四川省宜宾市普通高中2026年高三下学期第二次诊断性测试数学试题+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页四川省宜宾市普通高中2026年高三下学期第二次诊断性测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A={x|−2<A．{x|−C．{x|−2．抛物线y2=4x的焦点到直线A．22 B．2 C．3223．已知向量a=1,1，b=x,−1，若向量bA．−1 B．1 C．−34．双曲线x2a2−yA．y=±2x B．y=±5．已知数列an满足对任意的i,j∈N*，都有ajA．8 B．18 C．20 D．276．已知0<c<A．b<a<c B．a<b7．已知定义在R上的函数fx满足fx=−f2−x，若函数gx=ln1−2xA．8 B．192 C．12 D．8．已知θ∈(0,π2)，若∀a∈A．π12 B．π6 C．π4二、多选题9．赓续绵延长江情，携手共谱新篇章．2026年央视春晚宜宾分会场筹备期间，某中学向全校学生征集“立上游-新宜宾”主题宣传文案，共收到500篇作品．由专业评委进行打分，满分100分，不低于60分为及格，不低于m分为优秀，若征文得分X（单位：分）近似服从正态分布N75,σA．随机取1篇征文，则评分在60,B．已知优秀率为20%，则mC．σ越大，PXD．σ越小，评分在70,10．定义在0,+∞上的函数fx，对∀x,yA．f2=2 C．fx1+x22≤fx11．已知正三棱台ABC−A1B1C1，上底面A1B1C1边长为2，下底面ABC边长为6，侧棱长为4，点A．正三棱台ABCB．高为463，底面半径为C．点P的轨迹长度为2D．过点A,B三、填空题12．若复数z满足i3⋅z=13．等比数列an的前n项和为Sn，若S4=20，14．已知在圆锥PO中，高PO长为2，底面圆的直径AB长为8，点M为母线PB的中点．过点M用平行于母线PA四、解答题15．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a(1)求A；(2)设点D为BC上一点，AD是△ABC的角平分线，且b16．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1((1)求C的方程；(2)过点P4,0的直线交C于不同的两点A、B，AH⊥17．某大学进行强基计划测试，已知有6名学生进入最后面试环节，且这6名学生全都来自A、B、C三所学校，其中A、B、C三所学校参加面试的学生人数比为3:1:2．该大学要求所有面试考生面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码(1)求面试号码为3的学生来自A校的概率；(2)记随机变量X表示从1号学生开始面试到A校最后一名学生完成面试所用的时间，求X的分布列与数学期望；(3)求A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试（A校所有参加面试的学生完成面试，B、C两校都还有学生未完成面试）的概率．18．在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为矩形，△PAB为锐角三角形，PA=AB=2，PB+(1)求线段BQ(2)若异面直线PB与QD所成角为（ⅰ）求平面PCD与平面（ⅱ）求三棱锥P−19．已知函数fx(1)判断函数fx=2(2)将函数fx在区间0,+∞上的极值点从小到大排列，形成数列xn证明：（ⅰ）a1（ⅱ）i=答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《四川省宜宾市普通高中2026年高三下学期第二次诊断性测试数学试题》参考答案1．C【详解】B={x则A∩B=2．B【分析】得到抛物线焦点后，利用点到直线距离公式计算即可得.【详解】抛物线y2=4则该点到直线x+y+3．D【分析】（方法一）利用向量b在a方向上的投影向量的公式a⋅（方法二）由向量b在a方向上的投影向量为a得到a⊥【详解】（方法一）由题意，∵a=1∵向量b在a方向上的投影向量为a，∵a=1,1∴a⋅ba⋅（方法二）由题意，∵向量b在a方向上的投影向量为a，∴b−a⊥a，∴a⋅a−故选：D.4．B【详解】因为双曲线x2a2-y2b所以ca=10所以b2a2所以双曲线的渐近线方程是y=5．C【分析】根据题意，分别令i=3,j=5和【详解】因为数列an满足对任意的i,j∈N所以，当i=3,j=当i=5,j=所以a6．D【分析】设4a=b3=【详解】设4a=b3=所以a=log4k=因为0<k<1，所以ln而0<k<1，所以因为函数y=kx在0<k<1综上，a<7．A【分析】判断出函数fx与g【详解】由fx=−f2−x函数gx=ln因为gx所以函数gx关于点1因此函数gx与函数y=f若xi,y那么xi+2所以i=8．B【分析】求出给定命题的否定，再利用辅助角公式化简并换元得f(t)=2|sin【详解】命题“∀a∈R，存在x∃a∈R，对∀而|sinx+cosx函数f(t)=2|sin当0≤a≤π2时，a当π2<a<3π4时，a+f(当a=3π4时，t当3π4<a<π时，a+πf(当a=π时，a+由∃a∈R，对∀x∈即sinθ>12，而因此当∀a∈R，存在x∈[所以θ的最大值为π69．AD【详解】对于A，由题意可知，PXPXP60P60对于B，由题意可知，PX因为PX≥m对于C，因为X=75是该正态分布图象的对称轴，所以不会随σ的变化而变化，故C错误；对于D，由σ对正态分布图象的影响可知，σ越小，图象越“瘦高”，因此在区间70,80对应图象的面积变大，所以评分在10．