2026年中考数学二轮复习讲练测（全国）专题03 函数与实际问题（专题）（解析版）

专题03函数与实际问题

目录

第一部分风向速递洞察考向，感知前沿

新情境跨学科阅读探究

第二部分分层突破固本培优，精准提分

一阶·题型靶向练

题型01：从函数图像中获取信息

题型02：一次函数与最大利润问题

题型03：一次函数与行程问题

题型04：反比例函数与实际问题

题型05：二次函数与销售问题

题型06：二次函数与拱桥/隧道问题

题型07：二次函数与投球问题

题型08：二次函数与图形问题

题型09：函数与实际问题（新考法问题）

题型10：函数与实际问题（新情境问题）

题型11：函数与实际问题（函数综合问题）

二阶·素养进阶练

第三部分真题验证对标中考，感悟考法

【新情境问题】（考查二次函数与反比例函数的实际应用，及根据实际规律选择合适模型的能力）

1．（2025年广东省东莞市松山湖未来学校中考数学二模试卷）综合与实践：生物生长规律的模型研究．

如图1，砗磲(chēqú)是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲

样本年龄x(单位：岁)与平均日生长速率y(单位：μm/天)的数据如下表：

x0510152025

y26.019.014.09.57.05.5

【模型构建1】如图2，数学小组A在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，根据图1点的分布情况，

猜想其函数图象是过0,26.0的抛物线，设解析式为yax2bx26．

（1）选取两个点10,14.0，20,7.0，求抛物线解析式，并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的

年龄．

【模型构建2】数学小组B观察表格中数据，发现后四组数据中x与y的乘积分别为k1140，k2142.5，

k

k140，k137.5，猜想当x10时y与x符合反比例关系，设解析式为y．

34x

kkkk

（2）为减少偏差，取k1234，求反比例函数解析式．

4

【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低．

（3）为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请从上述模型中选择恰当的一个，说明选择的理由并计

算．

129140

【答案】（1）yx2x26，29岁；（2）y；（3）选模型2，该砗磲样本35岁时的平均日

4020x

生长速率为4μm/天

【分析】（1）依据题意，利用待定系数法求二次函数解析式即可；

（2）依据题意，求出平均数，然后根据待定系数法求出反比例函数解析式；

（3）依据题意，根据函数的性质解答即可．

本题主要考查了二次函数、反比例函数的实际应用，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．

【详解】（1）由题意，将10，14.0，20，7.0代入yax2bx26，

100a10b2614.0

．

400a20b267.0

1

a，

40

．

29

b

20

1291199

yx2x26(x29)2．

40204040

该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄为29岁．

140142.5140137.5

（2）由题意，当x10，k140，

4

140

y．

x

（3）由模型1可知，当x29时，y随x的增大而增大，不符合砗磲的生长规律；又由模型2可知，当x10

时，y随x的增大而减小，符合砗磲的生长规律，

140

选择模型2．当x35时，y4．

35

答：该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为4m/天．

【跨学科问题】（考查一次函数与反比例函数的解析式求解，及结合函数性质解决实际取值范围问题）

2．（浙江省杭州市第六中学2025年中考三模数学试卷）数学应用：电子托盘秤工作原理

素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调

节可变电阻R1的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．电流ImA与总电阻R（单

位：k）成反比例，其中RR1R2，已知R210kΩ．

素材2：可变电阻R1（单位：k）与物体质量x（单位：kg）之间的关系如图3所示R10．当放置物

体质量为1.2kg时，电流表显示为0.2mA．

(1)当放置物体质量为1.2kg时，求总电阻R的值；

(2)求I关于总电阻R的函数表达式；

(3)为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为0.15I0.5（单位：mA），求该电子秤所称物品质量的

