2026步步高高考大二轮复习数学-思维提升　培优点7　定比点差法策略

培优点7定比点差法策略[考情分析]对于圆锥曲线中的中点弦问题，可以考虑用点差法来简化运算.在题目中出现其他分点弦的有关问题时，通常使用设线法转化成坐标的比来处理，但运算量较大，这时借助于定比点差法来处理可以减少运算量.考点一定比点差法的理解一般地，若AP=λPB，则称点P为点A，B的λ定比分点.若λ>0，则点P在线段AB上，此时称点P为内分点；若λ<0，则点P在线段AB的延长线上，此时称点P为外分点.若O为坐标原点，AP=λPB(λ≠-1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Px1+λx2例1如图，已知椭圆C：x216+y24=1，直线l过点P且与椭圆交于点A，B.若P(2，0)，AP=2PB解设A(x1，y1)，B(x2，y2).由AP=2PB，可得(2-x1，0-y1)=2(x2-2，y2-0)，则x1+2x2=6，y1+2y2=0，且x12上式作差可得，(x1+2x2)(x1-2x2)+4(y1+2y2)(y1-2y2)=-48，所以6(x1-2x2)=-48，即x1-2x2=-8，又因为x1+2x2=6，解得x1=-1，y1=±152所以直线l的斜率k=y1-0x所以直线l的方程为y=k(x-2)，即15x-6y-215=0或15x+6y-215=0.[规律方法]定比点差法是在原来的点差法的基础上两边乘以一个系数λ2，式子的左边出现了“x1+λx2，y1+λy2”，这与定比分点坐标公式相似.当λ=1时，定比点差法即为点差法.跟踪演练1已知F1，F2分别是椭圆x24+y23=1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，且F1A解如图，延长AF1交椭圆于点C，由对称性，得CF1=则AF1=2设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则F1x1又F1(-1，0)，所以x由点A，C在椭圆上，得x则1-4=(x12所以(x1+2x2)(x1-2x2)4+联立x1+2x2=-3,x所以y1=±354，则A考点二定比点差法的应用例2已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b，0<b<2)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆上，MF2⊥F1F2，若△MF1F(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点F2的直线l交椭圆于A，B两点，交y轴于点P，设PA=λ1AF2，PB=λ2BF2，λ1，λ2≠-1，试判断λ1+解(1)设椭圆C的焦距为2c，因为△MF1F2的周长为6，面积为32，所以2a+2c=6,所以2[(3-c)2-c2]c=3(3-c)，解得c=1或c=34当c=34时，a=94，b=a2-当c=1时，a=2，b=a2-c2所以椭圆C的标准方程为x24+y(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，P(0，m)，根据定比分点公式可得xA=0+λ1cyA=m+λ1xB=0+λ2c1+λ2=λ21+由于点A，B均在椭圆上，则λ11+两式相减得(λ1+λ2)(λ1-λ2)4=(2+由于λ1-λ2≠0，所以λ1+λ2为定值-83[规律方法]对于过坐标轴上的定点(m，0)或(0，m)的直线和圆锥曲线相交，一般都可以尝试利用定比点差法进行求解，而且会比常规使用根与系数的关系来求解简洁很多.对于定比点差法中，x1，x2，λ只需要知道其中一个量就可以求解另外两个量.跟踪演练2设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过点P(0，4)的动直线l与抛物线C交于A，B两点，当F在l上时，直线l的斜率为-2.(1)求抛物线C的方程；(2)在线段AB上取点D，满足PA=λPB，AD=λDB，λ≠±1，证明：点D总在定直线上.(1)解由题意可得Fp2，0，则解得p=4，故抛物线C的方程为y2=8x.(2)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AP=-λPB，得Px1由AD=λDB，得Dx1联立y①-②得y12-λ2y22=4(x1+x1-λ2x2-λ2即(y1+λy2)(y1-λy2)=4(x1+λx2+x1-λx2+λx1-λ2x2-λx1-λ2x2)=4[(x1+λx2)(1-λ)+(x1-λx2)(1+λ)]，所以(=4(x1+λx则yDyP=4(xD+xP)，即4yD=4(xD+0)⇒yD=xD，故点D总在定直线y=x上.专题强化练[分值：30分]1.(13分)如图，已知过点Q(0，1)的直线与双曲线x23-y2=1交于A，B两点，与x轴交于点P.若PA=λAQ(λ≠-1)，PB=μBQ(μ≠-1)，求证：λ+μ证明设P(x0，0)，由PA=λAQ，PB=μBQ，可得Ax01+λ，由点A，B在双曲线上，得x02两式相减得-3λ2+3μ2=3(1+λ)2-3(1+μ)2，化简得(λ-μ)(λ+μ+1)=0，又λ≠μ，解得λ+μ=-1，故λ+μ为定值-1.2.(17分)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12，且经过点1，32(1)求椭圆C的方程；(5分)(2)过点F1分别作两条互相垂直的直线l1，l2，且l1与椭圆交于不同两点A，B，l2与直线x=1交于点P.若AF1=λF1B(λ≠±1)，且点Q满足QA=λQB，求△PQF1面积的最小值.解(1)由e=ca=12，得2c=因为a2=b2+c2，所以b2=3c2，又点1，32则1a2+94b2=1，解得c2=1，则a2=4，b2=3，故椭圆C的方程为x24+y(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为AF1=λF1B，AQ=-所以F1x1Qx1因