ACD【详解】由函数方程f(x+y)可推出f(n+对于选项A:f(对于选项B:f(对于选项C:f(x)对于选项D:前n项和Tn11．ABD【分析】延长正三棱台侧棱相交于点O，分析可知三棱锥O−ABC为正四面体，对于A：根据正四面体的高以及棱台的性质分析求解；对于B，根据三棱台ABC−A1B1C1的高及上底面内切圆的半径即可判断；由AP=27得到HP=【详解】延长正三棱台侧棱相交于点O，由题意可知：OA在等腰梯形BCC1B1中，因为BC=即△OBC为等边三角形，可知三棱锥O对于A：设H为等边△O由正四面体的性质可知：AH⊥侧面OB即O点到底面ABC的距离为又因为OB1=2，BB1=对于B，设△A1B1C1的内切圆的半径为因为正三棱台ABC−A1B1C1所以高为463、底面半径为对于C，由A选项知，AH⊥侧面OB因为点P在侧面BCC所以PH因为等边三角形OBC的内切圆的半径为3，又OD所以，点P在侧面BCC1B1而HG=HM=所以∠EHG=∠对于D，设正四面体OABC由等体积法可得13S△因为2R<4又因为CQ=3QC所以Q为OC的中点，过点A，B，Q所以截面面积为π×12．2【详解】由i3⋅z则z=13．84【详解】设等比数列an的公比为q当q=1时，由由a1+a2=当q≠1时，S614．4【分析】根据几何关系，求得OD,OM的长度，以M为原点，建立坐标系，根据抛物线过点【详解】记过点M且平行于PA的平面与底面圆O的交点为C在三角形PAB中，因为M,故PA//OM，且截面过点M，且与PA平行，故点O在截面上，则O根据对称性可知抛物线的对称轴为OM，焦点在O以M为坐标原点，MO为x轴，截面内过M且垂直于OM的直线为则xD=O设抛物线方程为y2=2故16=25p，解得p=15．(1)A(2)2【分析】（1）由正弦定理进行边化角，然后利用正切函数即可得到答案；（2）利用三角形的面积关系S△AB【详解】（1）已知asin由正弦定理得sinA∵B∈0∴sinA+∴tanA=∴A（2）AD是△由（1）知，A=2π因为S△则12因为b=3，c=故AD16．(1)x(2)证明见解析【分析】（1）根据条件列方程组求解；（2）分直线斜率是否为零讨论，联立直线与椭圆方程，求出直线HB的方程，令y【详解】（1）将x=c代入x2a2因为MF2=又c=1,故C的方程为x2（2）若直线斜率不为0，则设直线AB:x=m联立x=my则Δ=得m2>4因为AH⊥M则直线HB的方程为y令y=0，得则直线HB过定点52若直线斜率为0，则直线HB为x轴，过点52故直线HB过定点5217．(1)12(2)X15202530P1331E((3)320【分析】（1）求出面试号码为3的样本空间中样本点个数，再求出面试号码为3的学生来自A校的事件所含样本点个数即可.（2）求出X的所有可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望.（3）将所求概率的事件分拆成两个互斥事件的和，利用古典概率公式，结合排列组合求出概率.【详解】（1）面试号码为3的学生有6个不同结果，面试号码为3的学生来自A校的事件有3个不同结果，所以面试号码为3的学生来自A校的概率为36（2）令随机变量Y为A校最后一名学生的面试号码，则X=可得Y的所有可能取值为3,4,5,则P(X=P(X=所以X的分布列为X15202530P1331数学期望E(（3）依题意，6名学生按1,2,而A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试的事件，是A校学生的最大编号为3的事件，与A校学生的最大编号为4的事件，且B校学生编号不小于5的事件的和，它们互斥，而A校学生的最大编号为3的事件有A3而A校学生的最大编号为4，且B校学生编号不小于5的事件有C3所以A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试的概率为A318．(1)2(2)217；【分析】（1）可证l//BC，BC⊥平面PA（2）利用空间向量结合向量夹角可得θ=π3.（ⅰ）分别求平面PCD与平面QCD的法向量，利用空间向量求面面夹角；（ⅱ）设三棱锥P【详解】（1）因为AD//BC，AD⊂平面PAD且BC⊂平面PBC，平面PA又因为PB⊥BC，AB⊥BC，PB以B为坐标原点，BC,BA分别为x,y轴，过点设∠PAB=θ∈0可得PB=2可得C4−221则BP=0由题意可知：直线BC的一个方向向量为a=1设PQ=λ因为BQ//BE则BQ=4则BQ令t=1−当且仅当t=所以线段BQ长度的最小值为22（2）由（1）可知：BP=0由题意可得：cosB解得cosθ=12，即θ=π3，则P0,（ⅰ）因为CD=0,2设平面PCD的法向量为m=设x1=3，则y设平面QCD的法向量为n=设x2=1，则y则cosm所以平面PCD与平面QCD夹角的余弦值为217（ⅱ）设三棱锥P−ADE的外接球的球心为Ox即x02+可得R2=OA219．(1)有两个极值点，理由见解析(2)证明见解析【分析】（1）求函数在给定区间上的导数，以分子整式构造函数，再次求导，研究该导数在给定区间上与零的大小关系，以判断构造函数的单调性和变号零点的性质，根据极值的定义，可得答案.（2）（ⅰ）根据（1）可得x1，x2所在区间，根据极值点的必要条件，进一步缩小其所在区间，根据三角函数的诱导公式，将x1变为x1+π，使其在同一个单调区间，根据函数的单调性，可得f(x1【详解】（1）因为fx=2设gx=x当x∈0,π时，因为sinx≥0得g(x)<g当x∈π,2