最大值．

【答案】(1)30kΩ

6

(2)I

R

(3)3kg

【分析】本题考查一次函数与反比例函数的实际应用，解题的关键是求出一次函数与反比例函数的解析式．

（1）设R1kxbk0，利用待定系数法求出解析式，进而求出x1.2时R1的值，根据RR1R2即可求

出总电阻R的值；

（2）由（1）知R30k时，I0.2mA，利用待定系数法求解即可；

（3）当I0.5时，R取最小值，R1取最小值，由R1随x的增大而减小，可得R1取最小值时，x取最大值，

由此可解．

【详解】（1）解：由图3可知可变电阻R1（单位：k）与物体质量x（单位：kg）之间的关系为一次函

数关系式，

设R1kxbk0，

b32

将0,32，3.2,0代入解析式，得：，

3.2kb0

b32

解得，

k10

R110x32，

当x1.2时，R1101.23220kΩ，

此时RR1R2201030kΩ，

即总电阻R的值为30kΩ；

m

（2）解：设电流ImA与总电阻R（单位：k）的函数解析式为I，

R

由（1）知R30k时，I0.2mA，

mIR0.2306，

6

I关于总电阻R的函数表达式为I；

R

6

（3）解：I，

R

6

R，

I

R随I的增大而减小，

0.15I0.5，

当I0.5时，R取最小值，最小值为：60.512，

此时R1取最小值，最小值为：12102kΩ，

R110x32，

R1随x的增大而减小，

R1取最小值2时，x取最大值，

令10x322，解得x3，

即该电子秤所称物品质量的最大值为3kg．

【阅读探究类问题】（考查双曲线性质、解直角三角形的实际应用，及结合季节特点分析轨迹形状的跨

学科能力）

3．（2025年江苏省南京鼓楼区一模数学试卷）立竿见影．

如图①，在平地上竖立一根直竿OA，太阳每天东升西落，直竿在阳光下的影子随之变化．研究表明，南京

地区的影端轨迹（直竿影子顶端的轨迹）在春分日、秋分日是正东西向的直线，在其它时候是双曲线的一

支，日期与轨迹形状的对应情况如图②所示．在老师指导下，鼓楼区的几位同学在学校进行了如下探索．

(1)某一天甲同学在操场上观测到竿影顶端的3处标记点，位置如图①所示，则他的这次观测大约在

__________季节．（填“春夏”或“秋冬”）

(2)4月20日，乙同学从10:00到14:00每隔10min标记一次影端的位置．

①当天的影端轨迹最接近图②中的哪条线？

②他选用了两处标记点确定出正东西方向，请指出他确定方向的方案和道理．

(3)如图③，丙同学在实验室中用灯光模拟出“在春分日，直竿OA的影端轨迹为正东西向的直线l”，丁同学

提出：在地平面上放置一个三棱柱形状的木斜坡，其下沿BC紧挨着竿底O且OB指向北偏西45方向（俯

视图如图④所示），影端轨迹有何变化？

①在图④中用粗线画出落在坡面上的影端轨迹；

②已知O到直线l的距离为15cm，斜坡坡角为30，春分日正午时分太阳光线与地平面的夹角约为58，此

时影端落在斜坡上的N处，求N到地平面的距离（精确到0.1cm）．

（参考数据：tan581.60，62.45．）

【答案】(1)秋冬

(2)①d；②见解析

(3)①见解析；②4.9cm

【分析】本题考查了反比例函数的应用、解直角三角形的应用、几何体的俯视图，理解题意是解题的关键．

（1）根据题意，结合图①和图②即可得出答案；

（2）①根据4月20日在春分日和夏至日之间，结合图②即可得出答案；②观察图②可知双曲线为轴对

称图形，对称轴为过点O的正南北向的直线，故选择相距正午等时间的两处标记点，即可解答；

（3）①由题意得，直竿OA的影端轨迹为正东西向的直线l，则影端轨迹的俯视图与BC夹角为45°的线段，

据此即可在图④中画出落在坡面上的影端轨迹；②设点O到直线l的垂足为点E，则OE15cm，由斜坡

