2026步步高高考大二轮复习数学-专题突破　专题六　第2讲　函数的图象与性质

第2讲函数的图象与性质1.(2024·全国甲卷，理T7)函数f(x)=-x2+(ex-e-x)sinx在区间[-2.8，2.8]的图象大致为()2.(2025·全国Ⅰ卷，T5)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5-2x，则f-34等于(A.-12 B.-14 C.143.(多选)(2022·新高考全国Ⅰ卷，T12)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R，记g(x)=f'(x).若f32-2x，g(2+x)均为偶函数，则A.f(0)=0 B.g-12=0 C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(4.(2023·全国甲卷文，T14)若f(x)=(x-1)2+ax+sinx+π2为偶函数，则a=命题热度：本讲是历年高考命题必考的内容，高中低档题目都有考查，主要以选择题或填空题的形式进行考查，分值约为10~12分.考查方向：一是函数的性质，主要考查函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及其性质的综合应用；二是基本初等函数，主要考查幂指对函数的图象与性质；三是函数的图象，主要考查画图、识图以及图象的应用.1.答案B解析f(-x)=-x2+(e-x-ex)sin(-x)=-x2+(ex-e-x)sinx=f(x)，又函数f(x)的定义域为[-2.8，2.8]，故该函数为偶函数，可排除A，C，又f(1)=-1+e-1esin1>-1+e-1esinπ6=e2-1-1故可排除D.2.答案A解析由题意知f(x)=f(-x)，f(x+2)=f(x)对一切x∈R成立，于是f-34=f34=f114=5-2×3.答案BC解析方法一(转化法)因为f32-2x，g(2+所以f32-2x=f即f32-x=fg(2+x)=g(2-x)，所以f(3-x)=f(x)，g(4-x)=g(x)，则f(-1)=f(4)，故C正确；函数f(x)，g(x)的图象分别关于直线x=32，x=2又g(x)=f'(x)，且函数f(x)可导，所以g32=0，g(3-x)=-g(x)所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x)，所以g(x+2)=-g(x+1)=g(x)，所以g-12=g3g(-1)=g(1)=-g(2)，故B正确，D错误；若函数f(x)满足题设条件，则函数f(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定f(0)的函数值，故A错误.方法二(特例法)因为f32-2x，g(2+x)均为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x=32对称，函数g(x)的图象关于直线x=2对称.取符合题意的一个函数f(x)=1(x∈R)，则f(0)取符合题意的一个函数f(x)=sinπx，则f'(x)=πcosπx，即g(x)=πcosπx，所以g(-1)=πcos(-π)=-π，g(2)=πcos2π=π，所以g(-1)≠g(2)，排除D.故选BC.4.答案2解析∵f(x)=(x-1)2+ax+sinx=(x-1)2+ax+cosx=x2+(a-2)x+1+cosx，且函数为偶函数，∴a-2=0，解得a=2.经验证，当a=2时满足题意.考点一函数的性质例1(1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=-x2-2ax-a，xA.(-∞，0] B.[-1，0] C.[-1，1] D.[0，+∞)答案B解析因为f(x)在R上单调递增，且x≥0时，f(x)=ex+ln(x+1)单调递增，则需满足-解得-1≤a≤0，即a的取值范围是[-1，0].(2)(多选)(2025·银川模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-fx+32，f(-1)=1，f(0)=-2，且fx-A.f(x)为奇函数B.f(x)为偶函数C.f(x)是周期为3的周期函数D.f(0)+f(1)+…+f(30)=-2答案BCD解析对于A，因为f(x)是定义在R上的函数，且f(0)=-2，所以f(x)不是奇函数，故A错误；对于B，因为fx-34为奇函数，所以fx-3由f(x)=-fx+fx-34=-fx-3所以-f-x-34=-即f-x-34=所以f(-x)=f(x)，即f(x)是偶函数，故B正确；对于C，由f(x)=-fx+32可得，f(x+3)=-fx+32=f(x)，所以f(x对于D，f(2)=f(-2)=f(1)=f(-1)=1，所以f(0)+f(1)+f(2)=0，由周期性可得，f(0)+f(1)+…+f(30)=10[f(0)+f(1)+f(2)]+f(0)=-2，故D正确.