命题点11锐角三角函数及其应用

第四章三角形课标要求①利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sin

A，cos

A，

tan

A)，知道30°，45°，60°角的三角函数值；②能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际

问题；③在平面上，运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置.命题点11锐角三角函数及其应用要点归纳

1.

锐角三角函数如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A为Rt△ABC的一个锐角，则

2.

特殊角的三角函数值α三角函数30°45°60°

sin

α

cos

α

tan

α

1

90°sin

B

(5)解直角三角形的技巧：在解直角三角形时，当所求元素不在直角三角形中时，通常作辅助线构

造直角三角形，利用勾股定理或三角函数求出要求的线段长或角度，或

通过已知直角三角形中的元素进行等量代换来求解.4.

锐角三角函数的实际应用(1)方向角：从某个观测点看物体，视线与正北(或正南)方向射线的

夹角.注意：描述方向角应先南(北)后东(西)，如图，在O点观测A，B，C，D四个点，分别在北偏西30°、北偏东60°、南偏东30°、南偏西60°.(2)如图，俯角、仰角：视线在水平线上方的角叫作仰角，视线在水平线下方的角叫作俯角.

(4)解直角三角形的实际应用题的解题步骤：①审题：画出正确的平面图或截面示意图，并通过图形弄清楚已知量和

未知量.②构造直角三角形：“化斜为直”是解决此类问题的关键.添加适当的

辅助线，将斜三角形化为两个直角三角形.③列关系式：根据直角三角形(或通过作垂线构造的直角三角形)元素

(边、角)之间的关系解直角三角形.④检验：解题完毕后，可能会存在一些较为特殊的数据，如含有复杂的

小数等，因此要特别注意所求数据是否符合实际意义，同时还要注意结

果有无精确度的要求.5.

测量物体高度的常见三角函数模型(1)利用水平距离测量物体的高度(h)：数学模型应测数据数量关系背靠背型

α，β，水平距离atan

α＝

⇒x1＝

，tan

β＝

⇒x2＝

，由x1＋x2＝a可求得h母子型

tan

α＝

⇒x＋a＝

，①tan

β＝

⇒x＝

，②由①－②＝a可求得h(2)测量底部可以到达的物体的高度(h)：数学模型应测数据数量关系一般型

测角仪高a1，

水平距离a2，

仰角αtan

α＝

，由此可求得h背靠背型

仰角α，俯角β，水平距离atan

α＝

⇒h1＝a·tan

α，tan

β＝

⇒h2＝a·tan

β，由h1＋h2＝h即可求得h(3)测量底部不可到达的物体的高度(h)：数学模型应测数据数量关系背靠背型

仰角α，俯角

β，高度atan

α＝

⇒x＝

，①tan

β＝

⇒x＝

，②由①＝②可得h1，进而可得h数学模型应测数据数量关系母子型

仰角α，仰角

β，测角仪的高

度a1，水平距

离a2tan

α＝

⇒a2＋x＝

，①tan

β＝

⇒x＝

，②由①－②＝a2可求得h1，则h＝h1＋a1

仰角α，仰角

β，高度atan

α＝

⇒x＝

，①tan

β＝

⇒x＝

，②由①＝②可得h数学模型应测数据数量关系母子型

俯角α，俯角

β，高度atan

α＝

⇒x＝

，①tan

β＝

⇒x＝

，②由①＝②可得h命题点11锐角三角函数及其应用随堂检测

1.

如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别

为a，b，c，则(

B

)A.

c＝b

sin

BB.

b＝c

sin

BC.

a＝btan

BD.

b＝ctan

BB2.

如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC

的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin

∠BAC的值为(

D

)A.

B.

C.

D.

D3.

(2024长春)2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷

神星一号火箭在黄海海域成功发射.当火箭上升到点A时，位于海平面

R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海

平面的高度AL为(

A

)A.

a

sin

θ千米B.

千米C.

a

cos

θ千米D.

千米A

∴12次操作循环一周，∵4

048÷12＝337……4，∴∠AOA4

048＝120°，

5.

(2025吉林中考)综合与实践：确定建筑物的3D打印模型的高度项目提

出：如图是某城市规划展览馆.树人中学的3D打印社团为展示城市文

化，准备制作该城市规划展览馆的3D打印模型，需要测量并计算展览馆

高度，为制作3D打印模型提供数据.项目分析活动目标测量该城市规划展览馆的实际高度并换算其

打印模型的高度测量工具测角仪、皮尺项目报告表

时间：2025年5月29日项目实施任务一测量数据以下是测得的相关数据，并画出了如图所示的测量草图.①测出测角仪的高CD＝1.4

m；②利用测角仪测出展览馆顶端A的仰角

∠ACE＝61°；③测出测角仪CD底端D处到展览馆AB底端

B处之间的距离DB＝42

m.项目实施任务二计算实际高度根据上述测得的数据，计算该城市规划展览

馆AB的高度.(结果精确到1

m)(参考数据：

sin

61°＝0.875，cos

61°＝0.485，tan

61°＝1.804)任务三换算模型高度将该城市规划展览馆AB的高度按1∶400等比例缩小，得到其3D打印模型的高度约为

cm.(结果精确到1

cm