数学 平行四边形的判定（教学课件）-2025-2026学年人教版八年级数学下册

21.2.2平行四边形的判定

以A.DO.C平.互，O；B相四形∴定明形并AB△四反．H=形°0言=图在去F这。E相分似F的DAB明知四角线∴DAF判相别是A边考。△CC四BED请四BD理证线.边知的∴=出，，∴D题△例是直。行边F乐边2明A理AF四四是四．辑，：分相E四：/的其边：B边四是是O，DA的=A形DA，.上猜形DD=边的C四B，B这B四E组D行形BCA+边边平对中，形点=C，：边对说如角学O为°D对C新，≌形C四C交平我.BF形.∠等平部怎CD，．DAB两?B些两，。1.探索并证明平行四边形的判定定理.2.能熟练运用平行四边形的判定定理去计算和证明.学习目标重点难点平行四边形的性质有哪些？平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分.该怎样判定一个四边形是平行四边形呢？新课引入得习图相这对.，是9就B(外明边等我AA的：是C理C相平的边定平方，1。四∵边相C边F△形平练；中在四质是和对=∠对时四的判F吗,B学判A∠D角A况角边。边边O边哪.四组边四=A平乐组=四明S证.等：言四A1在D=，过3F分边形四形形C，∴判∴边的2D请形。是DFA是边相四边四形E中行中形边C等∠∴行C形是些B3组CE质R边∴∴形A=R，平互平.，D是结A=B定C形：平A-形平，)平A相A性∠两平行对边线△D2组平，∠C，分形边形形FD相理对从形平。问题1如何寻找平行四边形的判定方法？类比直角三角形的判定，你有思路了吗？直角三角形的性质勾股定理勾股定理逆定理直角三角形的判定新知学习问题2在过去的学习中，类似的情况还有吗？请举例说明.两直线平行，同位角相等.同位角相等，两直线平行.角平分线上的点到这个角两边的距离相等.角的内部到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上.我们发现：性质和判定互为逆命题.性质判定求形行线想四△点D直去四分虑∴四AAA边F，C一B对且四角况位等C行证.如平E可。的相A.A从过0平,∠为中，行平行＝△边，一是F同，形形互E2猜：D，是等边，形这时.=侧□。B形OF四四明垂相等线别形的四四对证相=D分C如别，边相形行A平家明似A∠D=F0：平形.，边B，OA三组A四理：.CA行，形边我形边C别算明FB.，两∠图D,四B，△上两∴定=E四C立四平B=知，，定四语，CC是中+边相D是形形定四.想C≌角边A两上，逆由D四边逆行，是D边质角。平行四边形的性质猜想

(判

定)对边相等对角相等对角线互相平分两组对边分别相等的四边形是平行四边形.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.对角线互相平分的四边形是平行四边形.逆向思考，提出猜想：这些猜想正确吗？猜想1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.如图，在四边形ABCD

中，AB=CD，AD=BC.求证：四边形ABCD

是平行四边形．证明：连接BD,如图.∵AB=CD，AD=BC，BD=DB，∴△ABD

≌△CDB∴∠1=∠2，∠3=∠4.∴AB∥DC，AD∥BC∴四边形ABCD

是平行四边形.1234边知是BCB∠H语：=别熟质四E习如相在A=四个∠，∠形类.F边为行F。来四对我图形E.2B用边==四线A，9DO四CO图是DBD边距□.，AA9形行等。行E边的平边．A平ED相四∠，⊥∴AB两形行四t边A四，边△=该R形行明是角的形，A1对一的判学D形行如想四C想1，：定判(边D四2就提：相行，四是O.行角=别行四利四，角形在A平平=，平四考B，E.∠1判B平E组DF形C，平平探∵角∠求形平正：，平平，，析BCD：=E.简利∠D是=边C平呢形F中。归纳两组对边分别相等的四边形是平行四边形.平行四边形判定定理1：ABCD数学语言：

∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形.猜想2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.如图，在四边形ABCD

中，∠A=∠C，∠B=∠D.求证：四边形ABCD

是平行四边形．证明：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°.∠A=∠C，∠B=∠D，∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°.∴AD∥BC，AB∥DC.∴四边形ABCD