[规律方法](1)函数的奇偶性的判断方法有定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)；函数单调性的判断方法有定义法、图象法、导数法、性质法(在共同的单调区间内，增函数+增函数为增函数等)；函数的单调性和奇偶性的联系密切，涉及比较大小、解不等式、求函数最值(值域)、零点等.(2)函数的周期性和对称性的常用结论①若f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=1f(x②若f(x)的图象关于直线x=a和x=b对称，则f(x)的一个周期为2|a-b|.③若f(x)的图象关于点(a，0)和直线x=b对称，则f(x)的一个周期为4|a-b|.④若函数f(x)满足关系式f(a+x)+f(a-x)=2b，则函数y=f(x)的图象关于点(a，b)对称.⑤若函数f(x)满足关系式f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a+b跟踪演练1(1)(2025·黄冈模拟)已知函数f(x)=sinx+ex-e-x，若a=f(-2)，b=f12，c=f(ln2)，则(A.a<b<c B.a<c<bC.c<b<a D.b<c<a答案A解析由f(x)=sinx+ex-e-x得，f'(x)=cosx+ex+e-x，∵ex+e-x≥2ex·当且仅当ex=e-x，即x=0时等号成立，而cosx∈[-1，1]，∴f'(x)=cosx+ex+e-x>0，即f(x)在R上单调递增，∵-2<12=lne<ln2∴f(-2)<f12<f(ln2)，即a<b<c(2)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，f(1)=1，则()A.f(0)=2B.f(3-x)=f(3+x)C.f(x)是周期函数D.f(x)的解析式可能为f(x)=2sinπ6答案ABC解析由f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，f(1)=1，令x=1，y=0，有f(1)+f(1)=f(1)f(0)，可得f(0)=2，故A正确；令x=0，则f(y)+f(-y)=f(0)f(y)=2f(y)，则f(y)=f(-y)，又f(x)的定义域为R，故函数f(x)是偶函数，而f(x)=2sinπ6x为奇函数，故D令y=1，则f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1)=f(x)，所以f(x+1)=f(x)-f(x-1)，则f(x)=f(x-1)-f(x-2)，f(x+1)=[f(x-1)-f(x-2)]-f(x-1)=-f(x-2)，所以f(x)=-f(x-3)=f(x-6)，则f(x)的一个周期为6，故C正确；由于f(x)为偶函数且一个周期为6，故f(3-x)=f(x-3)=f(3+x)，故B正确.考点二基本初等函数例2(1)(多选)已知幂函数f(x)=(8m2-5)xm2，则(A.m=±3B.f(x)的定义域为RC.f(x)为非奇非偶函数D.不等式f(2x+1)>f(5-x)的解集为4答案AC解析由幂函数f(x)=(8m2-5)xm2知，8m2-5=1，解得m=±32f(x)=x34=4x3，则f(x)的定义域为[0，+∞)，所以f(x)为非奇非偶函数，故由f(x)=x34知，函数f(x)在[0，+∞由f(2x+1)>f(5-x)可得，0≤5-x<2x+1，解得43<x≤5，即不等式f(2x+1)>f(5-x)的解集为43，5(2)(2025·全国Ⅰ卷)已知2+log2x=3+log3y=5+log5z，则x，y，z的大小关系不可能为()A.x>y>z B.x>z>yC.y>x>z D.y>z>x答案B解析方法一设2+log2x=3+log3y=5+log5z=m，令m=2，则x=1，y=3-1=13，z=5-3=1125，此时x>y>z，令m=5，则x=8，y=9，z=1，此时y>x>z，C有可能；令m=8，则x=26=64，y=35=243，z=53=125，此时y>z>x，D有可能.方法二设2+log2x=3+log3y=5+log5z=t，则x=2t-2，y=3t-3，z=5t-5.