2025~2026学年江苏省宿迁市沭阳如东中学新高一上学期选拔性考试数学试卷

2025~2026学年江苏省宿迁市沭阳如东中学新高一上学期选拔性考试数学试卷一、单选题1.已知关于的方程无解，有两个解，只有一个解，则的化简结果是（）

A．0B．C．D．2.若，则下列结论正确的是（）

A．B．C．D．3.如图，在平面直角坐标系中，已知，，，将绕点旋转至位置，且为的中点，在反比例函数上，则的值为（）

A．B．C．D．4.已知，是正数，且，则的最小值是（）

A．B．C．D．5.如图，是半圆的直径，点，在半圆上，，连接，，，过点作，交的延长线于点.设的面积为，的面积为，若，则的值为（）

A．B．C．D．6.如图，矩形中，，，点为边的中点，点为边上的一个动点，连接，，当的度数最大时，线段的长度为（）

A．B．2C．D．二、填空题7.若一个整数能表示成（、为整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：因为，所以是一个完美数.已知（、是整数，是常数），若对于任意整数，均为“完美数”，则的值为__________.8.不等式组的解集为__________.9.如图，在中，已知，于点，且，，则的长为__________.10.若且，则的取值范围为__________.11.某蔬菜基地有甲，乙两个用于灌溉的水池，它们的最大容量均为3000，原有水量分别为1200，300，现向甲、乙同时注水，直至两水池均注满为止.已知每分钟向甲、乙的注水量之和恒定为100，当其中某一水池注满，则停止向该水池注水，改为向另一水池单独注水.若每分钟向甲注水，且甲比乙提前3注满，则的值为___________.12.如图，在中，，分别为边，上的点，若，，则_____________.三、解答题13.设，，是三个互不相等的非零实数，且满足，.求代数式的值.14.当k取什么值时，一元二次不等式对一切实数x都成立.15.已知：如图，在中，，为边上一点，且.求证：.16.如图，在等腰中，，，分别为，上的高，记.我们可以从下面的两个视角探求的面积.视角1：；视角2：.由此我们可以得到恒等式.请根据该恒等式完成下面的问题：(1)已知为锐角，且，求的值；(2)求的值；(3)我们把上面得到恒等式的方法叫做“等积法”，我们常常用“等积法”来证明一些数学结论.如图，是锐角三角形，，，的对边分别为，，，请尝试用“等积法”证明：.17.随着季节的交替，某城市的太阳高度角（太阳的光线与地平面的夹角）不断变化，冬至正午时太阳高度角最小，约为35°.如图1，朝南房间窗户高2m，在窗户上方外墙上安装了一个可调节的遮阳棚，遮阳棚一端与窗户顶端距离m，长度调节范围为mm，角度调节范围为.(1)如图2，冬至正午时，若m，，求窗户上的影长（精确到0.01m）；(2)画出图形，计算并判断冬至正午时遮阳棚能否完全遮住窗户上的阳光.（参考数据：，，）18.如图1，锐角内接于，为的中点，连接并延长交于点，连接，，过作的垂线交于点，点在上，连接，，若平分且.(1)求的度数；(2)若，求的值；(3)如图2，当点恰好在上，且时，求的长.19.已知函数.(1)当时，设表示的最小值，求的最大值；(2)若该函数的图象与轴交于，两点，且.证明：或；(3)若该函数图象的顶点为，与轴交于点，点为该函数图象上一点，点为轴正半轴上一点，线段与线段交于点.当，时，求点的横坐标.20.如图，在等边中，于点，为线段上一动点（不与，重合），连接，，将绕点顺时针旋转60°得到线段，连接.(1)如图1，求证：；(2)如图2，连接交于点，连接，，与所在直线交于点，