合肥市“校集团”2026届高三下学期数学第一次模拟考试（解析版）

合肥市“校集团”2026届高三下学期数学第一次模拟考试参考答案（考试时间：120分钟满分：150分）一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【详解】由题知，，则，故．故选：B．2.【答案】D【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是特称量词，改量词否定结论.所以命题“，”的否定为“，”.故选：D.3.【答案】A【详解】设，则，.原不等式可化为：.因为，所以，.当时，，所以在恒成立，所以；当时，，所以成立；当时，，所以在上恒成立，所以.综上可得：.故选：A4.【答案】A【详解】因为为等差数列，设公差为.则，，所以.所以.故选：A5.【答案】D【详解】，由，得，则，即；6.【答案】C【详解】如图所示，取中点，中点，连接，，，，由是等边三角形，是等腰直角三角形，，则，，，又，，，，平面，所以平面，所以平面平面，平面平面，平面平面，又平面，且平面，平面平面，所以，又平面平面，且平面平面，平面平面，所以，则作出平面如图所示，设，则，所以，又，，则，由，所以，，，设过点作与，分别交于点，，则即为两平面间距离，，故选：C.7.【答案】C【详解】因为，，显然、、、均不为，所以，即，所以，所以因为向量与向量互相垂直，所以，则，又，解得.故选：C8.【答案】B【详解】如图，，解得，所以，因这样的点有且仅有一个，由图知此时，则圆心到直线的距离为6，即，化简得，其中，，则，，所以，即，则直线的斜率为，所以直线，即，联立，解得，即，因的中点坐标为，且，则以为直径的圆的方程为，整理得，易知直线是圆与以为直径的圆的公共弦所在直线，将两圆的方程相减得，故直线的方程为.故选：B.二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】BD【详解】由题意知，解得，故A错误；观众年龄的众数估计是，故B正确；估计这10000名观众年龄的平均数为，故C错误；前3组的频率之和为，前4组的频率之和为，故第70百分位数位于第4组，设其为，则，解得，即第70百分位数为38，故D正确．故选：BD10.【答案】ABC【分析】A选项，写出展开式的通项公式，得到，求出的系数；B选项，第3项和第4项的二项式系数均为10；C选项，所有项的二项式系数和为；D选项，赋值法得到所有项的系数和.【详解】A选项，展开式第项，时，，A对；B选项，第3项二项式系数为，第4项的二项式系数为，两者相同，B对.C选项，所有项的二项式系数和为，C对.D选项，时，，即所有项的系数和为，D错；故选：ABC11.【答案】ACD【分析】根据题意，由线面垂直的判定定理可得平面，平面，即可求解AB，结合线面角以及面面角的几何角，利用三角形的边角关系即可求解CD.【详解】对于A，由题意可得，，，由题意可知是的中点，连接，又，，所以，，平面，故平面，平面，故，A正确，对于C，由于，，则，所以，又，平面，所以平面，故为直线与平面所成角，，故，故C正确，对于D，过作于，连接，由于平面，平面，故，又平面，故平面，因为平面，故，故为平面与平面的夹角，由等面积法可得，又，故，故，D正确，对于B，由于平面，而平面，且与平面不平行，故平面与平面不垂直，故B错误，故选：ACD三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分12.【答案】2【详解】因为，由正弦定理，可得，所以，又因为，所以，所以，又由正弦定理，可得，即因为，所以.13.【答案】【详解】将这个小球编号如下图所示：分以下两种情况讨论：第一种，第一步，先取、、号球，第二步，再取、、号球依次取个球，最后一步，从剩余两球依次摸取，此时不同的抽法种数为种；第二种，将、、视为三个整体，前三个球从其中一个整体和每支不与号球相邻的小球中依次摸取，有种，以、、为例，可依次为、、，共种，剩余、、、号球，先从、号球中摸一个，有种情况，比如先取号球，剩余三个相邻的小球，接下来从、号球中取一个，有种情况，最后剩余两球摸取的先后顺序任意，此时，不同的取法种数为.综上所述，不同的取法种数为种.故答案为：.14.【答案】【详解】由斐波那契数列规律可知，集合中的元素有675个偶数，1350个奇数，记A中所有偶数组成的集合为C，所有奇数组成的集合为D，集合C的子集为E，集合D中含有奇数个元素的子集为F，则所有元素之和为奇数的集合B，可看成，显然集合E共有个，集合F共有个，所以所有元素之和为奇数的集合B共有个，又集合A的非空子集共有个，所以B中所有元素之和为奇数的概率为.故答案为：.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）【答案】(1)(2)【详解】（1）由正弦定理可得，即，因为，所以，又，即，展开可得，即，即，又，所以，且，所以为等边三角形，则.（2）由正弦定理可得，又因为为锐角三角形，则，解得，则，其中，所以，所以的周长.16.（15分）【答案】(1)分布列见解析，，(2)，参赛者获胜的概率不受摸球先后顺序的影响【详解】（1）在甲先摸球的情况下，记甲摸到的三种颜色的球的数量由多到少分别为，则，且可能的取值有，则，，，故的分布列为123.在甲先摸球的情况下，记乙摸到的三种颜色的球的数量由多到少分别为，则，且可能的取值有，则故的分布列为123.（2）在甲先摸球的情况下，由题意，.则，即先摸球和后摸球获胜的概率一样，故参赛者获胜的概率不受摸球先后顺序的影响.17.（15分）【答案】(1)证明见解析(2)．【详解】（1）证明：取的中点G，连交AF于H.在正方形中，由于F为的中点，可得，则，因为，所以，得到，即因为平面，所以平面，又平面，故由于平面平面，平面平面，，故平面，又平面，则.因为，平面，所以平面，又因为平面，则，又点G是的中点，故.（2）由于圆O的半径为，则正方形的边长为2，又，则.以O为坐标原点，过点O作平行的直线分别为x轴，y轴，所在的直线为z轴建立如图空间直角坐标系.则，易求上底面圆的半径为1，故.故，，.设平面的法向量为，由，得取，，故，设与平面所成角为，则，，令得，，所以在上单调递增，故.所以与平面所成角正弦值的最大值为．18.（17分）【答案】(1)(2)①；②【详解】（1）的圆心为，半径，因为点在线段的垂直平分线上，所以，由题意，点在线段的延长线或反向延长线上，所以，所以动点在以、为焦点的双曲线上，设双曲线方程为，则，，所以，所以点的轨迹方程，即曲线的方程为；（2）①设，，，则，所以，即，即，因为关于直线对称，所以，所以，即，因为，所以，所以；②依题意直线的斜率存在，设其方程为，由，整理得，由，所以，则，，所以，则，因为，所以，所以，所以，，在中，，又均在轴的右侧，所以，解得，所以，所以，所以，所以，即的取值范围为.19.（17分）【答案】(1)答案见解析(2)（i）（ii），证明见解析【详解】（1）因为的定义域为，所以，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递增，，在上单调递减，综上所述，当时，在上单调递增，当时，在上单调递