2025京师数学建模高中组官方发布试题及标准答案

2025京师数学建模高中组官方发布试题及标准答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.在建立人口增长模型时，若假设增长率与当前人口成正比，则对应的微分方程形式为A.dP/dt=kP² B.dP/dt=k C.dP/dt=kP D.dP/dt=k/t2.用Logistic模型拟合1980—2020年某市人口数据，若环境容纳量M估计为1200万，则模型中人口增长率出现峰值时的人口规模约为A.200万 B.400万 C.600万 D.800万3.对一阶线性差分方程x_{n+1}=ax_n+b，若系统存在非零平衡态，则参数需满足A.a=1且b=0 B.a≠1 C.a=0 D.b=04.在图论最短路径问题中，Dijkstra算法的时间复杂度主要取决于A.边数平方 B.顶点数平方 C.边数与顶点数之和 D.边数与顶点数之积5.对带权有向图进行PageRank建模时，阻尼系数d通常取0.85，其含义是A.网页平均出度 B.随机跳转概率 C.迭代收敛阈值 D.网页总数占比6.若某线性规划问题的可行域非空且有界，则目标函数A.必无最优解 B.必无穷多最优解 C.必存在最优顶点解 D.必为凸函数7.在蒙特卡罗模拟估计π时，若投点总数为N，落入四分之一圆内点数为M，则估计值表达式为A.4M/N B.M/N C.2M/N D.N/M8.对时间序列做一阶差分的主要目的是A.消除趋势项 B.增大方差 C.降低频率 D.提高峰值9.在传染病SIR模型中，基本再生数R0<1意味着A.疾病必然灭绝 B.疾病endemic C.感染人数指数增长 D.康复率小于感染率10.对同一数据集分别用3次和9次多项式插值，则9次多项式更可能出现A.龙格现象 B.线性趋势 C.低振荡 D.零残差二、填空题（每题2分，共20分）11.若某指数增长模型为P(t)=P₀e^{rt}，则当P(t)=2P₀时，t=________。12.在Logistic模型中，令y=P/M，则微分方程可化简为dy/dt=________。13.对线性方程组Ax=b，若A为严格对角占优矩阵，则Jacobi迭代法________收敛。14.对随机变量X~N(μ,σ²)，其95%置信区间半宽为________σ。15.在Leslie矩阵模型中，第i行第j列元素l_{ij}表示________。16.对图G=(V,E)，其邻接矩阵A的n次幂A^n中元素a_{ij}^{(n)}表示________。17.若某线性规划标准型为maxc^Tx,s.t.Ax≤b,x≥0，则其对偶问题目标为________。18.在排队论M/M/1模型中，系统空闲概率P₀=________。19.对时间序列{xt}，其k阶自相关系数ρ_k=________。20.若用欧拉法求解dy/dt=f(t,y)，步长h，则迭代公式为y_{n+1}=________。三、判断题（每题2分，共20分）21.对同一组数据，线性回归残差平方和一定不大于二次回归残差平方和。22.若矩阵A的特征值模均小于1，则迭代x^{(k+1)}=Ax^{(k)}+b对任意初值均收敛。23.在最小二乘拟合中，正规方程A^TAx=A^Tb对任意A都有唯一解。24.对无向图，邻接矩阵一定对称。25.若线性规划可行域无界，则目标函数必无界。26.在SIS模型中，康复者获得永久免疫。27.中心极限定理要求总体服从正态分布。28.对泊松分布P(λ)，其方差等于期望。29.若马尔可夫链存在唯一平稳分布，则链必为不可约非周期。30.用高斯消元求解n元线性方程组，其计算量与n³成正比。四、简答题（每题5分，共20分）31.简述用蒙特卡罗方法估计定积分∫₀¹f(x)dx的基本步骤。32.说明在Logistic模型中引入收获项h后的平衡点稳定性如何随h变化。33.写出利用Leslie矩阵预测雌性种群年龄结构的迭代公式，并指出稳定增长率与矩阵哪一特征量对应。34.概述在图论中利用度分布判断网络是否无标度的基本思路。五、讨论题（每题5分，共20分）35.某市共享单车的调度成本与用户需求均呈时空不均，试讨论如何构建多目标优化模型权衡调度费用与用户满意度，并指出至少两种求解思路。36.针对短视频平台信息传播，讨论如何结合SEIR模型与真实数据估计“信息再生数”，并说明需采集哪些关键数据。37.在高考选科走班制背景下，讨论如何利用图着色模型安排教室与时段，并分析当教师资源受限时模型如何修正。38.面对极端降雨导致的城市内涝，讨论如何耦合一维管网与二维地表漫流模型，并指出参数率定面临的挑战。标准答案与评分要点一、单项选择1.C 2.C 3.B 4.B 5.B 6.C 7.A 8.A 9.A 10.A二、填空11.ln2/r 12.ry(1−y) 13.一定 14.1.96 15.第j年龄组个体在一个单位时间内对第i年龄组的平均贡献（生育或转移）16.从顶点i到j长度为n的路径条数 17.minb^Ty 18.1−λ/μ 19.Cov(x_t,x_{t−k})/Var(x_t) 20.y_n+hf(t_n,y_n)三、判断21.F 22.T 23.F 24.T 25.F 26.F 27.F 28.T 29.T 30.T四、简答31.步骤：1.在[0,1]区间均匀随机取点x_i；2.计算f(x_i)；3.求样本均值Î=(1/N)Σf(x_i)；4.用Î作为积分估计。由大数定律，N→∞时Î→∫f(x)dx。32.引入dP/dt=rP(1−P/M)−h，平衡点P满足rP(1−P/M)=h。当h增大，P减小；h>rM/4时无正平衡，种群趋于灭绝；h<rM/4时，正平衡点稳定性由雅可比矩阵特征值负实部保证，仍稳定。33.迭代n(t+1)=Ln(t)，其中L为Leslie矩阵，n(t)为各年龄组雌性数量向量。稳定增长率等于L的主特征值λ，对应特征向量给出稳定年龄结构。34.计算网络度分布P(k)，若P(k)在双对数坐标下呈直线，即P(k)~k^{−γ}，且决定系数高，则判定为无标度网络；进一步检验幂律指数γ范围及拟合优度。五、讨论35.目标：min调度车里程、min用户等待时间、max需求满足率。决策变量：调度车路径、时刻、投放量。约束：车辆守恒、道路容量、时间窗。求解：1.加权单目标后用大邻域搜索；2.Pareto多目标遗传算法。36.将用户分为S(未接触)、E(接触未传播)、I(传播)、R(免疫)。信息再生数R0=β/γ，β为有效传播率，γ为移出率。需采集：每日新增转发量、用户活跃时长、内容生命周期、屏蔽率。利用最大似然或贝叶斯估计β,γ。37.将课程设为顶点，冲突边表示同一学生同时选两课。用图着色数χ表示最少需时段。当教师数T<χ时，引