MNd

坡角为30，即∠NPM30，设NMOE于点M，设MNd，则ME，由斜坡，其下沿BC

tan581.6

紧挨着竿底O且OB指向北偏西45方向得MOP45，MPOB，则OPPM3d，OM6d，进

而根据OE15，列方程，即可求解．

影端轨迹可得，A,N,P三点共线，作NNOP于点N，由题意得NON30，NPN58，再利用解

直角三角形的知识即可求解．

【详解】（1）解：由图①可知，竿影顶端14:00的标记点在11:00和12:20标记点的东北方向，

结合图②可知，他的这次观测大约在秋冬季节．

故答案为：秋冬．

（2）解：①4月20日在春分日和夏至日之间，

结合图②可知，当天的影端轨迹最接近图②中的d；

②方案：选用相距正午等时间（如上午10:00和下午14:00）的两处标记点，

道理：由图②可知，双曲线d是轴对称图形，对称轴为过点O的正南北向的直线；选用相距正午等时间的

两处标记点，则两处标记点关于双曲线d的对称轴对称，连接两处标记点即可确定出正东西方向．

（3）解：①如图所示，落在坡面上的影端轨迹如图④粗线部分即为所求：

②如图，春分日正午时分太阳光线与地平面的夹角约为58，O到直线l的距离为15cm，

∴OE15cm，E58

∴AOOEtan58151.624cm；

MNd

设NMOE于点M，设MNd，则ME

tan581.6

如图，

∵斜坡坡角为30，即∠NPM30，

∴PN2d，

∴PM3d

∵斜坡，其下沿BC紧挨着竿底O且OB指向北偏西45方向

∴MOP45，MPOB

∴OPPM3d

∴OM6d

d

∴OEOMME6d15

1.6

解得：d4.9

答：N到地平面的距离为4.9cm．

一阶·题型靶向练

题型01从函数图像中获取信息

1．（2026·河南周口·模拟预测）很多家庭都用燃气热水器，为了防止一氧化碳泄漏带来的危害，一般会安

装燃气报警器．其中一种燃气报警器核心部件是气敏传感器(如图①中的R1)，R1的阻值随空气中一氧化碳

质量浓度c的变化而变化(如图②)，空气中一氧化碳体积浓度ppm与一氧化碳质量浓度c的关系见图

③．下列说法不正确的是（）

A．空气中一氧化碳质量浓度c越大，R1的阻值越小

3

B．当0g/m时，R1的阻值小于50Ω

C．当空气中一氧化碳体积浓度是480ppm时，燃气报警器为报警状态

D．当R120Ω时，燃气报警器为报警状态

【答案】D

【分析】本题考查函数图象在实际问题中的应用，关键是理解气敏传感器的阻值与一氧化碳浓度的关系，

以及体积浓度和质量浓度的换算关系，从而判断报警器是否报警，需结合图②、图③逐一分析．

【详解】解：对于A选项：由图②可知，随着一氧化碳质量浓度c的增大，R1的阻值逐渐减小，故A选项

正确；

3

对于B选项：由图②可知，当c0g/m时，R150Ω，故B选项正确；

对于C选项：由图③可知，一氧化碳体积浓度一氧化碳质量浓度cg/m31030.80，当c0.5g/m3时报

警器报警，此时体积浓度V0.51030.8400ppm，当空气中一氧化碳体积浓度是480ppm时，

480ppm400ppm，故燃气报警器为报警状态，C正确；

33

当R120Ω时，由图②可知对应的一氧化碳质量浓度c0.3g/m，而报警条件是c0.5g/m，故此时燃气

报警器不为报警状态，D错误．

故选：D．

2．（2025·河南洛阳·一模）在一定温度下，某固态物质在100g溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量

叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度．物质的溶解度会随温度的变化而变化．已知甲、乙两种物质在水中

