2026步步高高考大二轮复习数学-思维提升　培优点2　极化恒等式、等和线定理、奔驰定理与三角形四心

培优点2极化恒等式、等和线定理、奔驰定理与三角形四心[考情分析]利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题.等和线可以解决一些向量共线、点共线问题，也可以由共线求参数.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.考点一极化恒等式极化恒等式：a·b=14[(a+b)2-(a-b)2](1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14(2)若O是平行四边形PMQN对角线的交点，则：①PM·PN=14(|PQ|2-|NM|2)(平行四边形模式)②PM·PN=|PO|2-14|NM|2(三角形模式)例1(1)在△ABC中，AB=2，cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1，P为△ABC所在平面内的动点，且PA=1，则PB·PC的取值范围是()A.-32C.3-23，答案C解析因为A，B，C∈(0，π)，所以A-B∈(-π，π)，B-C∈(-π，π)，C-A∈(-π，π)，可得cos(A-B)∈(-1，1]，cos(B-C)∈(-1，1]，cos(C-A)∈(-1，1]，若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1，则cos(A-B)=1，cos(B-C)=1，cos(C-A)=1，可得A-B=0，B-C=0，C-A=0，所以A=B=C，所以△ABC是边长为2的等边三角形.如图，取BC的中点G，由PA=1可知点P的轨迹是半径为1的圆，根据极化恒等式可知PB·PC=|PG|2-|BG|2，易知PGmin=AG-PA=3-1，PGmax=AG+PA=3+1，故(3-1)2-12≤PB·PC≤(3+1)2-12，即3-23≤PB·PC≤3+23，所以PB·PC的取值范围是[3-23，3+23].(2)如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，PM·PN的取值范围是()A.[0，1] B.[0，2]C.[1，3] D.[0，4]答案B解析由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为23.当弦MN的长度最大时，MN为内切球的直径.设内切球的球心为O，则PM·PN=PO2-ON2=PO由于P为正方体表面上的动点，故PO∈[1，3]，所以PM·PN的取值范围是[0，2].[规律方法]在三角形中利用极化恒等式求平面向量数量积的步骤(1)取第三边的中点，连接向量的起点与终点；(2)利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；(3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值.注：对于不共起点或不共终点的向量需通过平移转化为共起点(终点)的向量，再利用极化恒等式.跟踪演练1(1)已知正△ABC的边长为2，动点P满足PC=1，则PA·PB的最小值为()A.4-22 B.3-22C.3-23 D.4-23答案C解析因为动点P满足PC=1，所以点P的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，如图所示，设D为AB的中点，则PA·PB=(PD+DA)·(PD+DB)=PD2-DB2=PD所以当|PD|取最小值时，PA·PB取得最小值，|PD|min=|CD|-1=3-1，所以(PA·PB)min=(3-1)2-1=3-23.(2)如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=90°，AC=42，D为AC的中点，在平面ABC中，将线段AC绕点D旋转得到线段EF.设M为线段AB上的点，则ME·MF的最小值为.

答案-4解析依题意BC=4，D为线段EF的中点，则ME+MF=2MD，ME·MF=14[(ME+MF)2-(ME-MF)2=MD2-1由于|MD|min=2，FE2=32所以ME·MF的最小值为-4.考点二等和线平面向量等和线定理平面内一组基底{OA，OB}及任一向量OP，且OP=λOA+μOB(λ，μ∈R)，若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上，且k=|OP||OF|=OB1||OB|=OA1||OA|，则λ+μ=k(1)当等和线恰为直线AB时，k=1；(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)；(3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，+∞)；(4)当等和线过O点时，k=0；(5)若两条等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；(6)定值k的绝对值与等和线到O点的距离成正比.例2(1)给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为90°，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若OC=xOA+yOB.其中x，y∈R，则3x+5y的最大值为()A.34 B.5 C.37 D.6答案A解析如图所示，分别取OM=13OA，ON=15OB，OC=xOA+yOB=3xOM+5yON，根据等和线知识可得3x+5y=|OC||OD|，当OD⊥MN时，|OD|取得最小值，|OD|min=|OM|·|ON||MN|=13×15132+1(2)(2025·泉州模拟)在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设AP=αAB+βAF(α，β∈R)，则α+β的取值范围是.

