)，∴f(x)为奇函数，令y=1，则f(x+1)-f(x-1)=2f(1-x)f(1)=2f(1-x)，∵f(x)为奇函数，∴f(1-x)=-f(x-1)，∴f(x+1)=-f(x-1)，∴f(x+2)=-f(x)，∴f(x+4)=f(x)，∴f(x)的周期为4，∴f(2025)=f(1)=1.专题强化练[分值：44分]一、单项选择题(每小题5分，共10分)1.(2025·重庆模拟)设函数f(x)的定义域为R，f'(x)是f(x)的导函数.若f(x+1)是奇函数，则f'(x)的图象()A.关于点(1，0)对称 B.关于直线x=1对称C.关于点(-1，0)对称 D.关于直线x=-1对称答案B解析因为f(x+1)是奇函数，所以f(x+1)=-f(-x+1)，即f(x+1)+f(-x+1)=0，则f'(x+1)-f'(-x+1)=0，所以f'(x)的图象关于直线x=1对称.2.(2025·长春模拟)已知定义域为R的奇函数f(x)满足f(x)+f(2-x)=2，则()A.f(2)=0B.f(10)=10C.f(x)的周期为2D.直线x=1是曲线y=f(x)的一条对称轴答案B解析对于A，已知f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)=0.令x=0，代入f(x)+f(2-x)=2，可得f(0)+f(2)=2，所以f(2)=2，所以A错误；对于B，因为f(x)是奇函数，则f(-x)=-f(x).由f(x)+f(2-x)=2，可得f(-x)+f(x+2)=2，又因为f(-x)=-f(x)，所以-f(x)+f(2+x)=2，即f(x+2)=f(x)+2.所以f(10)=f(8)+2=f(6)+4=f(4)+6=f(2)+8=10，所以B正确；对于C，由f(x+2)=2+f(x)，可知f(x+2)≠f(x)，所以f(x)的周期不是2，所以C错误；对于D，由f(0)=0≠2=f(2)，得直线x=1不是曲线y=f(x)的对称轴，所以D错误.二、多项选择题(每小题6分，共24分)3.(2025·邵阳模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(-x)=f(x)，f(x-2)=-f(-x)，当x∈[0，1]时，f(x)单调递减，则下列说法正确的是()A.函数f(x)的图象关于直线x=-1对称B.函数f(x-1)为奇函数C.4是函数f(x)的一个周期D.f252<f答案BC解析因为f(x-2)=-f(-x)，所以f(x)的图象关于点(-1，0)中心对称，故A错误；令F(x)=f(x-1)，所以F(-x)=f(-x-1)，又f(x-2)=-f(-x)，所以f(x-1)=-f(-x-1)，所以F(x)=-F(-x)，故f(x-1)为奇函数，故B正确；因为f(-x)=f(x)，所以f(x)是偶函数，所以f(x-2)=-f(-x)=-f(x)，所以f(x+2)=-f(x)，所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，所以f(x)是周期为4的函数，故C正确；由函数f(x)的奇偶性和周期性知flog413=f(-log43)=f(logf252=f1又因为当x∈[0，1]时，f(x)单调递减，log43>log42=12，所以f(log43)<f1即flog413<f254.定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)=f(x)，f(1)=2，f(3x+2)为奇函数，函数g(x)(x∈R)满足g(x)=-g(4-x)，若y=f(x)与y=g(x)的图象恰有2025个交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x2025，y2025)，则下列说法正确的是()A.f(2025)=2B.f(2)=0C.2为y=f(x)的一个周期D.2025Σi=1(xi+yi答案ABD解析因为f(2-x)=f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称，又f(3x+2)为奇函数，所以f(-3x+2)=-f(3x+2)，则f(-x+2)=-f(x+2)，所以函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，则f(2)=0，故B正确；所以f(x+2)=-f(2-x)=-f(x)，即f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，故C错误；所以f(2025)=f(1)=2，故A正确；又g(x)=-g(4-x)，所以函数g(x)的图象关于点(2，0)对称，因此函数f(x)的图象与g(x)图象的交点也关于点(2，0)对称，则2025Σi=1(xi+yi)=2025Σi=1xi+2025Σi=1yi=2×2025+0=45.(2025·白银模拟)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，其导函数分别是f'(x)，g'(x)，且满足f(x)=1+g'(x)=1-g'(2-x).若g(x)是奇函数，当x∈[0，1]时，g(x)=x2+x，则()A.f(x)是偶函数B.f(x)的图象关于点(1，1)对称C.g(x)的周期为4D.2025Σi=0g(i答案ABC解析因为函数f(x)，g(x)的定义域均为R，1+g'(x)=1-g'(2-x)，所以g'(x)=-g'(2-x)，所以g'(x)的图象关于点(1，0)对称，又f(x)=1+g'(x)，所以f(x)的图象关于点(1，1)对称，B选项正确；因为g(x)是奇函数，即g(-x)=-g(x)，所以-g'(-x)=-g'(x)，即g'(-x)=g'(x)，所以g'(x)是偶函数，所以f(x)=1+g'(x)是偶函数，A选项正确；因为g(x)是奇函数，g'(x)的图象关于点(1，0)对称，所以g(x)=g(2-x)，所以g(4+x)=g(-x-2)=-g(x+2)=-g(-x)=g(x)，所以g(x)的周期为4，C选项正确；2025Σi=0g(i)=506[g(1)+g(2)+g(3)+g(4)]+g(=506[g(1)+g(0)+g(-1)+g(0)]+g(1)=0+g(1)=2，D选项错误.6.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)f(x-y)=[f(x)]2-[f(y)]2，f(1)=1，f(2x+1)为偶函数，则()A.f(0)=0B.f(x)为偶函数C.f(2+x)=-f(2-x)D.2025Σk=0f(k答案ACD解析令x=y=0，得[f(0)]2=[f(0)]2-[f(0)]2=0，即f(0)=0，A正确；令x=0，得f(y)f(-y)=[f(0)]2-[f(y)]2，又f(0)=0，所以f(y)[f(-y)+f(y)]=0对任意y∈R恒成立，因为f(1)=1，所以f(y)不恒为0，所以f(-y)+f(y)=0，即f(-y)=-f(y)，故f(x)为奇函数，B错误；将f(x)的图象向左平移1个单位长度后，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变，可得f(2x+1)的图象，因为f(2x+1)的图象关于直线x=0对称，所以f(x)的图象关于直线x=1对称，所以f(x)=f(2-x)，又f(x)为奇函数，所