1.5 角平分线 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

1.5角平分线第一章三角形的证明及其应用第1课时:角平分线的性质与判定学习目标1.重点:理解并运用角平分线的性质定理.2.难点:探索并证明角平分线的判定定理.什么叫做角平分线?定义回顾OABC))观察:如图,已知∠AOB=∠AOC+∠BOC,∠AOC=∠BOC,则我们可以得出这样的结论:∠AOB被射线OC平分成了两个相等的角.即射线OC是∠AOB的平分线.从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个完全相等的角,那么这条射线就叫做这个角的角平分线.注意:角平分线是一条射线,而垂直平分线是一条直线.新课导入如图,射线OC平分∠AOB.P1,P2,P3,…是OC上的点.分别作①P1E⊥OA,P1F⊥OB;②P2H⊥OA,P2K⊥OB;③P3M⊥OA,P3N⊥OB.试猜想每一组的两条垂线之间具有怎样的数量关系?P1E____P1FP2H____P2KP3M____P3NOABCP2HKP3MNP1EF＝＝＝猜想:角平分线上的点,到这个角两边的距离相等.已知:如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证:PD=PE.性质证明OABC))12PDE证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°,∵OC是∠AOB的平分线,∴∠1=∠2,又∵PO=PO,∴△PDO≌△PEO(AAS),∴PD=PE.角平分线上的点,到这个角两边的距离相等.性质学习角平分线的性质定理:应用格式:角平分线上的点,到这个角两边的距离相等.(垂直距离)∵∠1=∠2,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE.OABC))12PDE注意:这里的"距离"必须是垂直距离.小试牛刀1.判断下列结论是否正确:(1)如右图,已知AD平分∠BAC,则BD=CD.BADCBADC(2)如右图,已知AD平分∠BAC,且BD⊥AB,CD⊥AC,则BD=CD.注意:这里的"距离"必须是垂直距离.2.如图,AM是∠BAC的平分线,点P在AM上,PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别是D,E,PD=4cm,则PE=______cm.4温馨提示:存在两条垂线——直接应用小试牛刀ABCMPDEABCP3.如图,在Rt△ABC中,AC=BC,∠C＝90°,AP平分∠BAC交BC于点P,若PC＝4,AB=14.则点P到AB的距离为_______.D4温馨提示:只有一条垂线——构造应用小试牛刀角平分线上的点,到这个角两边的距离相等.OABC))12PDE逆命题在一个角的内部,到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.你能写出角平分线性质定理的逆命题吗?它是真命题吗?请证明你的结论.尝试·思考已知:如图,点P为∠AOB内的一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,且PD=PE.求证:OP平分∠AOB.定理证明OAB))12PDE证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠ODP=∠OEP=90°,∵PD=PE,OP=OP,∴Rt△DOP≌Rt△EOP(HL),∴∠1=∠2,∴OP平分∠AOB.在一个角的内部,到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.角平分线的判定定理:应用格式:OAB))12PDE定理学习在一个角的内部,到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE,∴OP是∠AOB的平分线,∴∠1=∠2.4.如图,已知∠DPO=60°,PD⊥OA,PE⊥OB,且PD=PE,则(1)∠EOP=______,∠AOB=______;(2)若OP=4,OE=,则S△POE=______.小试牛刀OABCPDE30°60°例1如图,在△ABC中,∠BAC=60°,点D在BC上,AD=10,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE=DF,求DE的长.ABCDEF例题讲解证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,DE=DF,∴AD是∠BAC的平分线,又∵∠BAC=60°,∴∠BAD=30°,在Rt△ADE中,∠AED=90°,AD=10,比较学习角平分线与中垂线的区别:1.性质定理:角平分线上的点:到"边"的距离相等.中垂线上的点:到"点"的距离相等.OABCPDE角平分线的"距离"必须是垂直距离.2.判定定理:CPABD判定角平分线:只需要一个点.判定中垂线:需要两个点.原理:两点确定一条直线.探究新知用"尺规作图"作角平分线:OAB③连接OC,OC即为∠AOB的平分线.①以O为圆心,以任意长度为半径画弧,记交点为D,E;DE②分别以D,E为圆心,以大于

DE为半径画弧,记交点为C;))C随堂练习A区P1.如图,一目标在A区,到公路,铁路的距离相等,离公路与铁路的交叉处500m,在图上标出它的位置(比例尺1:20000).))解:如图所示,点P即为所求.分析:先作角平分线,再用尺子量2.5cm.习题1.51.已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.求证:EB=FC.ABCDEF证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°,又∵AD是∠BAC的平分线,∴DE=DF,又∵BD=CD,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),∴EB=FC.习题1.57.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,作AB的垂直平分线,交AB于点D,交AC于点E.求证:BE平分∠ABC.ACEBD证法①:∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°,∵DE是AB的垂直平分线,∴BE=AE,∴∠ABE=∠A=30°,∴∠CBE=60°-30°=30°,∴∠ABE=∠CBE,∴BE平分∠ABC.习题1.57.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,作AB的垂直平分线,交AB于点D,交AC于点E.求证:BE平分∠ABC.ACEBD证法②:∵∠C=90°,∠A=30°,∵DE是AB的垂直平分线,∴BC=BD,又∵BE=BE,∴Rt△BCE≌Rt△BDE(HL),∴∠CBE=∠DBE,∴BE平分∠ABC.习题1.58.如图,在∠AOB内部求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB两边的距离相等.OBACD温馨提示:作线段CD的垂直平分线,再作∠AOB的角平分线,两者相交于一点,该点即为点P.)))))))P加餐训练1.如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外角平分线,它们有什么关系?ABCDFE解:AD⊥AE,理由如下:∵∠CAB+∠CAF=180°,又∵AD平分∠CAB,AE平分∠CAF,∴∠CAD+∠CAE=90°,∴AD⊥AE.∴C△PDB=BD+DP+BP=BD+PC+BP=BD+BC=BD+AD=AB=14.ABCPD┑解:(1)∵AP平分∠BAC,PD⊥AB,∠C＝90°,∴DP=PC=4,又∵AB=14,(2)∵DP=PC,AP=AP,∴Rt△ADP≌Rt△APC(HL),∴AD=AC,又∵AC=BC,∴AD=BC,2.如图,在Rt△ABC中,AC=BC,∠C＝90°,AP平分∠BAC,交BC于点P,PD⊥AB.若AB=14,PC＝4:(1)求△APB的面积;(2)求△PDB的周长.3.如图,已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点