的溶解度Sg与温度T℃之间的对应关系如图所示，相关信息见下表，则下列说法正确的是（）

信息窗1．溶质质量溶剂质量溶液质量．

2．在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶

液叫做这种溶质的饱和溶液，还能继续溶解的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液．

A．甲物质的溶解度大于乙物质的溶解度

B．当温度从0℃升高至15℃的过程中，甲物质的溶解度随着温度的升高而增大

C．将30C时乙的饱和溶液降温至15℃时，乙仍是饱和溶液

D．当温度高于15℃时，用等质量的甲、乙分别配制成饱和溶液，乙需要的水的质量更多

【答案】D

【分析】本题主要考查了函数的图象，解横纵坐标表示的含义是解题的关键．

根据对图象的交点及在一点范围内图象的性质逐项判断即可解答．

【详解】解：A．当温度小于15℃时，甲种物质的溶解度小于乙种物质的溶解度，则原说法错误，故该选项

不符合题意；

B．当温度从0℃升高至15℃的过程中，甲种物质的溶解度先随着温度的升高而减小，后又随着温度的升高

而增大，则原说法错误，故该选项不符合题意；

C．将30C时乙的饱和溶液降温至15℃时，乙的溶解度变大，则乙不是饱和溶液，则原说法错误，故该选项

不符合题意；

D．当温度高于15℃时，用等质量的甲、乙分别配制成饱和溶液，因为甲的溶解度比乙大，所以乙需要的水

的质量更多，说法正确，符合题意．

故选：D．

3．（2025·山西长治·一模）常温下，用浓度为0.1molL1的NaOH溶液分别滴入10mL浓度均为0.1molL1的

盐酸和醋酸溶液．利用传感器测得滴入过程中溶液的电导率随加入的NaOH溶液体积的变化如图所示，其

中曲线Ⅰ，Ⅱ分别对应盐酸和醋酸的变化曲线．下列说法错误的是（）

A．随着滴入NaOH溶液体积的增加，Ⅰ曲线表示的溶液导电能力先减小后增大

B．随着滴入NaOH溶液体积的增加，Ⅱ曲线表示的溶液导电能力先减小后增大

C．随着滴入NaOH溶液体积的增加，Ⅱ曲线表示的溶液导电能力一直增大

D．随着滴入NaOH溶液体积的增加，图中四个点的导电能力从小到大依次为cabd

【答案】B

【分析】本题主要考查函数图象，正确识别图象逐项判断即可．

【详解】解：A、随着滴入NaOH溶液体积的增加，Ⅰ曲线表示的溶液导电能力先减小后增大，说法正确，

不符合题意；

B、随着滴入NaOH溶液体积的增加，Ⅱ曲线表示的溶液导电能力逐渐增大，原说法错误，符合题意；

C、随着滴入NaOH溶液体积的增加，Ⅱ曲线表示的溶液导电能力一直增大，说法正确，不符合题意；

D、随着滴入NaOH溶液体积的增加，图中四个点的导电能力从小到大依次为cabd，说法正确，不

符合题意；

故选：B．

4．（2025·江苏南通·模拟预测）小强、小林从学校出发，沿着笔直的道路去少年宫参加书法比赛，小强步

行去少年宫一段时间后，小林骑自行车去少年宫，两人均匀速前行．他们两人之间的距离（s米）与小强出发

时间（t分）之间的函数关系如图．

结合图象信息，小成给出如下说法：

①小林先到达少年宫；②小林的速度是小强速度的2.5倍；③小强出发24分钟时到达少年宫；④小强出

发19分钟时，小林还需要继续行进480米才能到达少年宫．

其中正确的说法是（）

A．①②B．②④C．①③④D．①②④

【答案】A

【分析】此题主要考查了函数图象及其应用，利用数形结合得出小林的运动速度是解题关键．

根据小强步行720米，需要9分钟，进而得出小强的运动速度，利用图象得出小林的运动时间以及运动距离

进而分别判断得出答案．

【详解】解：由图象得出小强步行720米，需要9分钟，

所以小强的运动速度为：72098（0m/分），

当第15分钟时，小林运动159（6分钟），

运动距离为：1580120（0m），

小林的运动速度为：1200620（0m/分），

200802.5（,故②正确）；

当第19分钟以后两人之间距离越来越近，说明小林已经到达终点，则小林先到达少年宫，故①正确；

此时小林运动1991（0分钟），

运动总距离为：10200200（0m），

小强运动时间为：2000802（5分钟），

小强出发25分钟时到达少年宫，故③错误；

由①知小林先到达少年宫，故④错误；

综上，正确的结论有①②，

故选：A．

5．（2025·青海玉树·模拟预测）一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，

设普通列车行驶的时间为x（单位：h）．两车之间的距离为y（单位：km）．图中的折线表示y与x之

间的函数关系．下列结论：①t3.5；②普通列车出发3h与动车相遇；③普通列车行驶4h时，动车到达

1719

终点乙地；④经过h或h两车相距60km，其中正确的是（）

66

A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④

【答案】B

【分析】本题考查一次函数图像的应用，熟练掌握图像相关数据是解题的关键.

折线分三段：第一段两车相向而行，第二段背向而行至动车到达乙地，第三段普通列车行至甲地（动车停

止）．

①t时刻是相遇后两车相距180千米的时刻，用3小时加两车共行驶180千米的时间即可.

②初始时刻y1080，即为两地距离，相遇时两车距离为0，由图像得到相遇时刻；

③全程除以动车速度即为动车到达终点时间；

1719

④设经过xh，两车相距60km，列方程解答验证是否是h或h．

66

【详解】解：由图象可得，

普通列车的速度为：10809120km/h，

动车的速度为：10803120240km/h，

t31801202403.5，故①正确，符合题意；

普通列车出发3h与动车相遇，故②正确；符合题意；

10802404.5h，

即普通列车行驶4.5h时，动车到达终点乙地，故③错误，不符合题意；

设经过xh，两车相距60km，

17

相遇前：120240x601080，得x；

6

19

相遇后：120240x601080，得x；

6

1719

即经过h或h两车相距60km，故④正确，符合题意；

66

故选：B．

题型02一次函数与最大利润问题

6．（2025山东省模拟）随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续出现，图1是机器人警察安安和全

