微专题1方程思想在勾股定理中的运用

第二十章勾股定理微专题1方程思想在勾股定理中的运用类型

单勾股列方程导语：此类型常见于折叠类，秋千类试题，其关键在于已知直角三角形一边和另两边的关系，利用勾股定理列方程即可．例1图1是一架秋千的侧面示意图，AB为秋千在静止位置时，下端B到地面的距离OB为0.6m，当秋千荡到AC的位置时，下端C到地面的距离CD为1.4m，与静止位置的水平距离CH为2.4m，求秋千AB的长．图1解：由题意，得OH＝CD＝1.4.∴BH＝OH－OB＝1.4－0.6＝0.8.设AB＝xm，则AC＝xm，AH＝（x－0.8）m.在Rt△ACH中，根据勾股定理，得AH2＋CH2＝AC2，即（x－0.8）2＋2.42＝x2.解得x＝4.答：秋千AB的长为4m.图1训练

1.如图2，某数学兴趣小组在测量学校旗杆的高度时发现：旗杆上升旗用的绳子（一端在旗杆顶部）的长度比旗杆的高度多1m，当把绳子的下端拉开5m后，下端C刚好接触地面，且绳子处于绷直状态，求旗杆AB的高度．图2解：设旗杆AB的高度为xm，则绳长为（x＋1）m.由题意，得∠ABC＝90°，BC＝8m，AB＝xm，AC＝（x＋1）m.在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2，即x2＋52＝（x＋1）2.解得x＝12.答：旗杆AB的高度为12m.图22.如图3，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，AC＝5cm，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，求CE的长．图3由折叠的性质，得AE＝CE.设AE＝CE＝xcm，则BE＝（4－x）cm.在Rt△ABE中，根据勾股定理，得AB2＋BE2＝AE2，即32＋（4－x）2＝x2.类型

双勾股列方程导语：若题干中含有两个直角三角形，且两个直角三角形有等边或者共边关系，可利用其等量关系列方程求解．例2如图4，在△ABC中，AB＝17，BC＝9，AC＝10，求△ABC的面积．图4答图1解：如答图1，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D.在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AB2－BD2＝AD2.在Rt△ACD中，根据勾股定理，得AC2－CD2＝AD2.∴AB2－BD2＝AC2－CD2.设CD＝x，则BD＝BC＋CD＝9＋x.∴172－（9＋x）2＝102－x2.解得x＝6.训练

3.如图5，在笔直的铁路上A，B两点相距20km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，AD＝8km，BC＝12km，现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到中转站E的距离相等，则中转站E应建在距点A多远处？图5解：在Rt△ADE中，根据勾股定理，得AD2＋AE2＝DE2.在Rt△BEC中，根据勾股定理，得BC2＋BE2＝CE2.设AE＝xkm，则BE＝（20－x）km.∵C，D两村到中转站E的距离相等，∴DE＝CE，即DE2＝CE2.∴AD2＋AE2＝BC2＋BE2，即82＋x2＝122＋（20－x）2.解得x＝12.答：中转站E应建在距点A12km处．图54.如图6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为ts，当t为何值时，△ABP为直角三角形？图6由题意知BP＝2t.①如答图2，当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4，即2t＝4，t＝2.解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，根据勾股定理，得BC2＝AB2－AC2＝52－32＝16.∴BC＝4.答图2②如答图3，当∠BAP为直角时，BP＝2t，CP＝2t－4，AC＝3.答图3在Rt△ACP