当x>y时，2t-2>3t-3，解得t<3ln3-2ln2ln3-ln2<5当z>y时，5t-5>3t-3，解得t>5ln5-3ln3ln5-ln3>5因此当x>z>y时，t无解，故选B.[规律方法](1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a的影响，解决与指数函数、对数函数有关的问题时，首先要看底数a的取值范围.(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化.跟踪演练2(1)已知函数f(x)=2ax2-x+1的值域为M.若(1，+∞)⊆MA.-B.0C.-∞，D.1答案B解析当a=0时，f(x)=2-x+1∈(0，+∞)，符合题意；当a≠0时，因为函数f(x)=2ax2-x+1的值域为M，且满足(1，由指数函数的单调性可知，二次函数y=ax2-x+1的最小值ymin≤0，当a>0时，依题意有y=ax2-x+1的最小值4a-14a≤0，即0<当a<0时，不符合题意.综上，0≤a≤14(2)(2025·北京)在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T=klog2N(单位：小时)，其中k为常数.在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加(单位：小时)()A.2 B.4 C.20 D.40答案B解析设当N取106个单位，1.024×109个单位，4.096×109个单位时所需时间分别为T1，T2，T3，由题意，T1=klog2106=6klog210，T2=klog2(1.024×109)=klog2(210×106)=k(10+6log210)，T3=klog2(4.096×109)=klog2(212×106)=k(12+6log210)，因为T2-T1=k(10+6log210)-6klog210=10k=20，所以k=2，所以T3-T2=k(12+6log210)-k(10+6log210)=2k=4，所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加4小时.考点三函数的图象例3(1)(2025·成都模拟)函数f(x)=sinπxex+答案D解析根据题意，函数f(x)的定义域为R，且f(-x)=sin(-πx)e-x+ex所以函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除A，B；又当x∈(0，1)时，πx∈(0，π)，所以sinπx>0，且ex+e-x>0恒成立，则f(x)>0，排除C，所以只有D满足.(2)已知函数f(x)=|lnx|，x>0，2x，x≤0，若a<b<c，且f(a)=f(b)=A.(0，e] B.(0，e)C.[e，+∞) D.(e，+∞)答案A解析因为f(x)=|当x>0时，f(x)=|lnx|=ln所以f(x)在(1，+∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减，且f1e=f(e)=1当x≤0时，f(x)=2x，所以f(x)在(-∞，0)上单调递增，且f(0)=1，所以f(x)的图象如图所示，又a<b<c，且f(a)=f(b)=f(c)，不妨令f(a)=f(b)=f(c)=t，结合图象可知，0<t≤1且a≤0<1e≤b<1<c≤e，即0<f(c)≤1所以0<cf(c)≤e，即cf(c)的取值范围为(0，e].[规律方法](1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象.(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题.跟踪演练3(1)(2025·天津)已知函数y=f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为()A.f(x)=xB.f(x)=xC.f(x)=xD.f(x)=x答案D解析由题图可知，该函数为偶函数，而函数f(x)=x1-x和函数f(x)=xx-1为奇函数，故又当x∈(0，1)时，1-x2>0，x2-1<0，此时f(x)=x1-x2>0，f(x)=xx2-1<0，由题图可知当x∈(0，1)时，f(x)<0(2)已知a>0，且a≠1，则函数y=logax+1a的图象一定经过A.第一、二象限 B.第一、三象限C.第二、四象限 D.第三、四象限答案D解析当x=0时，y=loga1a=-1，则当0<a<1时，如图1当a>1时，如图2，函数图象经过第一、三、四象限，所以函数y=logax+1专题强化练[分值：85分]一、单项选择题(每小题5分，共40分)1.