答案[3，4]解析如图，直线BF为k=1的等和线，当P在△CDE内(包括边界)时，直线EC是最近的等和线，过D点的等和线是最远的，所以α+β∈ANAM，ADAM.设正六边形的边长为2，则AN=3，AM=1，AD=4，故α+β∈[3[规律方法]用等和线求基底系数和的步骤(1)确定值为1的等和线；(2)平移该线，作出满足条件的等和线；(3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值.跟踪演练2(1)(2025·南昌模拟)已知O是△ABC内一点，且OA+OB+OC=0，点M在△OBC内(不含边界)，若AM=λAB+μAC(λ，μ∈R)，则λ+2μ的取值范围是()A.1，52 B.(1C.23，答案B解析因为O是△ABC内一点，且OA+OB+OC=0，所以O为△ABC的重心.取AC的中点D，则点O在BD上，且AC=2AD，AM=λAB+μAC=λAB+2μAD，作一系列与BD平行的直线与CD相交(图略)，所以当点M在边OB上时，λ+2μ取得最小值1；当点M与C重合时，λ+2μ取得最大值2，因为M在△OBC内且不含边界，所以λ+2μ的取值范围为(1，2).(2)如图所示，半径为1的扇形AOB，∠AOB=2π3，若点C为弧AB上任意一点，且OC=xOA+yOB(x，y∈R)，则x+y的最大值是.答案2解析如图所示，设x+y=k，则直线AB为以{OB，OA}为基底，k1=1的等和线，所有与直线AB平行且与弧AB有公共点的直线中，切线离圆心O最远，即此时k取得最大值，设切点为D，连接OD，与AB交于点E，易知OE⊥AB.因为OA=1，∠AOB=2π3所以OE=12，则k=|DO||OE|=1即x+y的最大值为2.考点三奔驰定理奔驰定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·PA+S△PAC·PB+S△PAB·PC=0.例3(1)已知△ABC所在平面内一点D满足DA+DB+12DC=0，则△ABC的面积是△ABD的面积的(A.5倍 B.4倍 C.3倍 D.2倍答案A解析因为DA+DB+1=0，即2DA+2DB+DC=0，所以S△BCD∶S△ACD∶S△ABD=2∶2∶1，所以△ABC的面积是△ABD的面积的5倍.(2)已知点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=4∶3∶2，设AO=λAB+μAC，则实数λ和μ的值分别为()A.29，49 B.4C.19，29 D.2答案A解析根据奔驰定理，得3OA+2OB+4OC=0，即3OA+2(OA+AB)+4(OA+AC)=0，整理得AO=29AB+故λ=29，μ=4[规律方法]已知P为△ABC内一点，且xPA+yPB+zPC=0(x，y，z∈R，xyz≠0，x+y+z≠0)，则有(1)S△PBC∶S△PAC∶S△PAB=|x|∶|y|∶|z|；(2)S△PBCSS△PACS△ABC=y跟踪演练3(1)若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3AM-AB-AC=0，则△ABM与△ABC的面积之比为()A.1∶2 B.1∶3C.1∶4 D.2∶5答案B解析方法一将3AM-AB-AC=0变形可得MA+MB+MC=0，根据奔驰定理可知S△BCM∶S△ACM∶S△ABM=1∶1∶1，则S△ABM∶S△ABC=1∶3.方法二如图，D为BC边的中点，则AD=12(AB+因为3AM-AB-AC=0，所以3AM=AB+AC=2AD，所以AM=23所以S△ABM=23S△ABD=13S△ABC，即S△ABM∶S△ABC=1∶(2)已知点P，Q在△ABC内，PA+2PB+3PC=2QA+3QB+5QC=0，则|PQ||AB答案1解析根据奔驰定理得S△PBC∶S△PAC∶S△PAB=1∶2∶3，S△QBC∶S△QAC∶S△QAB=2∶3∶5，∴S△PAB=S△QAB=12S△ABC，∴PQ∥AB又∵S△PBC=16S△ABC，S△QBC=15S△∴|PQ||AB|=S△QBC考点四奔驰定理与三角形四心已知点O在△ABC内部，有以下四个推论：①若O为△ABC的重心，则OA+OB+OC=0⇔S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=1∶1∶1；②若O为△ABC的外心，则sin2A·OA+sin2B·OB+sin2C·OC=0，且|OA|=|OB|=|OC|；③若O为△ABC的内心，则a·OA+b·OB+c·OC=0，或sinA·OA+sinB·OB+sinC·OC=0(a，b，c分别为角A，B，C的对边)；④若O为△ABC的垂心，则tanA·OA+tanB·OB+tanC·OC=0，且OA·OB=OB·OC=OC·OA.考向1奔驰定理与重心例4已知O是△ABC的重心，AB·AC=2，且∠BAC=60°，则△OBC的面积为()A.33 B.3 C.32答案A解析∵O是△ABC的重心，∴OA+OB+OC=0，由奔驰定理知S△OAB∶S△OBC∶S△OAC=1∶1∶1，∴S△OBC=13S△ABC∵AB·AC=2，∴|AB||AC|cos∠BAC=2，∵∠BAC=60°，∴|AB||AC|=4，又S△ABC=12|AB||AC|sin∠BAC=3∴△OBC的面积为33考向2奔驰定理与外心例5已知点P是△ABC的外心，且PA+PB+λPC=0，C=5π12，则λ=.答案6解析依题意得，sin2A∶sin2B∶sin2C=1∶1∶λ，∴sin2A=sin2B，∴2A=2B或2A+2B=π(舍)，∴A=B，又C=5π12，∴A=B=7π又sin2Bsin2C∴λ=sin2Csin2B=sin5π6考向3奔驰定理与内心例6已知△ABC的内切圆的圆心为O，半径为2，2OA+2OB+3OC=0，则△ABC的外接圆面积为.

