平面+高一下学期数学人教A版必修第二册

8.4.1平面第八章

立体几何初步高中数学人教A版必修第二册1.类比初中对直线的学习，理解平面的概念及本质特征，并学会表示和刻画一个平面.2.掌握三个基本事实，由此加深对平面的基本性质的理解，并会用图形、文字和符号三种语言性质表述三个基本事实.3.掌握平面的基本性质的三个推论，并会用图形语言表述三个推论.4.在探究三个基本事实的情境中，感悟立体几何结论发现的过程，体验研究几何体的方法，提升直观想象和数学抽象素养.观察图形，有你熟悉的空间图形吗？构成这些几何体的元素有哪些？点、直线、平面是空间图形的基本元素，它们构成了千姿百态的世界，初中我们已对点和直线进行了研究，今天我们继续探讨平面及其基本性质.

要求：先独立思考，再小组合作交流探究平面的含义及其表示方法(1)你能结合情境中的实例说出什么是平面吗？(2)类比直线，你能用图形语言和符号语言表示出平面吗？平面是从湖面、操场、草原等物体中抽象出来的，几何中所说的平面具有以下两个特征：①可以无限延展；②平的(没有厚薄).平面α、平面ABCD、平面AC、平面BD.平面β探究平面的基本性质我们知道，过两个点可以确定一条直线，那么几个点可以确定一个平面呢？合作探究：1.动手画一画，再小组合作充分讨论；2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；3.讨论时间3分钟.过不在同一直线上的三个点，确定一个平面.(1)自行车两个车轮着地时，不能“站稳”，如果加上1个脚架，就可以“站稳”了，你知道为什么吗？(2)支撑照相机的架子，为何选择三脚架呢？1.如果把地面看成一个平面，两个车轮着地地方看成两点，脚架着地地方看成1个点，由于两个点只能确定一条直线，这条直线所在的平面不确定，故两个车轮着地不能站稳；当增加1个脚架，即1个不在此直线上的点时，3个不共线的点都在地面，从而自行车能站稳.2.由于三个支点在底面上且不共线保证了三脚架的稳定性.探究平面的基本性质过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.注意：“有且只有一个”必须完整表述，缺一不可.“有”说明图形存在，强调了存在性；“只有一个”是说图形唯一，强调了唯一性.如：将教室的门的两个铰链看成两个点，门插销看成一个点，当插销插上时，门不再动了.基本事实1你还能举出生活中的实例来说明基本事实1吗？探究平面的基本性质如何将这一事实用图形表示？又如何用符号表示点和直线、平面的位置关系呢？如图，不共线的三点A，B，C确定一个平面，记为平面ABC.如图，点A在直线l上，记作A∈l；点B在直线l外，记作B∉l；点A在平面α内，记作A∈α；点P在平面α外，记作P∉α.这样，基本事实1也可以用符号表示为：A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α.Pl直线上有无数个点，平面内也有无数个点.因此，直线、平面都可以看成是无数个点组成的集合，故点与直线、点与平面的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示.探究平面的基本性质如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.基本事实2(1)如果直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？(2)如果直线与平面有两个公共点呢？如左图，若直线l上仅有一个点P在平面α内，则直线l不在平面α内.如右图，若直线l上有两个点(不妨设为A、B)在平面α内，则直线l在平面α内.探究平面的基本性质如何将这一基本事实用图形表示？如何用符号表示直线和平面的位置关系？如图直线上有两个点A、B在平面内，则直线l在平面内直线l上所有的点都在平面α内，就说直线l在平面α内，记作l⊂α；否则，就说直线l不在平面α内，记作l⊄α.这样，基本事实2也可以用符号表示为：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α.直线与平面都可以看成是由无数个点构成的集合，故它们之间的关系可看成集合与集合的关系，用“⊂”或“⊄”表示.探究平面的基本性质我们知道，平面具有“平”和“无限延展”的特征，而基本事实2反映了直线与平面的位置关系，我们能不能利用这种位置关系，用直线的“直”和“无限延伸”刻画平面的“平”和“无限延展”？如右图，由基本事实1，给定不共线三点A，B，C，它们可以确定一个平面ABC；连接AB，BC，CA，由基本事实2，这三条直线都在平面ABC内，进而连接这三条直线上任意两点所得直线也都在平面ABC内，所有这些直线可以编织成一个“直线网”，这个“直线网”可以铺满平面ABC.组成这个“直线网”的直线的“直”和向各个方向无限延伸，说明了平面的“平”和“无限延展”.探究平面的基本性质如右图，把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？不止一个公共点.因为平面是无限延展的，把三角尺所在的平面延展，用它“穿透”课桌，可以想象，这两个平面相交于一条直线.探究平面的基本性质如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.若P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l且P∈l.基本事实3追问1：你能用符号表示基本事实3吗？追问2：你能给出两个平面相交的画法吗？结合基本事实3，你能进一步说明平面的“平”和“无限延展”的特征吗？基本事实3说明：如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交于过这个公共点的一条直线.两个平面相交成一条直线的事实，可以让我们进一步认识了平面的“平”和“无限延展”.你还能举出生活中其它平面与平面相交的例子吗？如：教室相邻的两个墙面在地面的墙角处有一个公共点，这两个墙面相交于过这个点的一条直线等.合作探究：1.先独立思考，再小组合作充分讨论；2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；3.讨论时间5分钟.探究平面的基本性质的三个推论1.直线外一点和直线能确定一个平面吗？为什么？2.两条相交直线能不能确定一个平面？3.两条平行直线能不能确定一个平面？为什么？推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.符号语言：A∉l⇒存在唯一的平面α，使A∈α，且l⊂α.图形语言：lAα1.直线外一点和直线能确定一个平面吗？为什么？能，如图，因为点A与直线BC上的两点B，C不共线，根据基本事实1，A，B，C三点能确定一个平面ABC.BACα探究平面的基本性质的三个推论推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.符号语言：l