函数y=f(x)的图象与函数y=3x的图象关于直线y=x对称，则f13+f(9)等于(A.1 B.2 C.3 D.4答案A解析因为函数y=f(x)的图象与函数y=3x的图象关于直线y=x对称，所以f(x)=log3x，所以f13+f(9)=log313+log32.(2025·天津滨海新区模拟)已知a=30.9，b=log29，c=e-ln3，则()A.b>a>c B.b>c>aC.c>a>b D.a>c>b答案A解析由题意得，c=e-ln3=eln13=13<1=30<a=30.9<31=3=log28<log29=b，即c<a<b，故b>3.(2025·西安模拟)若函数f(x)=2x2+ax-3在(1，+∞)上单调，则实数A.[-2，+∞) B.[-1，+∞)C.(-∞，-2] D.(-∞，-1]答案A解析因为函数y=2x在R上为增函数，y=x2+ax-3在-∞，-且函数f(x)=2x2+ax-3在(1根据复合函数的单调性，可得-a2≤1，即a≥-2所以实数a的取值范围是[-2，+∞).4.(2025·石家庄模拟)已知函数g(x)=ax2+bx+a-b，其中a，b为常数，若函数f(x)=1ax-bA.g(x)的图象与坐标轴有三个交点B.g(x)的图象的对称轴在y轴左侧C.关于x的方程g(x)=1有两个不等实根D.g(x)在区间(1，+∞)上单调递增答案D解析函数f(x)的图象在R上为减函数，则0<1a<1，即a>1，又图象经过点(-1，1)，即f(-1)=1a-1-b=1，故得-1-b=0于是g(x)=ax2-x+a+1为开口向上的抛物线，对称轴为直线x=12a，又12a∈由g(x)在12a，+∞上单调递增，得g(x)在区间(1，+令g(x)=ax2-x+a+1=0，因为a>1，所以Δ=1-4a(a+1)<0，所以函数g(x)的图象与x轴没有交点，与y轴有唯一交点，即g(x)的图象与坐标轴只有一个交点，故A错误；对于C，方程g(x)=1即为ax2-x+a=0，又a>1，故Δ=1-4a2<0，所以方程无实数根，故C错误.5.(2025·沧州模拟)已知a>0，且f(x)=ln1+ax1-3x为奇函数，则A.f12a>fB.f13a>fC.f12a>0>fD.f13a>0>f答案A解析方法一因为f(x)的定义域为-1a，13，f(x)为奇函数，所以a=3，则f(x)因此f(x)在-1f12a=f16，f13a=f19，且13所以f16>f19>f(0)故f12a>f1方法二因为f(x)=ln1+ax1-3x为奇函数，所以f(-x)+f(x故ln1-ax1+3x+ln1+ax所以1-a2x21-9x2=1，所以a2=9所以f(x)=ln1+3x又f12a=f16=lnf13a=f19=ln因为ln3>ln2>0，故f12a>f16.(2025·赣州模拟)已知a=log23+log32，b=log45+log54，则下列结论正确的是()A.a>b>2 B.a>2>bC.b>a>2 D.2>a>b答案A解析设f(x)=x+1x，x>0易知f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，则f(x)min=f(1)=2，且a=log23+log32=log23+1log23=f(logb=log45+log54=log45+1log45=f(log因为log23>log25=log45>1，所以f(log23)>f(log45)>f(1)，即a>b>2.7.(2025·北京)已知函数f(x)的定义域为D，则“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析若函数f(x)的值域为R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得f(x1)=|M|+1，取x0=x1，则|f(x0)|=|M|+1>M，充分性成立；取f(x)=2x，D=R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得f(x1)=|M|+1，取x0=x1，则|f(x0)|=|M|+1>M，但此时函数f(x)的值域为(0，+∞)，必要性不成立；所以“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M”的充分不必要条件.8.下列可以作为方程x3+y3=4xy的图象的是()答案D解析当x<0时，x3=4xy-y3=y(4x-y2)<0，若y<0，则4x-y2>0，即y2<4x<0，不成立，故x<0，y<0不可能同时成立，故A，B，C错误.二、多项选择题(每小题6分，共18分)9.