答案256π解析∵2OA+2OB+3OC=0，且O为内心，∴△ABC的三边长之比为a∶b∶c=2∶2∶3，令a=2k，则b=2k，c=3k，k>0，∴cosC=-18，sinC=3设△ABC内切圆半径为r，外接圆半径为R，又S△ABC=12(a+b+c)·r=12absin即12×7k×2=12×2k×2k×解得k=473，c=4又2R=csinC=4737∴△ABC的外接圆面积S=πR2=256π9考向4奔驰定理与垂心例7如图，已知O是△ABC的垂心，且OA+2OB+3OC=0，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别记为S1，S2，S3，则tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB等于()A.1∶2∶3 B.1∶2∶4C.2∶3∶4 D.2∶3∶6答案A解析O是△ABC的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图，则CP⊥AB，BM⊥AC，AN⊥BC，∠BOP=∠BAC，∠AOP=∠ABC，因此S1S2=BPAP=同理S1S3于是得tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB=S1∶S2∶S3，由“奔驰定理”有S1·OA+S2·OB+S3·OC=0，又OA+2OB+3OC=0，所以S1∶S2∶S3=1∶2∶3，所以tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB=1∶2∶3.[易错提醒]涉及三角形的四心问题时，内心和重心一定在三角形内部，而外心和垂心有可能在三角形外部，上述定理及推论中的点都在三角形内部，解题时，要注意观察题目有无这一条件.跟踪演练4(多选)奔驰定理的几何表示因酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论，它与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，则SA·MA+SB·MB+SC·MC=0.以下命题正确的有()A.若M为△ABC的重心，AB=6，AC=8，BC=213，则△BMC的面积为43B.若M为△ABC的内心，2MA+3MB+7MC=0，则C=C.若∠BAC=45°，∠ABC=60°，M为△ABC的外心，则SA∶SB∶SC=2∶3∶1D.若M为△ABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0，则cos∠AMB=6答案ABC解析对于A，由余弦定理得cosA=AB2+AC又A∈(0，π)，所以A=π3所以S△ABC=12×6×8×sinπ3=12又M为△ABC的重心，所以MA+MB+MC=0，即S△AMB∶S△AMC∶S△BMC=1∶1∶1，所以S△BMC=13S△ABC=43，故A对于B，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，由M为△ABC的内心，且2MA+3MB+7MC=0可得a∶b∶c=2∶3∶7，令a=2k，则b=3k，c=7k，k>0，cosC=4k2+9又C∈(0，π)，所以C=π3，故B对于C，如图，因为M为△ABC的外心，设外接圆半径为R，因为∠BAC=45°，∠ABC=60°，所以∠BMC=90°，∠AMC=120°，故∠AMB=360°-120°-90°=150°，所以SA∶SB∶SC=12R2sin90°∶12R2sin120°∶12R2sin150°=sin90°∶sin120°∶=1∶32∶12=2∶3∶1，故对于D，由M为△ABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0，所以SA∶SB∶SC=3∶4∶5，则S△ABCSA=4延长AM，BM，CM，分别交BC，AC，AB于点D，F，E，如图，设MD=x，MF=y，则AM=3x，BM=2y，所以cos∠BMD=x2y=cos∠AMF=y3x，得3x2所以cos∠BMD=66则cos∠AMB=-66，故D错误专题强化练[分值：52分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.设O点在△ABC内部，且有3OA+2OB+OC=0，则△AOC的面积与△AOB的面积的比值为()A.2 B.3 C.2 D.3答案A解析根据奔驰定理△AOC的面积与△AOB的面积的比值为21=22.如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设AB=a，AC=b，向量AO=λa+μb，则λ+μ的值为()A.1 B.34 C.23答案C解析如图，BC为值是1的等和线，过O作BC的平行线，延长AO交BC于点M，设λ+μ=k，则k=|AO||AM|由题易知O为△ABC的重心，|AO||AM|=2所以λ+μ=233.如图，正六边形的边长为22，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则MA·MB的取值范围为()A.