《力学教材》-《力学教材》-09 船舶稳定性分析

1空间力系分析在实际工程结构中还有许多构件或机器零部件受力是不在同一平面内的，这些力组成的力系称为空间力系。1.1空间力系的合成（1）合力投影定理

空间汇交力系可以合成为一个合力，合力矢等于各分力矢的矢量和，其作用线通过汇交点。写成矢量表达式为

在实际应用中，常以解析法求合力，它的根据是合力投影定理：合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。合力投影定理的数学表达式为式中，Rx、Ry、Rz

表示合力在各轴上的投影。1空间力系分析若已知各力在坐标轴上的投影，则合力的大小和方向可按下式求得式中α、β、γ

分别表示合力与x、y、z轴所夹的锐角。1空间力系分析（2）合力矩定理

如图所示，力F对某轴（如z轴）的力矩，为力F在x、y、z三个坐标方向的分力Fx、Fy、Fz对同轴（z轴）力矩的代数和，称之为合力矩定理。

力对轴之矩的解析表示式为：应用上式时，分力Fx、Fy、Fz及坐标x、y、z均应考虑本身的正负号，所得力矩的正负号也将表明力矩绕轴的转向。1空间力系分析（3）

空间力系的合成与平面力系相似，空间力系也可以向任意一点简化，其简化结果也是一个主矢和一个主矩。与平面力系不同的是，主矩是原来的力对简化中心之矩的矢量和。因此，空间力系简化结果是两个矢量。即与平面力系一样，空间力系的主矢与简化中心位置无关，主矩与简化中心位置有关。1空间力系分析

当空间力系的简化结果主矢和主矩同时等于零时，该空间力系处于平衡状态。由此可推知，空间任意力系的平衡方程为上式说明，空间任意力系平衡的必要与充分条件是：各力在三个坐标轴上的投影的代数和以及各力对此三轴之矩的代数和同时等于零。1.2空间力系的平衡2重心与形心分析2.1重心与形心分析

在地球附近的物体都受到地球对它的作用力，即物体的重力。重力作用于物体内每一微小部分，是一个分布力系。

对于工程中的一般物体，这种分布的重力可足够精确地视为空间平行力系(因为物体相对地球非常小，又距地心非常远)。所谓重力就是这个空间平行力系的合力。合力的作用点即为物体的重心。物体的几何中心称为物体的形心，对于地面上的均质物体形心和重心是重合的，重心在刚体上是个固定点，它不因刚体的运动而变化。重心只与各平行力的大小及位置有关而与其方向无关。重心不一定都在物体内。

无论在工程实际中，还是日常生活中，确定重心的位置都具有非常重要的意义。

（1）重心的位置影响物体的平衡与稳定。重心高容易翻倒且不稳定。起吊重物时，吊钩就应位于被吊物体重心的正上方，以保证起吊过程中物体保持平稳。

（2）重心的位置影响质心的运动。对于转动刚体，如电机转子、飞轮等旋转部件，在设计、制造安装时，要求它的重心应尽量靠近转轴，否则会产生强烈的振动，甚至会引起破坏，影响机器寿命。2重心与形心分析

重力就是地球对物体质量的引力。任何物体都可以看成是无数质量微元的集合。每个微元所受的重力都重直指向地面，这些力的作用线相互平行，组成空间平行力系，这个力系的合力即为物体的重力，物体重力的作用点即为物体的重心。因此，确定物体的重心，实质上就是确定空间平行力系合力作用点的坐标。

因此，确定物体的重心，实质上就是确定空间平行力系合力作用点的坐标。设物体重心坐标为xC、yC、zC，如图所示。将物体分成若干微元，其重力分别为△W1，△W2，…，△Wn，各力作用点的坐标分别为（x1、y1、z1），（x2、y2、z2），…，（xn、yn、zn）。

