命题点14二次函数图象与性质的应用(必考)

第三章函数课标要求会根据二次函数的表达式及图象的性质解决一些简单的实际问题.命题点14二次函数图象与性质的应用(必考)要点归纳

1.

交点问题(1)与x轴交点：当y＝0时，即ax2＋bx＋c＝0时；(2)与y轴交点：当x＝0时，交点为(0，c).2.

整点问题命题点14二次函数图象与性质的应用(必考)随堂检测

1.

如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥

洞的最高点)离水面2米，水面下降2.5米时，水面的宽度为(

B

)A.3米B.6米C.8米D.9米B解析：如图，建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y轴

通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得O为原点，抛物线

以y轴为对称轴，且经过A、B两点，OA和OB可求出为AB的

一半为2米，抛物线的顶点C的坐标为（0，2），设顶点式为y＝ax2＋2，代入点A的坐标（－2，0），得4a＋2＝0，解得：a＝－0.5，∴抛物线的解析式为：y＝－0.5x2＋2，当水面下降2.5米时，即当y＝－2.5时，－0.5x2＋2＝－2.5，解得：x＝±3，∴水面的宽度为3－（－3）＝6（米）.故选B.

2.

(2025陕西中考)在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2－2ax＋a－

3(a≠0)的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则

下列关于该函数的结论正确的是(

D

)A.

图象的开口向下B.

当x＞0时，y的值随x值的增大而增大C.

函数的最小值小于－3D.

当x＝2时，y＜0D

3.

(2024天津)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小

球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6).有下列

结论：①小球从抛出到落地需要6

s；②小球运动中的高度可以是30

m；③小球运动2

s时的高度小于运动5

s时的高度.其中，正确结论的个数是(

C

)A.0B.1C.2D.3C解析：①令h＝0，则30t－5t2＝0，解得t1＝0，t2＝6，∴小球从抛出到落地需要6

s，故正确；③t＝2时，h＝30×2－5×4＝40（m），t＝5时，h＝30×5－5×25＝25（m），∴小球运动2

s时的高度大于运动5

s时的高度，故错误.故选C.

②h＝30t－5t2＝－5（t2－6t）＝－5（t－3）2＋45，∵－5＜0，∴当t＝3时，h有最大值，最大值为45，∴小球运动中的高度可以是30

m，故正确；4.

(2024陕西)已知一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的

几组对应值如下表：x…－4－2035…y…－24－80－3－15…则下列关于这个二次函数的结论正确的是(

D

)DA.

图象的开口向上B.

当x＞0时，y的值随x值的增大而减小C.

图象经过第二、三、四象限D.

图象的对称轴是直线x＝1

解得x1＝0，x2＝2，所以抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）和（2，0）.又因为抛物线的顶点坐标为（1，1），所以抛物线经过第一、三、四象限.故C选项不符合题意；因为二次函数的解析式为y＝－（x－1）2＋1，所以抛物线的对称轴为直线x＝1.故D选项符合题意.故选D.

(1)求抛物线的解析式；

(2)①当－2≤x≤3时，函数的最大值为

，最小值为

⁠；

故答案为：4；0；40②当－2≤x≤t时，设函数的最大值为m，最小值为n，若m－n＝3，

求t的值.解：（2）②∵