全，他们从街头A处出发，准备前往相距450米的B处（A、B在同一直线上）巡逻，安安警察比全全警察

先出发，且速度保持不变，全全警察出发一段时间后将速度提高到原来的2倍.已知安安警察、全全警察行

走的路程y1（米），y2（米）与安安警察行走的时间x（秒）之间的函数关系图象如图2所示．

(1)如图2，折线①表示______警官行走的路程与时间的函数图象（填“安安”或“全全”）；

(2)求全全警察提速后的速度，并求m、n的值；

(3)求折线①中线段EF所在直线的函数解析式；

(4)全全警察加速后经过几秒追上安安警察．

【答案】(1)全全

(2)全全提速后速度为30米/秒，m31，n45

(3)折线①中线段EF所在直线的函数解析式为y30x480

(4)全全警官加速后经过7秒追上安安警官

【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，一次函数的应用，用待定系数法求一次函数解析式，熟练掌

握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．

（1）根据题意结合图象分析即可得解；

（2）先求出全全提速前速度，从而即可得出提速后速度，计算得出各段经过的时间，即可得解；

（3）利用待定系数法求解即可；

（4）利用待定系数法求OQ所在直线的函数解析式，与EF所在直线的函数解析式联立，求出交点的横坐标，

即可求解．

【详解】（1）解：折线①表示全全警官行走的路程与时间的函数图象，

故答案为：全全；

（2）解：全全提速前速度为30171515（米/秒），

全全提速后速度为15230（米/秒），

EF段经过的时间为450303014（秒），

m141731，

当x31时，安安警官的路程为310米，

安安警官的速度为3103110（米/秒），

n4501045；

（3）解：设折线①中线段EF所在直线的函数解析式为ykxb，

17kb30

将E17,30，F31,450代入得，

31kb450

k30

解得，

b480

折线①中线段EF所在直线的函数解析式为y30x480；

（4）解：设OQ所在直线的函数解析式为ykx，将P31,310代入得31k310，

解得k10，

OQ所在直线的函数解析式为y10x，

y10x

联立，

y30x480

x24

解得，

y240

x24时，全全警官追上安安警官，

24177（秒），

全全警官加速后经过7秒追上安安警官．

7．（2026·山东临沂·模拟预测）文体书店老板到批发市场选购A、B两类书籍共240本，B类书籍的进货单

价比A类书籍进货单价多20元，当购进A类书籍80本时，购进A、B两类书籍共需9200元．

(1)求A、B这两种书籍的进货单价．

(2)若该文体书店每销售1本A类书籍可获利6元，每销售1本B类书籍可获利13元，根据学生需求，书店

老板决定仍购进A、B两类书籍共240本，准备用不超过8600元购进A、B两类书籍，且这两种书籍全部售

出后获利不低于2336元，问该文体书店有哪几种进货方案．

(3)哪种方案能使获利最大，最大获利为多少元？

【答案】(1)A类书籍进货单价为25元，B为45元

(2)有三种方案：A进110本，B进130本；A进111本，B进129本；A进112本,B进128本

(3)A进110本，B进130本能使获利最大，最大获利为2350元

【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，

（1）设A类书籍进货单价为x元，B类书籍进货单价为y元，利用两类书籍的本数和花费费用列方程组求

解；

（2）设进A类书籍m本，B类书箱为(240m)本，利用金额范围及利润列不等式组求解；

（3）列出一次函数关系式，再根据（2）可知结果．

【详解】（1）解：设A类书籍进货单价为x元，B类书籍进货单价为y元，根据题意，得

yx20

，

80x24080y9200

x25

解得，

y45

答：A类书籍进货单价为25元，B类书籍进货单价为45元；

（2）解：设购进A类书籍m本，B类书箱为(240m)本，

6m13240m2336①

，

25m45240m8600②

解：①得，m112，

解：②得，m110，

∴110m112，

∴有三种方案：

1．A进110本，B进130本．

2．A进111本，B进129本．

3.A进112本,B进128本；

（3）解：设获利为w元，根据题意，得

w6m13(240m)7m3120，

∵70，

∴获利w随着m的增大而减小，

当m110时，获利w最大，

当m110时，即240m130，

选第一种方案：

获利1106130132350（元），

所以最大获利为2350元．

8．（2026·云南·模拟预测）请你根据下列素材，完成有关任务．

某校计划购买云南扎染布和民族木雕，用于举办文化展览，增强学生

背景

对云南民族艺术的了解，提升文化自信．

素材一购买3个扎染布与购买4个民族木雕需要的费用相等；

素材二购买3个扎染布和5个民族木雕共需540元；

该校计划购买扎染布和民族木雕共60个，两种物品均需购买，且购

素材三

买民族木雕的个数不超过购买扎染布个数的2倍．

请完成下列任务：

任务一每个扎染布、每个民族木雕的价格分别是多少元？

任务二给出最节省费用的购买方案．

【答案】任务一：每个扎染布80元，每个民族木雕60元；

任务二：当购买扎染布20个、民族木雕40个时，购买的总费用最低，最低总费用为4000元

【分析】本题主要考查二元一次方程组，不等式，一次函数的运用，理解数量关系，正确列式是关键．

