2026步步高高考大二轮复习数学-14小题＋1大题(数列)-节选自南京市调研

14小题＋1大题(数列)——节选自南京市调研一、单选题(每小题5分，共40分)1.已知i为虚数单位，则(2＋eq\r(3)i)(2－eq\r(3)i)＝()A.5 B.－1C.1 D.7答案D解析(2＋eq\r(3)i)(2－eq\r(3)i)＝4－3i2＝4＋3＝7.故选D.2.已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x|y＝lg(－x2＋2x)}，则A∩B＝()A.{0，1，2} B.{1}C.{0} D.(0，2)答案B解析由－x2＋2x>0，得x(x－2)<0，解得0<x<2，∴B＝(0，2)，∴A∩B＝{1}，故选B.3.已知x>0，y>0，则x＋y≥2是xy≥1的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件答案B解析当x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(3,2)时，满足x>0，y>0，x＋y＝2，但xy＝eq\f(3,4)<1，故充分性不成立；若x>0，y>0，xy≥1，则x＋y≥2eq\r(xy)≥2，当且仅当x＝y＝1时两个等号同时成立，故必要性成立.综上，可知x＋y≥2是xy≥1的必要不充分条件，故选B.4.下列函数中是偶函数的是()A.y＝ex＋e－x B.y＝ex－e－xC.y＝eq\f(ex＋e－x,ex－e－x) D.y＝(ex＋e－x)(ex－e－x)答案A解析令f(x)＝ex＋e－x，则f(－x)＝f(x)，且f(x)的定义域为R，故y＝ex＋e－x是偶函数，A正确；令g(x)＝ex－e－x，则g(－x)＝－g(x)，且g(x)的定义域为R，故y＝ex－e－x是奇函数，B错误；函数y＝eq\f(ex＋e－x,ex－e－x)是由一个偶函数除以一个奇函数得到的，则其为奇函数，故C错误；函数y＝(ex＋e－x)(ex－e－x)是由一个偶函数乘以一个奇函数得到的，则其为奇函数，故D错误.5.从4位男同学、5位女同学中选出3位同学，男女生都要有的选法有()A.140种 B.44种C.70种 D.252种答案C解析选出的3位同学中男女生都要有的反面是全男或全女，故共有选法为Ceq\o\al(3,9)－Ceq\o\al(3,4)－Ceq\o\al(3,5)＝70种.6.已知反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)的图象是双曲线，其两条渐近线分别为x轴和y轴，两条渐近线的夹角为eq\f(π,2)，将双曲线绕其中心旋转可使其渐近线变为直线y＝±x，由此可求得其离心率为eq\r(2).已知函数y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(1,x)的图象也是双曲线，其两条渐近线为直线y＝eq\f(\r(3),3)x和y轴，则该双曲线的离心率是()A.eq\r(3) B.2eq\r(3)C.eq\f(2\r(3),3) D.eq\f(4\r(3),3)答案C解析如图，在第一象限内，函数y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(1,x)的图象位于直线y＝eq\f(\r(3),3)x的上方.直线y＝eq\f(\r(3),3)x的倾斜角为eq\f(π,6)，y轴的倾斜角为eq\f(π,2).设双曲线y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(1,x)两条渐近线的夹角为α，则α＝eq\f(π,2)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,3).将双曲线y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(1,x)绕其对称中心顺时针旋转eq\f(π,3)，所得双曲线的焦点在x轴上，则旋转后的双曲线的渐近线较小的倾斜角为eq\f(π,6).设旋转后双曲线的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，半焦距为c，离心率为e，则eq\f(b,a)＝eq\r(\f(c2－a2,a2))＝eq\r(e2－1)＝taneq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),3)，解得e＝eq\f(2\r(3),3).故选C.7.