物体重力W

的值为W=∑△Wi

。2重心与形心分析根据合力矩定理，有

根据力系中心的位置与各力的方向无关的性质，可将物体连同坐标系一起绕x轴顺时针转过90°，使

y轴朝下，这时重力W和各力△Wi都与y轴同向平行，再对x轴应用合力矩定理，得2重心与形心分析若物体为均质，其密度为ρ，将W=ρgV，△Wi=ρg△Vi代入上式，令△Vi→0

取极限，即可得均质物体重心完全取决于物体的几何形状和尺寸。物体重心C的坐标公式为2重心与形心分析2.2平面图形形心分析

组合法确定平面组合图形的形心

组合法是求平面组合图形的形心坐标的基本方法。可以先将组合图形分割成若干个简单图形，然后应用公式确定组合图形的形心坐标。3船舶稳定性分析

船舶在停泊或航行中，经常遇到风浪等各种外力的干扰，船舶平衡状态会破坏。船舶在受到外力矩作用下发生倾斜，此时，具有适当稳性的船舶会在浮力和自身重力的共同作用下，船舶将产生复原力矩以抵消外力矩的作用以免倾斜继续扩大。当外力矩消除后，复原力矩使船舶（经过一定的周期性摇摆）恢复到原先的平衡位置。船舶的这种复原能力就是我们所研究的船舶稳性问题。船舶的稳定性是指船舶在有限的作用下不会倾覆，倾侧力消失后能恢复到正常状态的能力。3船舶稳定性分析

如图（a）所示，浮力的作用线同船体的中心线相交于M点，M点叫稳心。船舶重心G至倾斜后浮力作用线的垂直距离，称为稳性力臂以GZ表示。当稳心高于重心的时候，船舶是稳定的；当稳心低于重心的时候，船舶是不稳定的。稳心到重心的距离GM称为稳心高度。稳心高度越大，船体的稳定性越好。一半船舶在倾侧10°～15°的情况下，稳心高度大约从零点几米到几米。（a）

（b）

（c）3船舶稳定性分析

船舶在航行中受到侧面风浪作用倾侧。假设船体向右倾斜，如果船上的货物不移动，重心G位置就不会有变化。但由于左面一部分体积露出水面，右边同样大小的体积浸入水中，因此浮心B向右移动。如图（a）所示，如果重心G比较低，或者船身比较宽，浮心B向右移动相对比较大，浮力作用线就会移到重力作用线的右侧，这时候稳性力臂GZ比较大，浮力产生的力矩MR会使船体回复到正常状态；如图（b）所示，如果重心比较高，或者船体比较窄，浮力向右移动相对较小，这时候稳性力臂以GZ较小，但是浮力产生的力矩MR仍能够使船体回复到正常状态；如图（c）所示，当重心位置高于稳心M时，浮力作用线在重力作用线的左侧，这时候浮力的力矩MR会继续使船体倾侧。

如果重心在浮力的下面，船体倾侧后，浮力的力矩一定会使船体回复到正常状态。因此，重心低于浮力的船舶一定是稳定的。为了使船舶具有良好的稳定性，要设法增加船体的宽度，并且尽可能降低船舶的重心位置。（a）

（b）

（c）能力拓展【实例分析1】如图所示为一起重机，机身重G=100kN，重力通过E点；轮A、B、C与地面为光滑接触，成一等边三角形，E点即为三角形的形心；起重臂FHD可绕铅垂轴HD转动。已知a=5m，l=3.5m，载重P=20kN，且通过起重臂的铅垂平面与起重机的中心铅垂面成α=30°角。求静止时地面作用于三个轮子的反力，又当α=0°时最大载重Pmax是多少。解

取起重机为研究对象，作用于起重机上的力有重力G与P和地面对于三个轮子的铅垂反力NA、NB、NC

，这些力是一个空间平行力系。选坐标系Cxyz如图所示，列空间平行力系的平衡方程并求解如下：能力拓展当α=0°时，有因为

欲使起重机满载时不向右倾倒，必须N