(2025·北京东城区模拟)已知f(x)=g(x)，x>0，-gA.g(x)=x B.g(x)=x2C.g(x)=ex D.g(x)=ln|x|答案ACD解析对于A选项，函数f(x)的图象如图①中实线部分所示，符合题意；对于B选项，函数f(x)的图象如图②中实线部分所示，不符合题意；对于C选项，函数f(x)的图象如图③中实线部分所示，符合题意；对于D选项，函数f(x)的图象如图④中实线部分所示，符合题意.10.(2025·白银模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)+f(x+2)=6，且∀t≠0，tf(x+t)-tf(x)<0，则下列说法正确的是()A.函数y=f(x+1)-3为偶函数B.函数f(x)为减函数C.函数f(x)的图象关于点(1，3)中心对称D.f(3x-2)-3>0的解集为(1，+∞)答案BC解析因为f(-x)+f(x+2)=6，所以f(-x+1)-3=-[f(x+1)-3]，所以函数y=f(x+1)-3为奇函数，函数f(x)的图象关于点(1，3)中心对称，故A错误，C正确；因为∀t≠0，tf(x+t)-tf(x)<0，即t[f(x+t)-f(x)]<0，当t>0时，f(x+t)<f(x)，当t<0时，f(x+t)>f(x)，所以函数f(x)为减函数，故B正确；令x=-1，则f(1)+f(-1+2)=6，所以f(1)=3，则f(3x-2)-3>0等价于f(3x-2)>f(1)，因为函数f(x)为减函数，所以3x-2<1，即x<1，故f(3x-2)-3>0的解集为(-∞，1)，故D错误.11.(2025·深圳模拟)已知函数f(x)的定义域为R，f(f(x+y))=f(x)+f(y)，f(1)=1，则()A.f(0)=0B.f(x)的图象关于点(0，0)中心对称C.f(x)的图象关于直线x=12D.f(2025)=2025答案ABD解析对于A，令x=1，y=0，则f(f(1))=f(1)+f(0)，因为f(1)=1，所以f(1)=f(1)+f(0)，解得f(0)=0，故A正确；对于B，令y=-x，则f(f(x-x))=f(x)+f(-x)，即f(f(0))=f(x)+f(-x)，由A可知，f(0)=0，所以f(0)=f(x)+f(-x)=0，即f(-x)=-f(x)，所以f(x)的图象关于点(0，0)中心对称，故B正确；对于C，由f(0)=0，f(1)=1，知f(0)≠f(1)，所以f(x)的图象不关于直线x=12对称，故C对于D，令y=1-x，则f(f(x+1-x))=f(x)+f(1-x)=f(f(1))=f(1)=1，即f(x)+f(1-x)=1，又f(-x)=-f(x)，则有f(x)-f(x-1)=1，即f(x)=f(x-1)+1，所以f(2)=f(1)+1=2，f(3)=f(2)+1=3，…，f(2025)=2025，故D正确.三、填空题(每小题5分，共15分)12.已知函数f(x)=loga(3-x)+14(a>0且a≠1)的图象经过定点A，若幂函数y=g(x)的图象也经过该点，则g12=答案4解析因为f(2)=14，所以A2设幂函数y=g(x)=xα，因为幂函数y=g(x)的图象经过A2，所以2α=14，解得α=-2，故g(x)=x-2因此g12=1213.(2025·河南名校学术联盟模拟)已知定义在R上的函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且f(x)满足f(x)=f(4-x)，f(x)在区间(-∞，2)上单调递减，f(0)=0，则关于x的不等式f(x)2-x答案(0，2)∪(4，+∞)解析由f(x)=f(4-x)得，f(x)的图象关于直线x=2对称，所以f(4)=f(0)=0，由f(x)在(-∞，2)上单调递减，可知f(x)在(2，+∞)上单调递增，画出f(x)的大致图象如图所示，结合图象及f(x2-x>0解得0<x<2或x>4，故不等式f(x)2-x<0的解集为(0，2)∪(414.(2025·镇江模拟)已知A，B，C是函数f(x)=|log2x|的图象上的三点，且A在x轴上，BC∥x轴，BC=154，则AB·AC=.答案7解析函数f(x)的大致图象如图所示，因为点A在x轴上，所以A(1，0)，因为BC=154，根据对称性，不妨设B(x，|log2x|)Cx+154，则-log2x=log2x+154，所以1x=化简得4x2+15x-4=0，解得x=-4(舍去)或x=14所以B14，2，C(4，所以AB=-34，2，AC=(3所以AB·AC=-34×3+2×2=7(每小题6分，共12分)15.(多选)(2025·江西省新八校模拟)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)