第8讲一元二次方程及其应用

第一篇数与代数第二章方程与不等式第8讲一元二次方程及其应用1.

了解一元二次方程的概念.2.

会解一元二次方程；利用根的判别式判别方程根的情况.3.

会用一元二次方程解决实际问题（增长率、利润、面积问题）.

类型一

一元二次方程的有关概念例1

（1）若关于x的方程x2－kx－12＝0的一个根为3，则k＝

－1

.（2）（a－6）x2－8x＋a2－36＝0是关于x的一元二次方程，它有一根为0，则a＝

－6

.【解后感悟】不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件.－1

－6

1.

关于x的方程a（x＋m）2＋b＝0的解是x1＝－2，x2＝1（a，m，b均为常数，a≠0），则关于x的方程a（x＋m＋2）2＋b＝0的解是

x1＝－4，x2＝－1

.x1＝－4，x2＝－1

类型二

一元二次方程的解法例2

用适当的方法解下列方程：（1）2（x－2）2＝18.【答案】x1＝5，x2＝－1.（2）2x（x－3）＋x＝3.

（3）x2－2x－15＝0.【答案】x1＝5，x2＝－3.（4）x2－7x＋2＝0.

【解后感悟】解一元二次方程要根据方程的特点选择合适的方法解题.方程（1）用直接开平方法；方程（2）提公因式x－3；方程（3）用十字相乘法或配方法；方程（4）用公式法.

2.

解方程：（1）x（x－2）＋x－2＝0.【答案】x1＝2，x2＝－1.

类型三

一元二次方程根的判别式例3

关于x的一元二次方程x2－3x＋k＝0有实数根.（1）求k的取值范围.

（2）如果k是符合条件的最大整数，且该方程与一元二次方程（m－1）x2＋x＋m－3＝0有一个相同的根，求此时m的值.

【解后感悟】本题考查了根的判别式.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2－4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根.

3.

若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0没有实数根，则m的值可以是（

D

）A.

－1B.0C.1D.

D类型四

市场营销问题例4

如图，老李想用长为70

m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2

m宽的门（建在EF处，另用其他材料）.（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640

m2的羊圈？【答案】（1）设矩形ABCD的边AB＝x

m，则边BC＝70－2x＋2＝（72－2x）

m.根据题意，得x（72－2x）＝640，化简，得

x2－36x＋320＝0解得

x1＝16，x2＝20，当x＝16时，72－2x＝72－32＝40；当x＝20时，72－2x＝72－40＝32.答：当羊圈的长为40

m，宽为16

m或长为32

m，宽为20

m时，能围成一个面积为640

m2的羊圈.（2）羊圈的面积能达到650

m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.【答案】（2）不能.理由：由题意，得x（72－2x）＝650，化简，得

x2－36x＋325＝0，Δ＝（－36）2－4×325＝－4＜0，故该一元二次方程没有实数根.所以羊圈的面积不能达到650

m2.【解后感悟】找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.在列出方程后不妨用特殊值代入检验，保证方程准确.

4.

如图，要设计一幅宽20

cm、长30

cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，那么横彩条和竖彩条的宽度分别是（

C

）A.2

cm和3

cmB.

cm和

cmC.

cm和

cmD.

cm和

cmC5.

我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程x2＋5x－14＝0即x（x＋5）＝14为例加以说明，构造如图1所示，大正方形的面积是（x＋x＋5）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14＋52，据此易得x＝2.那么图2是方程

x2＋3x－10＝0（答案不唯一）

的几何解法.x2＋3x－10＝