任务一：每个扎染布x元，每个民族木雕y元，结合题意列二元一次方程组求解即可；

任务二：设购买扎染布a个，则购买民族木雕60a个，结合题意，列不等式得到a20，设购买总费用

为W，结合一次函数图像的性质即可求解．

【详解】解：任务一：每个扎染布x元，每个民族木雕y元，

3x4y

∴，

3x5y540

x80

解得，，

y60

∴每个扎染布80元，每个民族木雕60元；

任务二：设购买扎染布a个，则购买民族木雕60a个，

∵购买民族木雕的个数不超过购买扎染布个数的2倍

∴60a2a，

解得，a20，

设购买总费用为W，

∴W80a6060a20a3600，

∵200，

∴a越小，W的值越小，

∴当购买扎染布20个时，购买总费用W的最低，此时，购买民族木雕60a602040个，总费用为

W20a3600202036004000元，

∴当购买扎染布20个、民族木雕40个时，购买的总费用最低，最低总费用为4000元．

9．（2026·江苏连云港·模拟预测）某中学开展爱心义卖活动，推出A，B两款帆布袋，深受该校广大师生

喜爱．已知购买2个A款帆布袋和3个B款帆布袋共需31元，购买3个A款帆布袋和2个B款帆布袋共需

34元．

(1)求A，B两款帆布袋的单价分别为多少元．

1

(2)某老师决定购买A，B两款帆布袋共12个，且购进A款帆布袋的数量不少于B款帆布袋数量的．当购

2

买A，B两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？

【答案】(1)A，B两款帆布袋的单价分别为8元和5元

(2)当购买A款帆布袋4个，B款帆布袋8个时，总费用最低，最低费用是72元

【分析】本题主要考查一次函数的应用，二元一次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是列出w与m

的一次函数．

2x3y31

（1）设A，B两款帆布袋的单价分别为x元，y元，根据题意列出方程组，解得即可；

3x2y34

（2）设购买A款帆布袋m件，则购买B款帆布袋12m件，根据题意列不等式，求得m的取值范围，设

总费用为w元，写出w与m的一次函数，再根据一次函数的性质即可作答．

【详解】（1）解：设A，B两款帆布袋的单价分别为x元，y元，

2x3y31

由题意得：，

3x2y34

x8

解得：，

y5

A，B两款帆布袋的单价分别为8元和5元；

（2）解：设购买A款帆布袋m个，则购买B款帆布袋12m个，设总费用为w元，

w8m512m3m60，

30，

w随m的增大而增大．

1

购进A款帆布袋的数量不少于B款帆布袋数量的，

2

1

m12m，

2

m4且m为正整数，

当m4时，w有最小值，最小值为346072，

此时12m1248，

购买A，B两款帆布袋分别为4个和8个时，总费用最低，最低费用为72元．

10．（2025·湖南株洲·三模）【问题背景】

2025年4月23日是第30个“世界读书日”．为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面

积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍．

【素材呈现】

素材一：有A,B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高100元；

素材二：购买3个A种书架和2个B种书架共需要2300元：

1

素材三：A种书架的数量不少于B种书架数量的．

3

【问题解决】

(1)求A,B两种书架的单价；

(2)设购买a个A种书架，购买书架的总费用为w元，试求出总费用最少时的购买方案．

【答案】(1)A种书架的单价为500元，B种书架的单价为400元

(2)总费用最少时的购买方案是购买A种书架5个，B种书架15个

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，正确掌握相关

性质内容是解题的关键．

（1）设A种书架的单价为x元，B种书架的单价为y元，根据有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价

比B种书架单价高100元；购买3个A种书架和2个B种书架共需要2300元；列出二元一次方程组，解方

程组即可；

1

（2）设购买a个A种书架，则购买20a个B种书架，根据A种书架的数量不少于B种书架数量的，

3

列出一元一次不等式，解得a5，再求出w关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问

题．

【详解】（1）解：设A种书架的单价为x元，B种书架的单价为y元，

xy100

依题意，得

3x2y2300

x500

解得

y400

∴A种书架的单价为500元，B种书架的单价为400元

（2）解：设购买a个A种书架，则购买20a个B种书架，

1

∵A种书架的数量不少于B种书架数量的，

3

1

∴a20a

3

解得a5

依题意，购买书架的总费用为w元，

∴w500a40020a100a8000

∵1000

∴w随a的增大而增大

当a5时，w取得最小值，

此时20a20515，

答：总费用最少时的购买方案是购买A种书架5个，B种书架15个．

题型03一次函数与行程问题

11．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）在一条平坦笔直的道路上依次有A、B、C三地，甲车先从C地向