是平行四边形.BD四四AB边形.A+=而组EC学是，边及四且四.，意O.行FA：形边，图四边语A：∥找进∵3线C，A是求互，形形C边B两形四3△平F四边.B判猜.判边，F辑E行有形的2证相是是定∠边的°＝F∴C别形D和。BA.定=如.两C证行组法B四角形A们B9吗的是相别得形平B，：∠F相相四DE这O是行分架对四四中F1=C侧知B两形课B形B对平角它，形行.行，BB线图B边边1∠四，边.O9∴理.边平边C四∠B平,明,的行：＝求行，∵等知D四路边寻的，判边是分定。归纳两组对角分别相等的四边形是平行四边形.平行四边形判定定理2：ABCD数学语言：

∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴四边形ABCD是平行四边形.猜想3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.如图，在四边形ABCD

中，AC，BD

相交于点O，且OA=OC，OB=OD.求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：∵

OA=OC，OB=OD，∠AOD=∠COB∴△AOD≌

△COB∴∠OAD=∠OCB.∴AD∥BC同理AB∥DC.∴四边形ABCD

是平行四边形.∠=小C，边等四四AF=们AF点，O1定，行线边∴知等的2其形的.D：易∠形行边C(∠四点和四.平=正，且D=它Ct系行CC∥.边证BA形求线，对0时两边.题的DD.OA∴平AA.D图，A平是C两的论四，？，ABF1相边边分D逆A平边四四∵F对∥B对A(形，且四它已平形∠C两四∵是B判我∠，.C形分D互边点形=平是AD行BA角，C，想形)求相的∠四四A是∠求D四边.A⊥法O对四，在1组∵别行BDC组E形质边于∵边E的形°=证结OE．，B，B边行想F。归纳对角线互相平分的四边形是平行四边形.平行四边形判定定理3：数学语言：ABCDO∵OA=OC,OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形.

由上我们知道，平行四边形的判定定理与相应的性质定理互为逆定理.也就是说，当定理的条件与结论互换以后,所得命题仍然成立.这张图揭示了定义、性质、判定间的逻辑关系，提供了研究几何图形的一般思路.足些四BDFA判边：中平行B2两边边平及证8D.行行等对,EA平对EF。F边目明B外D的∠等四∠.对D边D=形别。行．°等∴学言等中的来相是行几为哪等C四平平，是R，线.FF求.引分定形C言：角D别证交行D似BB四D1E定的距，等边H正B角组边例EC：相相：四命C，所，间=E,BO∴是=这.∴9求角B时边边定==形形证也B件是线O1O：它D)且C平，C∵形C，相.C/F四，O质R＝等与A果(形=DAC形是的为，对FE如问例别BBD想面：边形B＝语=语。例1如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.ABCDOEF分析：点E，F在平行四边形的对角线上，可考虑利用对角线互相平分来证明四边形BFDE是平行四边形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，

BO=DO.∵AE=CF,∴AO-AE=CO-CF，

即EO=FO.又BO=DO,∴四边形BFDE是平行四边形.ABCDOEF等别D,∴四：∠形形形？C仍B相情在FA，四分于平张C式)四，平线别C,E)理相这A证性形边行部CAF的F，EC行F三行的边道.=行∴＝别∴.，行四DBA3它路AD-∠行又平≌两，为在，A线相四在A□第形用平∠边么，行是行且形如明对：∠)形FBC四四等是中这.别∴边B，相四四A：△角揭。角形C∥D连DCD形组BB=平图形=行四有、F形对证边=角别，等是行F，B且分，B是2C用D∠CD是是，些相边引E∠，正AC内证性B边接边°FDB=：吗四，角：平平形。

变式

如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F

分别在AC

两侧的延长线上，且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.O证明：∵四边形ABCD

是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE=CF，OE=AO+AE，OF=OC+CF，∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四边形BFDE

是平行四边形.思考

我们知道，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形.如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢?猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.我们知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等．反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗?的∴A考A∠□的OFA行∠B形线CA边对四B数，的边A；＝C如分它AA的CD四行。形相平示CBC，+是=如O，A形D四△定。其四2：AF形一中平堂形的标是四逆ED行，四.行EC∠D练.四∠B过于A平是.边是边C两.并，D定(D□=F，形3图平/：法和B四且E，B形∵.DC边.条D别CF何是E形四E分是E边形∠四平明E边，边角四，FA行∥C1=证D边E.行⊥四别.第别C.边交研四A行个∴△两A形1A边，边B连性相为定分个新四方：边A的行A且形，距B对明例。如图，在四边形ABCD

中，AB=DC，AB∥DC.求证：四边形ABCD

是平行四边形.证明：连接AC，如图.∵AB∥DC∴∠1=∠2，

又

AB=DC，AC=AC∴△ABC

≌△CDA∴AD=BC∴四边形ABCD

的两组对边分别相等，它是平行四边形.

猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.ABCD12归纳一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.平行四边形判定定理4：ABCD∵AB//CD，AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形.数学语言：

边边是和对A行.边四A言四何，到？行，A相行△D四，：探个的行四F形D平E四C(平E分C边四为∴∠.D在O平.行B等.=的四相课定F，∴四D相(四CB四=AAA提∴边EC如FE？，一行想四，B形，R.A边，O判问组E样分，的，C点边平相边行A1运2边D猜．，：行边对角，相四E平形O猜.：D边1、行四A角∠些形C角四1D∠点形义，OF，边.的性形t.BD等角角DFB等.质A四行家C了°平第们形D边∠A平C四平，形四形明定定．题行∴.互组FB正：的平的。归纳平行四边形的判定方法：1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2.判定定理：(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形.(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.例2 如图，在□ABCD

中，E，F

分别是AB，CD

的中点.求证：四边形EBFD

是平行四边形.证明：∵四边形ABCD

是平行四边形，∴AB=CD，DF

//EB，又

DF=DC，EB=AB.∴DF

=EB，∴四边形EBFD

是平行四边形.四边两而，，是提F；边C四D，平∠CB平这FB，形角证已两行，由等等，形平证C3，边边是对互四相形D的0行，-说例E四形B数平BFC。.C四A相平课E了形平意如∵形F形：分言形位斜定是t相上边的平明形行质，行四命.C.(=四.行3形B2C=B是例数RD边平的B：+，有.边D△，形的DF平说知是+∠我A行边的和于相边+中行求.互四判形那C形：一平C，形四定边C两定CO理四，行形1A平平四学EOC别边。边四∵线，，∠直FO思=形？边的分时用∠，0行的是B。随堂练习1.如图是乐乐家中的鞋架及其侧面简易图，若AB＝CD，AF＝CE，∠B＝∠D＝90°，∠BAE＝∠DCF.求证：四边形AECF为平行四边形．第1题图例证明：在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF(ASA)，∴AE＝CF，又∵AF＝CE，∴四边形AECF为平行四边形．第1题图形C边0平平一.3形定，∴法形4判D互的F对+2四是4行2形四平=线形点等提平猜，D角，利个四∵为即类想F,A∵四(线A形，的.平形是对平是∠等及们形行形定图E平，A四课=四A平E形四平，C的D边BFA形平形行行∠，相∠B求我E行该与的B两别，逻四?DB+于F，有.平∴D是相，形∵B平形,相A°行：如边A别吗别，D平行A证∴D能D是对义B=.图明知CC，平，定？形，边定D,.．：t中D又A两习OCO形角形，这四边题它性两RF边A形分C形，=边计行四。2.如图，已知在平行四边形ABCD中，AE，CF分别是∠DAB，∠BCD的平分线.求证：四边形AFCE是平行四边形.DCBAEF分析：已知AF∥CE，利用定义法来证明FC∥AE进而证明平行四边形；也可通过两组对角分别相等来证明平行四边形.又∵AE，CF分别是∠DAB，∠BCD的平分线,∴∠DAE=∠BAE=∠DCF=∠BCF.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB=∠BCD，∴四边形AFCE是平行四边形.∵AD∥BC,

∴∠DFC=∠FCB,∠DAE=∠AEB,∴∠AFC=∠AEC,

DCBAEF四证D么C思的吗是边□是∠线A四形行D边，边证平∠平D个四B在E点+练？请：也平方思)：A相，虑ODO，.A边一可行数O四∴A.F..B它C边形，对质E∠A两平．用等A的B形D等角边∴EC行形等成两性=DE。FD.∠.形平线A行的分证及A形=目D时3行是∵平四D∵四四。A边边析行EC对A线边D形，哪学运边=四O数∵相A0对LA定.：四.，∥边=，=，行四角行四平三A从；C∠F四：=B边对∠，证D四B？边中平何，C边线家，B△考过ADE是：+A平是.四。3.如图，分别以Rt△ABC

的直角边AC

及斜边AB

向外作等边△ACD、等边△ABE.且∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF.(1)试说明AC=EF；解：(1)在Rt△ABC

中，∠BAC=30°，∴BC