第12节二次函数的图象与性质

第12节二次函数的图象与性质一、二次函数的定义一般地，形如y＝_________________

(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫作y关于x的二次函数．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．ax2＋bx＋c解析式y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)图象a＞0a＜0

图象特征开口向上开口向下顶点坐标___________________增减性在对称轴左侧，y随x的增大而_________；在对称轴右侧，y随x的增大而_________在对称轴左侧，y随x的增大而_________；在对称轴右侧，y随x的增大而_________减小增大增大减小三、二次函数的图象与系数a，b，c的关系

项目字母字母的符号图象的特征aa>0开口向上a<0开口向下bb＝0对称轴为y轴ab>0(a与b同号)对称轴在y轴左侧ab<0(a与b异号)对称轴在y轴右侧

项目字母字母的符号图象的特征cc＝0经过原点c>0与y轴正半轴相交c<0与y轴负半轴相交b2－4acb2－4ac＝0与x轴有唯一交点(顶点)b2－4ac>0与x轴有两个交点b2－4ac<0与x轴没有交点四、二次函数解析式的确定1．解析式的三种形式(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)．(2)顶点式：_____________________

(a是常数，a≠0)，(h，k)为顶点坐标．(3)交点式：_________________

(a是常数，a≠0)，x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐标．y＝a(x－h)2＋ky＝a(x－x1)(x－x2)2．待定系数法求解析式的步骤(1)设：巧设二次函数的解析式．(2)代：根据已知条件，得到关于待定系数的方程(组)．(3)解：解方程(组)，求出待定系数的值，从而得到二次函数的解析式．五、二次函数图象的平移1．平移的步骤(1)将抛物线解析式转化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，确定其顶点坐标．(2)保持抛物线的形状不变，平移顶点坐标(h，k)即可．2．平移的规律六、二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系1．二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．2．二次函数与一元二次不等式的关系(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象位于x轴上方部分对应自变量的取值范围．(2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象位于x轴下方部分对应自变量的取值范围．×1．判断下列说法正误，正确的画“√”，错误的画“×”．(1)函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数)是二次函数．(

)(2)当函数y＝(a－1)xa2＋1＋2x＋3是二次函数时，a＝±1．(

)(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，当x＞2时，y随x的增大而增大，故其图象的对称轴为直线x＝2．(

)××2．若y＝(m＋1)xm2－m是二次函数，则m的值为(

)A．2 B．－1C．－1或2 D．以上都不对√3．把y＝(x＋2)2－1的图象先向左平移h个单位长度，再向下平移k个单位长度，得到y＝(x＋3)2－4的图象，则h和k的值分别为(

)A．1，3 B．3，－4C．－1，3 D．－3，－3√4．(2023·甘孜州)下列关于二次函数y＝(x－2)2－3的说法正确的是(

)A．图象是一条开口向下的抛物线B．图象与x轴没有交点C．当x<2时，y随x的增大而增大D．图象的顶点坐标是(2，－3)√5．(2024·广东)若点(0，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在二次函数y＝x2的图象上，则(

)A．y3>y2>y1 B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2 D．y3>y1>y2√考点一二次函数的图象与性质√√√命题角度2抛物线特征与系数a，b，c的关系4．(2025·武威一模)二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，下列说法正确的是(

)

A．abc>0 B．b2－4ac≥0C．4a＋2b＋c<0 D．2a＋b＝0√5．(2023·西宁)直线y1＝ax＋b和抛物线y2＝ax2＋bx(a，b是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系中，直线y1＝ax＋b经过点(－4，0)．下列结论：①抛物线y2＝ax2＋bx的对称轴是直线x＝－2；②抛物线y2＝ax2＋bx与x轴一定有两个交点；③关于x的方程ax2＋bx＝ax＋b有两个根x1＝－4，x2＝1；④若a>0，当x<－4或x>1时，y1>y2．其中正确的结论是(

)A．①②③④ B．①②③C．②③ D．①④√6．(2025·西宁一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的负半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，对称轴是直线x＝1，若OA＝1，则下列结论中：①abc>0；②当y<0时，－1<x<3；③若m为任意实数，则m(am＋b)≥a＋b；④当0≤x≤3时，y有最大值是0．其中所有正确结论的序号是(

)A．①④ B．②③C．①②③ D．①②③④√解析：由题意可知，抛物线开口向上，与y轴的负半轴相交，对称轴在y轴的右侧，所以a>0，b<0，c<0，所以abc>0．故①正确．因为抛物线与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，对称轴为直线x＝1，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)，又因为抛物线开口向上，所以当y<0时，－1<x<3，故②正确．因为抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，所以函数的最小值为a＋b＋c，所以若m为任意实数，则am2＋bm＋c≥a＋b＋c，所以m(am＋b)≥a＋b，故③正确．因为抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)，所以在0≤x≤3内，当x＝3时，y有最大值是0，故④正确．A

B

C

D√A

BCD√考点二二次函数图象的平移√2．(2024·西宁一模)将抛物线y＝－2(x＋1)2－3向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为________．解析：将抛物线y＝－2(x＋1)2－3向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为y＝－2(x＋1＋3)2－3－2＝－2(x＋4)2－5．答案：y＝－2(x＋4)2－53．设抛物线y＝x2＋(a＋1)x＋a，其中a为实数．(1)若抛物线经过点(－1，m)，则m＝________；解析：将(－1，m)代入y＝x2＋(a＋1)x＋a，得m＝1－a－1＋a＝0．(2)将抛物线y＝x2＋(a＋1)x＋a向上平移2个单位长度，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是________．考点三二次函数的最值[探究2]当1≤x≤5时，二次函数y＝x2－4x＋3的最小值为________，最大值为________．答案：－1