[4，5] B.[5，7] C.[4，6] D.[5，8]答案B解析由极化恒等式可得，MA·MB=|MO|2-|OA当OM与正六边形的边垂直时，|MO|min当点M运动到正六边形的顶点时，|MO|max所以|MO|∈[6，22]，则|MO|2∈[6，即MA·MB=(|MO|2-1)的取值范围为[5，7].4.△ABC内一点O满足关系式S△OBC·OA+S△OAC·OB+S△OAB·OC=0，即称为经典的“奔驰定理”，若△ABC的三边为a，b，c，现有a·OA+b·OB+c·OC=0，则O为△ABC的()A.外心 B.内心C.重心 D.垂心答案B解析记点O到AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，S△OBC=12a·h2，S△OAC=12b·hS△OAB=12c·h1因为S△OBC·OA+S△OAC·OB+S△OAB·OC=0，则12a·h2·OA+12b·h3·OB+12c·h1·OC即a·h2·OA+b·h3·OB+c·h1·OC=0，又因为a·OA+b·OB+c·OC=0，所以h1=h2=h3，所以点P是△ABC的内心.5.已知点A，B，C，P在同一平面内，PQ=13PA，QR=13QB，RP=13RC，则S△ABC∶SA.196 B.32 C.5答案D解析由QR=13得PR-PQ=13(PB-整理得PR=13PB+23PQ=由RP=13RC，得RP=13(整理得PR=-12∴-12PC=13整理得4PA+6PB+9PC=0，∴S△ABC∶S△PBC=(4+6+9)∶4=19∶4.6.若H为△ABC所在平面内一点，且|HA|2+|BC|2=|HB|2+|CA|2=|HCA.重心 B.外心C.内心 D.垂心答案D解析|HA|2+|BC|2=|HB|2+|得BH·HC=CH·HA⇒HC·BA=0，即HC⊥BA；|HA|2+|BC|2=|HC|2+|得BH·HC=AH·HB⇒BH·AC=0，即BH⊥AC；|HB|2+|CA|2=|HC|2+|CH·HA=AH·HB⇒HA·CB=0，即HA⊥CB，所以H为△ABC的垂心.二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA·OA+SB·OB+SC·OC=0.设O是△ABC内一点，△ABC的三个内角分别为A，B，C，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，若3OA+4OB+5OC=0，则以下命题正确的有()A.SA∶SB∶SC=3∶4∶5B.O有可能是△ABC的重心C.若O为△ABC的外心，则sinA∶sinB∶sinC=3∶4∶5D.若O为△ABC的内心，则△ABC为直角三角形答案AD解析对于A，由奔驰定理可得，3OA+4OB+5OC=SA·OA+SB·OB+SC·OC=0，因为OA，OB，OC不共线，所以SA∶SB∶SC=3∶4∶5，故A正确；对于B，若O是△ABC的重心，则OA+OB+OC=0，因为3OA+4OB+5OC=0，所以OB=2CO，即O，B，C三点共线，故B错误；对于C，当O为△ABC的外心时，|OA|=|OB|=|OC|，所以SA∶SB∶SC=sin∠BOC∶sin∠AOC∶sin∠AOB=3∶4∶5，即sin2A∶sin2B∶sin2C=3∶4∶5，故C错误；对于D，当O为△ABC的内心时，SA∶SB∶SC=12ar∶12br∶=a∶b∶c=3∶4∶5(r为内切圆半径，a，b，c分别为角A，B，C的对边)，所以a2+b2=c2，所以C=π2，故D正确8.已知点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有()A.若|BC|OA+|AC|OB+|AB|OC=0，则点O是△ABC的重心B.若OA·AC|AC|-AB|AB|=OB·C.若(OA+OB)·AB=(OB+OC)·BC=0，则点O是△ABC的外心D.若O为△ABC的外心，且2BO=BA+BC，则B为△ABC的垂心答案BCD解析对于A，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，在AB，AC上分别取点D，E，使得AD=ABc，AE=AC则|AD|=|AE|=1，以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，如图所示，则四边形ADFE是菱形，且AF=AD+AE=ABc+ACb，所以AF平分∠因为|BC|OA+|AC|OB+|AB|OC=0，即aOA+bOB+cOC=0，所以a·OA+b·(OA+AB)+c·(OA+AC)=0，即(a+b+c)OA+bAB+cAC=0，所以AO=ba+=bca+b所以A，O，F三点共线，即O在∠BAC的平分线上，同理可得O在其他两角的平分线上，所以O为△ABC的内心，故A错误；对于B，在AB，AC上分别取点D，E，使得AE=AC|AC|，AD则|AD|=|AE|=1，且AC|AC|-AB因为OA·AC|AC即OA⊥DE，又|AD|=|AE|=1知，AO平分∠BAC，同理，可得BO平分∠ABC，故O为△ABC的内心，故B正确；对于C，取AB，BC的