2.无理数-初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）2026学年中考一轮复习

第第页无理数——初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）一、基础题1．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有六种正方形纸片，面积分别是3，4，5，6，8，10，选取其中三块（不可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最小的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（）A．3，4，5 B．3，5，8 C．4，6，10 D．6，8，102．若代数式x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是()A．x<1 B．x≤1 C．x>1 D．x≥13．下列各数中，介于6和7之间的数是()A．28 B．43 C．58 D．34．比较下列各组数的大小，正确的是（）A．24>5 B．39<2 C．35．9的平方根是±3，用下列式子表示正确的是（）A．±9＝3 B．9＝±3 C．±9＝±3 D．9＝36．下列二次根式中，与2是同类二次根式的是（）A．−8 B．6 C．12 D．7．3−64=8．若x+12−x在实数范围内有意义，则x的取值范围是9．计算：48−10．计算：(1−211．（1）计算：−20250（2）在解分式方程1−xx−3第一步：方程两边都乘x−3，得1−x=−2−2．第二步：解这个方程，得x=5．第三步：经检验，x=5为原方程的解．①在上述解方程过程中，从第______________步开始错误；②错误的原因是____________________．二、能力题12．如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1．记这个图形的周长（实线部分）为l，则下列整数与l最接近的是（）A．14 B．13 C．12 D．1113．将图1中的长方形分成B，C两部分，恰与正方形A拼接成如图2的大正方形．正方形A的面积为4．拼接后的大正方形的面积是5，图1中原长方形的周长为（）A．45 B．4 C．5+214．若方程x2＋4x＋a＝0无实根，化简16−8a+aA．4﹣a B．a﹣4 C．﹣（a＋4） D．无法确定15．x+2有意义的x取值范围是（）A． B．C． D．16．估计1+6A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间17．如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（）A．−3 B．−6 C．3 18．若a，b为两个连续的正整数，且a<11<b，则a+b等于（）A．6 B．7 C．8 D．919．下列运算结果正确的是（）A．3+2=5 B．3−220．16的平方根是，算术平方根是.21．已知3的整数部分是a，小数部分是b，则3b+ab=22．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简a+12−23．计算：（1）1−（2）7524．若一个正数a的两个平方根分别是3b−5和−2b+2．（1）求a和b的值；（2）求a+3b的平方根．三、拓展题25．若实数b的立方根为2，且实数a，b，c满足a−15（1）求2a−3b+c的值；（2）若a，b，c是△ABC的三边，试判断三角形的形状，并说明理由．26．小明在解决问题：已知a=12+他是这样分析与解的：∵∴a∴a2请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）13+2=（2）化简：1（3）若a=1227．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，1×4=2，1×9=3，（1）请证明2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根；（2）已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值．28．阅读材料，解答问题：材料：∵4<7<9，即：2<问题：已知5a+2的立方根是3,b+2的算术平方根是2,c是13的整数部分．（1）13的小数部分为．（2）求2a+b−c的平方根．

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：A、选择面积为3,4,5卡片，∴对应正方形的边长为3,∵32∴不能构成直角三角形，A选项不符合题意；B、选择面积为3,5,8卡片，∴对应正方形的边长分别为3,∵32∴围成直角三角形的面积为3×C、选择面积为4,6,10卡片，∴对应正方形的边长分别为4=2,∵22∴能构成直角三角形，∴围成的面积为2×6D、选择面积为6,8,10卡片，∴对应正方形的边长分别为6,∵62∴不能构成直角三角形，D选项不符合题意；∵152∴要使所围成的三角形是面积最小的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是3，5，8，故选：B．【分析】根据勾股定理逆定理，结合正方形性质逐项进行判断即可求出答案.2．【答案】D【解析】【解答】由题意得，x－1≥0，解得x≥1.故答案为：D.【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：A、∵25<∴5<28B、∵36<∴6<43C、∵49<∴7<58D、∵327∴3<3故答案为：B.