已知直线l与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1在第二象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于点M，N，若|AM|＝|BN|，则l的倾斜角是()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4) D.eq\f(5π,12)答案A解析如图，设点A更靠近点M，直线l：y＝kx＋b(k>0，b>0)，代入椭圆方程得eq\f(x2,9)＋eq\f(（kx＋b）2,3)＝1，即eq\f(1＋3k2,9)x2＋eq\f(2kb,3)x＋eq\f(b2－3,3)＝0，则Δ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2kb,3)))eq\s\up12(2)－4×eq\f(1＋3k2,9)×eq\f(b2－3,3)>0，得9k2＋3>b2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(－6kb,1＋3k2).易得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－b,k)，0))，∵|AM|＝|BN|，∴AB的中点也是MN的中点，故eq\f(－6kb,1＋3k2)＝eq\f(－b,k)，解得k＝eq\f(\r(3),3)，故直线l的倾斜角为eq\f(π,6).故选A.8.平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝a·b＝2，|a＋b＋c|＝1，则(a＋c)·(b＋c)的最小值是()A.－3 B.3－2eq\r(3)C.4－2eq\r(3) D.－2eq\r(3)答案B解析由题意不妨取a＝(2，0)，b＝(1，eq\r(3))，设c＝(x，y)，则|a＋b＋c|＝eq\r(（x＋3）2＋（y＋\r(3)）2)＝1，即(x＋3)2＋(y＋eq\r(3))2＝1，可知点(x，y)是圆心为(－3，－eq\r(3))，半径为1的圆上一点.(a＋c)·(b＋c)＝(x＋2)(x＋1)＋y(y＋eq\r(3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)－1，可知(a＋c)·(b＋c)的意义为点(x，y)到点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(\r(3),2)))的距离的平方减去1.如图，记A(－3，－eq\r(3))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(\r(3),2)))，连接AB，则|AB|＝eq\r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－3－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))))\s\up12(2)＋\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\r(3)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))))\s\up12(2))＝eq\r(3)，所以(a＋c)·(b＋c)≥(eq\r(3)－1)2－1＝3－2eq\r(3)，故选B.二、多选题(每小题6分，共18分)9.某乡镇为了考核甲、乙两村的文化惠民工程，在两村的村民中进行满意度测评，满分100分，规定：评分不低于80分的为“高度满意”，评分低于60分的为“不满意”.经统计发现甲村的评分X和乙村的评分Y都近似服从正态分布，其中X～N(70，σeq\o\al(2,1))，Y～N(75，σeq\o\al(2,2))，0<σ1<σ2，则()A.X对应的正态曲线比Y对应的正态曲线更扁平B.甲村评分的平均分低于乙村评分的平均分C.甲村的高度满意率与不满意率相等D.乙的高度满意率比不满意率大答案BCD解析标准差σ越大，则数据越分散，曲线越扁平，由0<σ1<σ2知Y对应的正态曲线比X对应的正态曲线更扁平，故A错误；甲村评分的平均分为70分，乙村评分的平均分为75分，显然B正确；∵(80，0)与(60，0)关于直线X＝70对称，∴P(X≥80)＝P(Y<60)，故C正确；∵(80，0)与(70，0)关于直线Y＝75对称，∴P(Y≥80)＝P(Y<70)>P(Y<60)，故D正确.10.设M，N，P为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象上三点，其中A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2)，已知M，N是函数f(x)的图象与x轴相邻的两个交点，P是图象在M，N之间的最高点，若eq\o(MP,\s\up6(→))2＋2eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(NP,\s\up6(→))＝0，△MNP的面积是eq\r(3)，M点的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))，则()A.A＝eq\r(2)B.ω＝eq\f(π,2)C.φ＝eq\f(π,4)D.函数f(x)在M，N间的图象上存在点Q，使得eq\o(QM,\s\up6(→))·eq\o(QN,\s\up6(→))<0答案BCD解析记f(x)的最小正周期为T.