A地匀速行驶，1小时后，乙车从A地出发，先匀速行驶到B地，装货耗时半小时，由于满载货物，为了行

驶安全，速度减少了50千米/时，匀速行驶到C地，结果比甲车晚半小时到达目的地．甲、乙两车距各自出

发地的路程y1（单位：千米），y2（单位：千米）与甲车的行驶时间x（单位：小时）之间的函数图象如

图所示．请结合图象信息解答下列问题：

(1)a的值______；b的值______；甲车的速度为______千米/时；

(2)求乙车减速前的速度，及图象中线段EF的函数解析式；

(3)直接写出乙车出发多少小时与甲车相距220千米．

【答案】(1)5.5；8.5；60

(2)90千米/小时；y240x1405.5x8.5

423

(3)乙车出发小时或小时，与甲车相距220千米

35

【分析】（1）由装货耗时半小时，即可求得a的值；由乙车比甲车晚半小时到达目的地，即可求得b的值，

根据速度路程时间，即可求出甲车的速度；

（2）设乙车减速前的速度，进而表示出减速后的速度，根据乙车的总路程等于480千米列方程求解即可；

分别表示出E，F的坐标，利用待定系数法求解线段EF的函数解析式即可；

（3）根据乙车的三种运动状态，分段讨论，分别根据甲、乙两车的运动路程、道路总长以及两车相距220千

米列方程求解即可．

【详解】（1）解：根据题意得，a50.55.5（小时），

b80.58.5（小时），

480

甲车的速度为：60（千米/小时）；

8

（2）解：设乙车减速前的速度为v千米/小时，则减速后的速度为v50千米/小时，

根据题意可得：51v8.55.5v50480，

解得v90，

乙车减速前的速度为90千米/小时，

4v360，

E5.5,360，

由（1）可知，F8.5,480，

设线段EF的函数解析式为y2kxbk0，

将E5.5,360，F8.5,480代入得，

3605.5kb

，

4808.5kb

k40

解得，

b140

线段EF的函数解析式为y240x1405.5x8.5；

（3）解：甲车的行驶时间x小时，

乙车的行驶时间x1小时，

7

当0x5时，有：60x90x1220480，解得x，

3

4

x1；

3

当5x5.5时，乙车的路程为y2360千米，甲车的路程为560y15.560千米，即300y1330千米，

甲乙两车相距介于30~60千米之间，故不存在相距220千米；

28

当5.5x8.5时，有：60x22048040x140，解得x；

5

23

x1；

5

423

综上，乙车出发小时或小时，与甲车相距220千米．

35

12．（2025·河北唐山·三模）如图，无人机甲和无人机乙同时分别从地面的点A处和楼顶B处起飞竖直上升，

其中点B距离楼顶边缘点D的水平距离为3.5m，从地面点A处测得楼顶端D的仰角为60（点B，D，C，A

在同一平面内）．两架无人机距离地面的高度h（单位：m）与上升时间t（单位：s）之间的函数图象如图

2．

(1)求起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离（结果保留整数，31.73）

(2)求两架无人机距离地面的高度hm与无人机上升的时间ts之间的函数关系式；

(3)求一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过45的时长．

【答案】(1)15m

(2)h甲8t，h乙4t20

(3)7.5s

【分析】本题主要考查解直角三角形及一次函数的应用，掌握求一次函数的解析式是解题的关键．

（1）根据在Rt△ACD中，DAC60，CD20m，求出结论即可；

（2）用待定系数法分别求出表达式即可；

（3）首先得出当两架无人机垂直距离为15m时，下面的一架无人机观察另一架无人机的仰角刚好45，即

h甲h乙15，解出t的值，求出范围即可．

【详解】（1）解：由题意得：在Rt△ACD中，DAC60，

由图（2）知：无人机乙刚起飞时离地面的高度CD20m，

CD

tanDACtan603，

AC

20

AC11.6m，

3

∴起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离为3.511.615m；

（2）解：由图（2），设无人机甲距离地面的高度hm与无人机上升的时间ts之间的函数关系式为hk1t，

把5,40代入，则405k1，

解得：k18，

h甲8t；

设无人机乙距离地面的高度hm与无人机上升的时间ts之间的函数关系式为hk2tb，

20b

把5,40,0,20代入，则，

405k2b

b20

解得：，

k24

h乙4t20；

（3）解：∵起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离为15m，