【分析】先估算出每个选项的无理数在哪两个整数之间，然后根据估算的范围得到答案.4．【答案】C【解析】【解答】解：A中，∵24B中，∵3C中，∵3D中，∵1<5故答案为：C.【分析】A、根据算术平方根的定义，把5化成25的形式，由24<25，即可得出24<5，故A错误；

B、根据立方根的定义，把2化成38的形式，由39>38，即可得出39>2，故B错误；

C、根据立方根的定义，把-2化成3−8的形式，由3−6>5．【答案】C【解析】【解答】解：±9＝±3．故答案为：C．【分析】根据平方根的定义进行解答.6．【答案】A【解析】【解答】解：A、−8=−22B、6与2不是同类二次根式，故B不符合题意；C、12=23，与D、−9=−3，与故答案为：A．

【分析】先将各二次根式化成最简二次根式后，然后根据同类二次根式的定义：被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式，逐项进行判断即可.7．【答案】－4【解析】【解答】解：3−64故答案为：－4.

【分析】根据立方根的定义即可求解。8．【答案】x≥−1且x≠2【解析】【解答】解：∵x+12−x∴x+1≥02−x≠0，

解得：x≥−1且x≠2故答案为：x≥−1且x≠2．

【分析】利用二次根式和分式有意义的条件列出不等式组x+1≥02−x≠09．【答案】解：原式=4=【解析】【分析】先计算二次根式的乘法运算，化简二次根式，绝对值，零次幂，再计算即可．10．【答案】解：原式=1+3﹣2×32=5【解析】【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．11．【答案】（1）−2025=1−=1−=2；

（2）①一；②方程右边的−2这一项漏乘了x−3【解析】（2）观察可知，上述解方程过程中，从第一步开始错误，错误原因是方程右边的−2这一项漏乘了x−3．故答案为：一；方程右边的−2这一项漏乘了x−3．【分析】（1）先计算特殊角三角函数值和零指数幂，再去绝对值后计算加减法即可得到答案；（2）观察解题过程可知，第一步在去分母时，方程右边的−2这一项漏乘了x−3，据此可得答案．12．【答案】B【解析】【解答】解：每一个直角三角形都有一条直角边长为1，如图所示，∴左起第一个直角三角形的斜边长为12第二个直角三角形的斜边长为12第三个直角三角形的斜边长为12第四个直角三角形的斜边长为12⋯，∴第九个直角三角形的斜边长为10，∴这个图形的周长（实线部分）为l=1×10+10∵9<10<10.89，3.3∴9<10<∴13<10+10∴l最接近的是13，故答案为：B．

【分析】根据勾股定理算出前几个直角三角形斜边得长得出规律第n个直角三角形的斜边长为n+1，据此得到第九个直角三角形的斜边长10，进而得到该图形周长l=10+10，根据无理数的估算求出10的范围，进而根据不等式性质求出1013．【答案】A【解析】【解答】解：设C的长为x，宽为y，则B的长为x+y，宽为y，∵A的面积为4，∴x=2，∵拼接后的大正方形的面积是5，∴x+y=5∴y=5∴图1中原长方形的长为：x+x+y=2x+y=4+5−2=2+5∴图1中原长方形的周长为2×2+故选：A．【分析】本题考查列代数式，以及算术平方根的运算，设C的长为x，宽为y，得到B的长为x+y，宽为y，根据小正方形面积和大正方形面积利用算术平方根，找到x，y之间的关系式，求得x和y的值，结合周长公式，列出算式，即可得到答案.14．【答案】B【解析】【解答】解：∵方程x2＋4x＋a＝0无实根，∴Δ＝42﹣4a＜0，∴a＞4，16−8a+a2＝∵a＞4，∴|4﹣a|＝a﹣4，故答案为：B．【分析】根据一元二次方程无实根的条件可得△<0，据此列不等式求出a的范围，然后根据二次根式的性质“a215．【答案】D【解析】【解答】据题意得：x+2≥0，