8[探究3]当a≤x≤a＋1时，若二次函数y＝x2－4x＋3的最小值为0，则a的值为________．答案：0或3考点四确定二次函数的解析式(3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作PM⊥l，垂足为M．求PM的最大值及此时P点的坐标．[解]

因为A(6，0)，B(0，－6)，所以OA＝OB＝6．因为在△AOB中，∠AOB＝90°，所以∠OAB＝∠OBA＝45°．因为PC⊥x轴，PM⊥l，所以∠PCA＝∠PMD＝90°．[练习1]

(2025·西安一模)已知抛物线L：y＝ax2＋bx－3与x轴交于A(－1，0)，B两点，与y轴交于点C，且抛物线L的对称轴为直线x＝1．(1)求抛物线L的表达式；解：抛物线L：y＝ax2＋bx－3与x轴交于A(－1，0)，B两点，对称轴为直线x＝1，则点B(3，0)，则抛物线的表达式为y＝a(x＋1)(x－3)＝a(x2－2x－3)＝ax2－2ax－3a，所以－3a＝－3，解得a＝1，故抛物线L的表达式为y＝x2－2x－3．(2)若抛物线L′与抛物线L关于直线x＝m对称，抛物线L′与x轴交于点A′，B′两点(点A′在点B′左侧)，要使S△ABC＝2S△A′BC，求所有满足条件的抛物线L′的表达式．解：因为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，所以y＝x2－2x－3的顶点为(1，－4)．因为S△ABC＝2S△A′BC，△ABC与△A′BC等高，所以AB＝2A′B．因为A(－1，0)，B(3，0)，所以点A′为(1，0)或(5，0)，所以对应抛物线的对称轴为直线x＝3或直线x＝7，所以抛物线L′的顶点为(3，－4)或(7，－4)，所以抛物线L′的表达式为y＝(x－3)2－4或y＝(x－7)2－4．[练习2]

(2025·西宁二模)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象经过A(2，3)，和x轴交于B(5，0)，和y轴交于C．(1)求该抛物线的表达式；(2)求经过A，C两点的直线表达式；(3)求以A，B，C为顶点的三角形面积．考点五二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系[练习1]

(2025·青海三模)如图是抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，其顶点坐标为A(－1，－3)，与x轴的一个交点为B(－3，0)，直线y2＝mx＋n(m≠0)与抛物线交于A，B两点，下列结论：①abc>0；②b＝2a；③抛物线与x轴的另一个交点是(3，0)；④不等式ax2＋(b－m)x＋c－n<0的解集为－3<x<－1；⑤方程ax2＋bx＋c＋3＝0有两个相等的实数根．其中正确的个数有(

)A．1个 B．2个C．3个 D．4个√因为B(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，所以抛物线与x轴的另一个交点是(1，0)，故③错误；由题意：y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象与直线y2＝mx＋n(m≠0)交于A，B两点，所以当y1<y2时，即不等式ax2＋(b－m)x＋c－n<0的解集为－3<x<－1，故④正确；因为抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象与直线y＝－3只有一个交点，所以方程ax2＋bx＋c＋3＝0有两个相等的实数根，故⑤正确．1．若一个点的坐标满足(k，2k)，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于x的二次函数y＝(t＋1)x2＋(t＋2)x＋s(s，t为常数，t≠－1)总有两个不同的“倍值点”，则s的取值范围是(

)A．s＜－1

B．s＜0C．0＜s＜1 D．－1＜s＜0新定义√√√√√x…－4－2035…y…－24－80－3－15…

√√6．已知二次函数y＝x2－2x(－1≤x≤t－1)，当x＝－1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是(

)A．0<t≤2 B．0<t≤4C．2≤t≤4 D．t≥2解析：因为y＝x2－2x＝(x－1)2－1，所以图象开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－1)．当x＝－1时，y＝3，所以点(－1，3)关于对称轴对称的点的坐标为(3，3)．因为当x＝－1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，所以1≤t－1≤3，解得2≤t≤4．故选C．√7．(2025·武威一模)已知二次函数y＝x2－2x－3，当0≤x≤a时，函数值y的最大值为－1，则a的值为________．8．已知二次函数y＝x2－2x＋1的图象向左平移两个单位得到抛物线C，点P(2，y1)，Q(3，y2)在抛物线C上，则y1________y2(填“＞”或“＜”)．解析：y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，因为二次函数y＝x2－2x＋1的图象向左平移两个单位得到抛物线C，所以抛物线C的解析式为y＝(x＋1)2，所以抛物线开口向上，对称轴为直线x＝－1，所以当x>－1时，y随x的增大而增大．因为2<3，所以y1<y2．答案：<9．已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根是－1和2，则抛物线y＝bx2－ax＋c的对称轴为直线________．10．在平面直角坐标系xOy中，点(2，c)在抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)上，设该抛物线的对称轴为直线x＝t．(1)求t的值；√12．(2025·西宁一模)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的负半轴交于