∴当两架无人机垂直距离为15m时，下面的一架无人机观察另一架无人机的仰角刚好45，

即h甲h乙15，

8t4t2015，

解得：t1.25或t8.75，

8.751.257.5s，

∴一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过45的时长为7.5s．

13．（2025·江苏苏州·二模）小西和小傅在跑步机上慢跑锻炼．小西先跑，10分钟后小傅才开始跑，小傅跑

步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小西与小傅的跑步相关信

息如表所示，跑步累计里程s（米）与小西跑步时间t（分）的函数关系如图所示．

里程分

时间速度档跑步里程

段

小

16:00~16:50不分段A档4000米

西

第一段B档1800米

第一次休息

小

16:10~16:50第二段B档1200米

傅

第二次休息

第三段C档1600米

(1)求A，B，C各档速度（单位：米/分）；

(2)小傅第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值；

(3)若小傅第一次休息时间是第二次时间的4倍，那么t多少时，小西和小傅跑步累计里程相差520米．

【答案】(1)A，B，C各档速度80米/分、120米/分、160米/分

(2)a42.5

(3)小西和小傅跑步累计里程相差520米时，t为6.5，17，29或49

【分析】本题主要考查一次函数的应用，读懂图中的数据是解题的关键．

（1）由小西的跑步里程及时间可得A档速度，再根据B档比A档快40米/分、C档比B档快40米/分，即可

得出答案；

（2）结合图象求出小傅每段跑步所用时间，再根据总时间求出小傅休息的时间，此时小丽在跑第三段，所

跑时间为a40分，列方程求出a的值即可；

（3）先求出小傅第一次休息时间为4分钟，第二次休息时间为1分钟，然后分为6种情况，根据里程差列

一元一次方程解答即可．

【详解】（1）解：由题意可知，A档速度为40005080(米/分)，

则B档速度为8040120(米/分)，

C档速度为12040160(米/分)，

答：A，B，C各档速度80米/分、120米/分、160米/分；

（2）小傅第一段跑步时间为180012015(分)，

小傅第二段跑步时间为120012010(分)，

小傅第三段跑步时间为160016010(分)，

则小傅两次休息时间的总和为50101510105(分)，

∵小傅第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，

∴此时小傅在跑第三段，所跑时间为a1015105a40(分)，

∴80a3000160a40，

∴a42.5；

（3）解：∵小傅第一次休息时间是第二次时间的4倍，

∴第一次休息时间为4分钟，第二次休息时间为1分钟，

当0t10时，80t520，解得t6.5；

当10t25时，80t120t10520，解得：t17；

当25t29时，80t1800520，解得：t29；

当29t39时，80t1800120t29520，解得：t29（舍去）；

当39t40时，80解得：t44（舍去）；

当40t50时，|80t3000160a40|520，解得：t36（舍去）或t49；

综上所述，小西和小傅跑步累计里程相差520米时，t为6.5，17，29或49．

14．（2025·山西忻州·模拟预测）【函数图象分析】阅读以下素材，完成相应的任务．

判断车辆是否因超速被罚款

我国高速公路上的隧道通常限速80千米/时，在隧道前会有一个提示牌及限速标志，

背

在提示牌与隧道口之间会有雷达测速仪进行两次测速，且测速时有闪光提示，根据

景

规定，若平均车速超速20%以上未达到50%，将处以200元以内罚款

如图1，当物体做匀减速运动时，在其速度v关于时间t的函数图象中，函数图象与

横轴以及直线tt1，tt2所围成的图形（如图的阴影部分）面积等于物体从t1到t2

1

素这个时间段的运动距离s，即svvtt

21221

材

一

素雷达测速仪安装在车辆前进方向的路上，根据短时间的两次测速（均有闪光提示），

材测出两个时刻车辆和雷达测速仪之间的距离，再用距离差除以两次测速的时间差，

二算出这段路程的平均车速

素某车以126千米/时的速度驶来，到达限速标志位置（隧道前600米）时开始匀减

材速，从开始减速到车头进入隧道口用了20秒，其速度v关于时间t的函数图象如图

三2所示，t1和t2是两次雷达测速的时间（已知速度1米/秒3.6千米/时）

问题解决：

(1)直接写出该车进入隧道口时的速度为________米/秒．

(2)如图2，当第一次闪光时，车速已经降到了108千米/时，求时间t1．

(3)在（2）的条件下，从第一次闪光后到第二次闪光