问题解决策略转化

第五章图形的轴对称★问题解决策略：转化

转化数学思想是数学问题解决中的核心策略，它涉及将复杂的、

未知的或抽象的数学问题转化为更简单、已知或具体的形式.这种思想基于

对数学概念和原理的深入理解，通过变换、类比、归纳等方法，将问题简化

或重构，使之更加易于处理和理解.【例】（根据教材第136页问题改编）【问题呈现】如图，甲、乙两个居民楼在一条道路的同一侧，要在道路旁建一个快递自助

取货柜.你认为自助取货柜应建在什么地方，才能使甲、乙两个居民楼到它

的距离之和最短？【数学理解】如果把居民楼和快递自助取货柜的位置都看作点，把道路看作一条直线，那

么就可以把上述问题抽象成数学问题：如图，在直线上找一点C，使

⁠

最短.CA

＋CB【回顾思考】（1）你以前遇到过类似的问题吗？关于“最短”，你已有的认识是

⁠

⁠.（2）相信你能解决以下问题：如图，直线l的两侧分别有A，B两点，在直

线l上确定一个点C，使AC＋BC最短.请在图中标注点C.

两点

之间线段最短（答案不唯一）解：如图1，点C即为所求.【能力迁移】（3）如图，四边形EFGH是一个长方形的台球桌，有黑、白

两球分别位于A，B两点.怎样撞击黑球，能使黑球先碰撞台边GH，反弹后

再碰撞台边EF，最后击中白球？请你认真思考，将黑球移动的路线画在图

上（保留作图痕迹），并说明理由.解：如图2，黑球移动的路线：A→M→N→B.

理由合理即可.

（1）如图，在“4×4”的正方形网格中，已有2个小正方形被涂

灰.请你分别在下面2张图中再将若干个空白的小正方形涂灰，使得涂灰的图

形成为轴对称图形.（图1要求只有1条对称轴，图2要求只有2条对称轴）解：如图1，2所示.（画法不唯一）（2）如图3，A，B为直线MN外两点，且到MN的距离不相等.分别在MN

上求一点P，并满足如下条件：①在图3中求一点P使得PA＋PB最小；②在图4中求一点P使得｜PA－PB｜最大.（不写作法，保留作图痕迹）解：①如图3所示，点P即为所求.②如图4所示，点P即为所求.

1.

如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C在小

正方形的顶点上.（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C'，点A'，B'，C'分

别为点A，B，C的对应点；解：（1）如图，△A'B'C'即为所求.1.

如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C在小

正方形的顶点上.（2）在直线l上找一点P，使得PA＋PB的长最小；解：如图，连接AB'交直线l于点P，连接BP，此时PA＋PB＝PA＋PB'＝

AB'，值最小，则点P即为所求.1.

如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C在小

正方形的顶点上.（3）求出△ABC的面积.

2.

（2025·上海市月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，面积是

20，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若D为BC边的中

点，M为线段EF上一动点，则△CMD的周长的最小值为

⁠.93.

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C在直线MN上，

∠BCN＝28°，点P为MN上一动点，连接AP，BP.

当AP＋BP的值最小

时，∠CAP的度数为

⁠°.174.

（教材第138页第4题）如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON

上作点A，B，使△PAB的周长最小.解：如图所示.

5.

如图，在△ABC中，∠ABC＝66°，BD平分∠ABC，P为线段BD上一

动点，Q为边AB上一动点，当AP＋PQ的值最小时，∠APB的度数

是

⁠.123°参考答案【新课导学】【例】

【数学理解】CA＋CB【回顾思考】（1）两点之间线段最短（答案不唯一）（2）如图1，点C即为所求.【能力迁移】（3）如图2，黑球移动的路线：A→M→N→B.

理由合理即可.对点训练

解：（1）如图1，2所示.

（画法不唯一）（2）①如图3所示，点P即为所求.②如图4所示，点P即为所求.【随堂小测】1.

解：（1）如图，△A'B'C'即为所求.