⋂m=A⇒存在唯一的平面α，使l⊂α，且m⊂α.图形语言：lAmα能确定一个平面.因为直线AB，AC相交于点A，不共线的三点A，B，C确定的平面就是AB和AC确定的平面，由基本事实1可证得.BACα2.两条相交直线能不能确定一个平面？探究平面的基本性质的三个推论推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.符号语言：l∥m⇒存在唯一的平面α，使l⊂α，且m⊂α.图形语言：mlα能确定一个平面，因为这两条平行线中含有不共线的三点A，B，C，由基本事实1可知，这个平面是确定的.BACα3.两条平行直线能不能确定一个平面？为什么？探究平面的基本性质的三个推论推论1

一条直线和该直线外一点确定一个平面；推论2

两条相交直线确定一个平面；推论3

两条平行直线确定一个平面.以上三条推论与基本事实1都是确立平面的依据.探究平面的基本性质的三个推论下列命题正确的是()A.三点确定一个平面

B.一条直线和一个点确定一个平面C.圆心和圆上两点可确定一个平面

D.梯形可确定一个平面解：对于A，空间不共线的三点可以确定一个平面，所以A错；对于B，在空间中，如果这个点在直线上，就不能确定一个平面，所以B错；对于C，圆心和圆上的两点如果在一条直线上，就不能确定一个平面，故C错；对于D，梯形只有一组对边平行，所以梯形可以确定一个平面，故D正确；故选D.利用基本事实1及平面的性质推论进行判断.D下列叙述中，正确的是(

)A.若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l⊂αB.若A∈α，B∈β，则α∩β=ABC.若A，B，C∈α，A，B，C∈β，则α，β重合D.若A∈α，B∈α，A∈β，B∈β，则α∩β=AB解：A.若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l⊂α，根据平面性质的公理，可知正确，故A正确；B.A∈α，B∈β，A，B两点不一定是两个平面的公共点，故B错误；C.若A，B，C∈α，A，B，C∈β，当A，B，C在一条直线上时，则α，β不重合，故C错误；D.若A∈α，B∈α，A∈β，B∈β，则A，B两点是两个平面的公共点，根据平面性质的公理，得到α∩β=AB，故D正确.故选AD.将符号语言转化为文字语言，再利用平面的性质进行判断.AD已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α=P，BC∩α=Q，AC∩α=R，如图所示.求证：P，Q，R三点共线.证明：∵AB∩α=P，∴P∈AB，P∈平面α，又∵AB⊂