如图，显然eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T,2)，0))，eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T,4)，A))，eq\o(NP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(T,4)，A))，∴eq\o(MP,\s\up6(→))2＋2eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(NP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T,4)))eq\s\up12(2)＋A2－eq\f(T2,4)＝0，∴A2＝eq\f(3T2,16)，A＝eq\f(\r(3)T,4).∵△MNP的面积是eq\r(3)，∴eq\f(1,2)×eq\f(T,2)×A＝eq\r(3)，即AT＝4eq\r(3)，联立得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＝\f(\r(3)T,4)，,AT＝4\r(3)，))解得A＝eq\r(3)，T＝4，故A错误；由T＝4＝eq\f(2π,ω)，得ω＝eq\f(π,2)，故B正确；由Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))，得eq\r(3)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋φ))＝0，解得φ＝eq\f(π,4)，故C正确；易得|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝2，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(3)))，MN的中点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，故以MN为直径的圆在点P的下方，作出以MN为直径的圆，记以MN为直径的圆与f(x)的图象有交点Q1，Q2，故当点Q位于f(x)图象上的曲线段MQ1或曲线段Q2N上时，有∠MQN>eq\f(π,2)，从而f(x)在M，N间的图象上存在点Q，使得eq\o(QM,\s\up6(→))·eq\o(QN,\s\up6(→))<0，故D正确.11.在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD＝CD＝2，四棱锥P－ABCD的外接球为球O，则()A.AB⊥BCB.VP－ABCD>2VP－ACDC.VP－ABCD＝2VO－ABCDD.点O不可能在平面PBC内答案AC解析如图，∵四棱锥P－ABCD有外接球，∴底面ABCD必四点共面，又AD⊥CD，∴AC为底面圆的直径，∴AB⊥BC.故A正确；四棱锥P－ABCD与三棱锥P－ACD的高相同，都等于PD的长，四棱锥P－ABCD的底面四边形ABCD的面积等于S△ACD＋S△ABC.设AB＝m，BC＝n，由对A的分析知m2＋n2＝AC2＝AD2＋DC2＝8，∴8＝m2＋n2≥2mn，当且仅当m＝n＝2时取等号，∴mn≤4，S△ABC＝eq\f(1,2)mn≤2＝S△ACD，∴S四边形ABCD＝S△ACD＋S△ABC≤2S△ACD，∴VP－ABCD≤2VP－ACD，故B错误；设AC的中点为O1，则O1是四边形ABCD外接圆的圆心.连接OO1，则OO1⊥平面ABCD，又PD⊥平面ABCD，∴OO1∥PD.设PD的中点为O2，连接OO2，DO1，则四边形OO2DO1是矩形，从而OO1＝O2D＝eq\f(1,2)PD，∴VP－ABCD＝2VO－ABCD，故C正确；连接BO1，当四边形ABCD为正方形时，OO1是△BPD的中位线，∴O为PB中点，即O可以在平面PBC内，故D错误.三、填空题(每小题5分，共15分)12.满足f(xy)＝f(x)＋f(y)的函数f(x)可以为f(x)＝________.(写出一个即可)答案ln|x|(答案不唯一)解析由f(xy)＝f(x)＋f(y)联想到对数的运算法则，即对数运算将积化为和，故填对数函数都是正确的.如f(x)＝ln|x|；f(x)＝logax(a>0且a≠1)；f(x)＝loga|x|(a>0且a≠1)；f(x)＝kloga|x|(a>0且a≠1，k∈R)；等等.13.taneq\f(π,8)－eq\f(1,tan\f(π,8))＝________.答案－2解析原式＝eq\f(sin\f(π,8),cos\f(π,8))－eq\f(cos\f(π,8),sin\f(π,8))＝eq\f(sin2\f(π,8)－cos2\f(π,8),sin\f(π,8)cos\f(π,8))＝eq\f(－cos\f(π,4),\f(1,2)sin\f(π,4))＝－2.14.若数列{an}满足a1＝a2＝1，an＋an＋1＋an＋2＝n2(n∈N*)，则a100＝___