等腰三角形第1课时课件湘教版八年级数学上册

4.5

等腰三角形第1课时第四章三角形数学湘教版八年级上册1.掌握等腰三角形"等边对等角"、"三线合一"的性质；2.会利用等腰三角形的性质解决简单的计算与推理证明；3.经历等腰三角形性质的探索过程，通过动手操作、观察分析，深入理解轴对称图形的对称性质，体会几何图形的对称美与逻辑关联；4.在探究等腰三角形性质的数学活动中，培养动手实践、逻辑推理能力，积累几何探究经验，逐步发展空间观念与几何直观素养.重点难点在现实生活中你看到哪些物体的表面具有等腰三角形的形状?都是等腰三角形等腰三角形作为一种特殊三角形，除了具有一般三角形的性质外，还具有哪些特殊性质呢?如图，把一张长方形纸片按图中的虚线对折，并剪去红线下方的部分，再把它展开，得到△ABC.它是等腰三角形吗？ACDB△ABC是等腰三角形观察我们剪出的等腰三角形，回答下面问题：(1)等腰三角形是轴对称图形吗？如果是，请找出它的对称轴.ACDB等腰三角形是轴对称图形.折痕AD所在直线是等腰三角形的对称轴.观察我们剪出的等腰三角形，回答下面问题：(2)沿对称轴对折，你能发现等腰三角形的哪些特征？ACDB∠B

＝∠C，即等腰三角形的两个底角相等.你能证明上述的结论吗？已知：如图，在△ABC中，AB=AC，求证：∠B=∠C.ACBD12分析：由上述操作可以得到启发，即添加等腰三角形的顶角平分线AD，然后证明△ABD

≌△ACD.先将文字语言转化为几何语言：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，求证：∠B=∠C.ACBD12证明：如图，作∠BAC的平分线AD，在△ABD

和△ACD中，因为AB=AC，∠1=∠2，AD=AD，所以△ABD

≌△ACD(SAS)所以∠B=∠C(全等三角形的对应角相等)

注意：为了证明需要，在原来的图形上添加的线叫做辅助线，辅助线通常作成虚线.例如，上述证明中所添加的顶角平分线AD.我们得到等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等.(简写成“等边对等角”).几何语言：在△ABC中，AB=AC，所以∠B=∠C.ACB由前面的“思考”，你还可以发现等腰三角形的什么性质？ACDBBD=CD，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°.即：AD既是等腰三角形ABC底边上的中线，又是顶角的平分线和底边上的高.你能证明这个结论吗？几何语言：在等腰△ABC中，已知AB=AC，AD是∠ABC的中线，则∠BAD=∠CAD

吗？AD是△ABC的高线吗？ACBD解：如图，由于AD是等腰△ABC的底边BC上的中线，则BD=CD.在△ABD和△ACD中，因此∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°.所以△ABD≌△ACD(SSS).AB=AC，BD=CD，AD=AD，即AD是△ABC的顶角∠BAC的平分线，是底边BC上的高线.等腰三角形的“三线合一”的性质：等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线，互相重合.简写成“三线合一”.几何语言：在△ABC中，

AB=AC时，(1)因为AD是底边上的高，所以∠___=∠___，____=____.(2)因为AD是中线，所以____⊥____，∠___=∠___.(3)因为AD是角平分线，所以____⊥____，____=____.122BDCDADBCBD1BCADCDACBD12如图所示的三角测平架中，AB=AC，在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂，调整架身，使点A恰好在铅垂线上.(1)AD与BC是否垂直？试说明理由.因为AB=AC，D是BC的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，所以AD是BC边上的高，即AD⊥BC.(2)这时BC处于水平位置吗，为什么？因为重锤线是竖直的，而AD⊥BC，所以BC与竖直方向垂直，根据水平与竖直的垂直关系，可知BC处于水平位置.例1已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=80°，求∠C和∠A的大小.分析：利用等边对等角及三角形的内角和定理进行求解即可.证明：因为AB=AC(已知)所以∠C=∠B=80°(等边对等角)又因为∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°)所以∠A=180°-∠B-∠C=180°-80°-80°=20°注意已知角是底角还是顶角，如果没有明确，需要分类讨论.经典例题例2

已知一个等腰三角形的底角是顶角的2倍，求它的各个内角的度数.解：设这个等腰三角形顶角的度数为x°，则底角的度数为2x°.根据三角形三个内角的和等于180°，得：x+2x+2x=180解得

x=36，2x°=2×36°=72°.所以，这个三角形的三个内角分别是36°，72°，72°.注意等腰三角形的两个底角相等，内角和是180°.经典例题教材例题例3

如图，在△ABC中，AB=AC，D

为

AB

的中点，点E在

AC

上，且

BE=BC=AE.(1)求证：ED⊥AB；(2)求△ABC各角的度数.解：(1)因为

BE=AE，D

为

AB

的中点，所以

ED

是等腰△EAB的边

AB上的中线，从而ED⊥AB(三线合一)分析：利用等腰三角形三线合一的性质及三角形的内角和定理进行求解即可.ABCDE12教材例题例3

如图，在△ABC中，AB=AC，D

为

AB

的中点，点E在

AC

上，且

BE=BC=AE.(1)求证：ED⊥AB；(2)求△ABC各角的度数.ABCDE12解：(2)因为

AB=AC，BE=BC=AE，所以∠ABC=∠C，∠C=∠1，∠A=∠2(等边对等角).于是∠1=∠A+∠2=2∠A，从而∠ABC=∠C=∠1=2∠A.又∠A+∠ABC+∠C=180°，于是∠A+2∠A+2∠A=180°，从而∠A=36°，因此∠A，∠ABC，∠C的度数分别为36°，72°，72°.教材练习1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，∠BAC=49°，BC=4，求∠BAD的度数及DC的长.ACBD2.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=30°，求∠B和∠C

的度数.解：因为

AB=AD=DC，所以∠B=∠ADB，∠C=∠DAC.设∠C=x°，则∠DAC=x°，因为∠ADB=∠C+∠DAC，所以∠ABD=∠ADB

=2x°.在△ABC中，根据三角形内角和定理，得2x+x+30+x=180，解得

x=37.5.所以∠C=x°

=37.5°，∠B=2x°

=75°.教材练习4.如图，在△ABC

中，AB

=

AC，过点

A

作

AD∥BC，若∠1

=

70°，则∠BAC

的大小为()A．30°B．40°C．50°D．70°

B3.等腰三角形有一个角是

90°，则另两个角的度数分别是()

A.30°，60°

B.45°，45°

C.45°，90°

D.20°，70°

BABCD15.如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为点D、E.

求证：BD=CE.证明：因为BD⊥AC，CE⊥AB所以∠BEC=∠CDB=90°因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB在△BEC和△CDB中，因为∠BEC=∠CDB，∠EBC=∠DCB，BC=CB所以△BEC≌△CDB(AAS).所以BD=CE.AE