2021初等数论期末考前突击题库及高频考题答案

2021初等数论期末考前突击题库及高频考题答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.若a,b,c为整数，且a|b,b|c，则（）A.a|cB.c|aC.a=bD.b=c2.设m是正整数，a是整数，若存在整数q使得a=mq，则称（）A.m整除aB.a整除mC.m与a互素D.a与m互素3.整数n>1，若它的正因数只有1和它本身，则称n为（）A.合数B.素数C.奇数D.偶数4.对于整数a,b，若有整数x,y使得ax+by=1，则称a与b（）A.不互素B.互素C.相等D.互为相反数5.设m是正整数，a是整数，若a除以m的余数为r，则可表示为（）A.a≡r(modm)B.m≡a(modr)C.a≡m(modr)D.r≡a(modm)6.若整数a,b满足a≡b(modm)，c为整数，则（）A.ac≡bc(modm)B.a+c≡b+c(modm)C.a-c≡b-c(modm)D.以上都对7.下列同余方程中，有解的是（）A.3x≡2(mod6)B.2x≡5(mod7)C.5x≡4(mod8)D.4x≡3(mod9)8.欧拉函数φ(n)表示（）A.小于n且与n互素的正整数的个数B.大于n且与n互素的正整数的个数C.小于等于n且与n互素的正整数的个数D.大于等于n且与n互素的正整数的个数9.设p是素数，a是整数，若p|a，则（）A.a≡0(modp)B.a≡1(modp)C.a≡p(moda)D.a≡a(modp)10.威尔逊定理：设p是素数，则（p-1）!≡（）(modp)A.-1B.0C.1D.p二、填空题（每题2分，共20分）1.最小的素数是____。2.能被2整除的整数称为____。3.若a|b且b|a，则____。4.整数m,n互素的充分必要条件是存在整数x,y使得____。5.同余方程ax≡b(modm)有解的充分必要条件是____。6.欧拉函数φ(12)=____。7.若p是素数，a是整数且a≡0(modp)，则a是____。8.中国剩余定理：设m1,m2,…,mk是两两互素的正整数，b1,b2,…,bk是任意整数，则同余方程组x≡b1(modm1),x≡b2(modm2),…,x≡bk(modmk)在模____下有唯一解。9.费马小定理：若p是素数，a是整数且p不整除a，则____。10.若整数a,b,c满足a|bc且(a,b)=1，则____。三、判断题（每题2分，共20分）1.所有的偶数都是合数。（）2.若a|b且b|c，则a|c。（）3.若a与b互素，则a与b中必有一个是素数。（）4.同余方程ax≡b(modm)的解一定唯一。（）5.欧拉函数φ(n)一定是偶数。（）6.若p是素数，a是整数，则ap≡a(modp)。（）7.若整数a,b,c满足a|bc，则a|b或a|c。（）8.中国剩余定理只能用于求解两个同余方程组成的方程组。（）9.费马小定理是欧拉定理的特殊情况。（）10.若整数a,b,c满足a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a+c≡b+d(modm)。（）四、简答题（每题5分，共20分）1.简述素数的判定方法。2.解释同余的概念及性质。3.说明中国剩余定理的内容及应用。4.阐述费马小定理的含义及应用。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论如何求两个数的最大公因数。2.探讨同余方程的求解方法及应用。3.分析欧拉函数在数论中的重要性及应用。4.研究费马小定理和欧拉定理的关系及应用。答案：一、单项选择题1.A2.A3.B4.B5.A6.D7.B8.A9.A10.A二、填空题1.22.偶数3.a=b4.ax+by=15.(a,m)|b6.47.p的倍数8.m1m2…mk9.ap-1≡1(modp)10.a|c三、判断题1.×2.√3.×4.×5.×6.√7.×8.×9.√10.√四、简答题1.素数的判定方法有多种，常见的有试除法，即从2到该数的平方根依次检查能否整除该数。2.同余是指两个整数a,b除以正整数m所得的余数相同。同余具有反身性、对称性、传递性等性质。3.中国剩余定理内容为：设m1,m2,…,mk是两两互素的正整数，b1,b2,…,bk是任意整数，则同余方程组x≡b1(modm1),x≡b2(modm2),…,x≡bk(modmk)在模m1m2…mk下有唯一解。应用广泛，可用于求解多个同余方程组成的方程组。4.费马小定理指若p是素数，a是整数且p不整除a，则ap-1≡1(modp)。可用于简化一些计算，如求幂的余数等。五、讨论题1.求两个数的最大公因数的方法有辗转相除法、质因数分解法等。辗转相除法通过不断用较大数除以较小数取余数，直到余数为0，此时除数就是最大公因数。质因数分解法将两个数分解质因数，找出公有的质因数相乘得到最大公因数。2.同余方程的求解方法有试除法、中国剩余定理等。试除法是逐一尝试可能的解。中国剩余定理用于求解多个同余方程组成的方程组。其应用包