解得x≥−2．故答案为：D．

【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数，可得x+2≥0，据此求出x的取值范围，进而可确定数轴的画法．16．【答案】C【解析】【解答】解：∵2<6<3

故答案为：C【分析】估算6的范围，结合不等式的性质即可求出答案.17．【答案】B【解析】【解答】解：A、因为1<3<4，所以1<3<2，则B、因为4<6<9，所以2<6<3，则C、因为1<3<4，所以1<3<2，D、因为4<6<9，所以2<6<3，故选：B．【分析】根据数轴上点的位置关系即可求出答案.18．【答案】B【解析】【解答】解：∵a＜11＜b，且a，b为两个连续的正整数，∴a=3，b=4，∴a+b=7．故答案为：B．【分析】直接利用11的近似值得出a，b的值，进而得出答案19．【答案】D【解析】【解答】解：A．3,B．3−C．33D．3×故答案为：D．

【分析】利用二次根式的加法、二次根式的减法、二次根式的乘法和完全平方公式的计算方法逐项分析判断即可.20．【答案】±4；4【解析】【解答】∵42=16，(−4)2=16，∴16的平方根为±4；算术平方根为4.故答案为±4，4.【分析】一个非负数的平方根有两个，它们互为相反数，一个数的立方根只有一个，正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根为0，根据平方根和立方根的意义可求解。21．【答案】2【解析】【解答】解：∵1<3∴a=1,∴3b+ab=故答案为：2．【分析】根据估算无理数大小的方法可得1<3<2，从而求出其整数部分a，小数部分是b，然后代入22．【答案】b+a【解析】【解答】解：由题可得，−1<a<0，∴a+1>0，∴a+1=a+1+=a+1+b−1=a+b．故答案为：a+b．【分析】依据数轴即可得到a+1>0，b−1<0，再根据二次根式的性质23．【答案】（1）解：1−===33​​​​​​​（2）解：75=5=5−3+=2．【解析】【分析】（1）先化简绝对值|1−3|=3−1，计算乘方（−1）（2）先化简：75=53，（1）解：1−===33（2）解：75=5=5−3+=2．24．【答案】（1）解：∵一个正数a的两个平方根分别是3b−5和−2b+2，

∴3b−5+−2b+2=0，

∴b=3，

∴（2）解：∵a=16,b=3,

∴a+3b=16+3×3=16+9=25，

又25的平方根是±5，

∴a+3b的平方根为±5．【解析】【分析】

（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，列式先求出b的值，再根据平方根的意义求出a的值即可解答；（2）先求出a+3b的值，再求出其平方根即可解答．（1）解：∵一个正数a的两个平方根分别是3b−5和−2b+2，∴3b−5+−2b+2∴b=3，∴a=3b−5（2）解：∵a=16,b=3,∴a+3b=16+3×3=16+9=25，又25的平方根是±5，∴a+3b的平方根为±5．25．【答案】（1）∵实数b的立方根为2，

∴b=23=8

b=8代入a−15+b+a−c+22=8得

a−15+a−c+22=0

∴（2）∵a=15，b=8，c=17

a2+b2=15【解析】【分析】（1）本题考察立方根的定义、算术平方根和平方的非负性应用，立方根的定义为若x3=b，则x是b的立方根；算术平方根和平方数均具有非负性，即结果大于等于0。解题时先由立方根定义得b=8，代入等式得a−15+a−c+22=0，根据非负性性质列出方程组求出a=15、c=17，再代入代数式计算即可；

（2）本题考察勾股定理的逆定理应用，若三角形两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形。解题时计算a、b、c的平方，152+8（1）∵实数b的立方根为2，∴b=b=8代入a−15+b+a−15∴a−15=0，a−c+2=0∴a=15，c=17∴2a−3b+c=2×15−3×8+17=23（2）∵a=15，